4단 속도

물리학에서, 특히 특수 상대성 이론과 일반 상대성 이론에서, 4차원 속도는 4차원 시공간에서^{[nb 1]} 3차원 벡터인 속도의 상대성 부분을 나타내는 4차원 벡터입니다.

물리적 사건들은 시공간에서의 수학적 점들에 대응하며, 이 모든 점들의 집합은 물리적 4차원 시공간에서의 수학적 모델을 형성한다.물체의 역사는 세계선이라 불리는 시공간에서의 곡선을 추적한다.물체가 질량을 가지고 있기 때문에 그 속도가 빛의 속도보다 낮을 필요가 있는 경우, 월드 라인은 물체의 적절한 시간에 의해 파라미터화 될 수 있다.4속도는 곡선을 따라 적절한 시간에 대한 4위치의 변화율이다.이와는 대조적으로 속도는 관찰자가 관찰자의 시간에 대해 관찰자가 보는 물체의 (3차원) 공간에서의 위치 변화율이다.

물체의 4차원 크기, 즉 4차원 U에 미터법 텐서 g를 적용하여 얻은 양(U = U u U = gUU_μν^νμ)의 값은 항상 ±c이며², 여기서 c는 빛의 속도이다.더하기 기호 또는 빼기 기호 적용 여부는 메트릭 서명 선택에 따라 달라집니다.정지 상태의 물체의 경우 4차원은 U = c인 시간⁰ 좌표의 방향과 평행합니다. 따라서 4차원은 월드 라인에 대한 정규화된 미래 지향 시간 접선 벡터이며, 반변 벡터입니다.비록 벡터이지만, 두 개의 4단위를 더한다고 해서 4단위가 되는 것은 아니다. 즉, 4단위의 공간 자체가 벡터 ^{[nb 2]}공간이 되는 것은 아니다.

속도

3차원 공간(관성 프레임)에서 물체의 경로는 시간 t의 세 가지 공간 좌표 함수ⁱ x(t)로 표현할 수 있다. 여기서 i는 값 1, 2, 3을 취하는 지수이다.

세 개의 좌표가 열 벡터로 작성된 3D 위치 벡터를 형성합니다.

$(\displaystyle {vec {x}(t)=syslog {bmatrix}x{1}(t)\x^{2}(t)\x^{3}(t)\end{bmatrix}}),}$

세계 라인의$$임의의 $지점$에서 $속도{\displaystyle \stackrel{}{}}$ u$→ {{$style {u}}($$곡선에 따라 다름)의 구성요소는 다음과 같습니다.

$({displaystyle {vec {u}}={bmatrix}\\u^{2}\u^{3}\end{bmatrix}={displayvec {x}\over dt}=display {bmatrix}{\tfrac {bmatrix}\{d}})}$

각 컴포넌트는 간단하게 기술되어 있습니다.

${\displaystyle u^{i}={display^{i}\over dt}$

상대성 이론

아인슈타인의 상대성이론에서, 특정 기준 프레임에 대해 움직이는 물체의 경로는 4개의 좌표 함수^μ x(θ)에 의해 정의된다.여기서 μ는 시간적 성분의 값 0을 취하는 시공간 지수이고, 공간적 좌표의 경우 1, 2, 3이다.0번째 성분은 시간 좌표에 c를 곱한 값으로 정의됩니다.

${\displaystyle x^{0}=ct,}$

각 함수는 적절한 시간이라고 불리는 하나의 파라미터 θ에 의존합니다.열 벡터로서

$\displaystyle \mathbf {x} = scap{bmatrix}x^{0}(\scap)\x^{2}(\scap)\x^{3}\\end{bmatrix}},}$

시간 연장

시간 연장으로부터 좌표 시간 t와 적정 시간 θ의 차이는 다음과 같이 관련된다.

${\displaystyle dt=\display (u)d\display}$

여기서 로렌츠 인자는

$\displaystyle \displayfrac {1}{1-{\frac {u^{2}}}{c^{2}}}}},},$

는 3d 속도 $벡터{\displaystyle \stackrel{}{}}$ u $→$ {\$displaystyle {u$의 유클리드 노름 u의 함수입니다.

${{displaystyle u=\\vec {u}\\\right} =\left(u^{2}\right)^{2}+\left(u^{3}\right)^2},}$

4단계의 정의

4속도는 타임라이크 월드 라인의 접선 4벡터입니다.월드 $라인{\displaystyle \mathbf{}}$X의 임의의 점( ${\displaystyle )}$)에서의 $4개$의 ${\displaystyle \mathrm{속도}}$ U$(\displaystyle \mathbf${U$})$는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle \mathbf {U} = flac {d\mathbf {X} } {d\mathbf }$

$여기$서 X$(\$는 4개의 위치이고$${\(\$displaystyle \tau)$는 적절한 시간입니다.^[1]

여기서 정의되는 물체의 적절한 시간을 사용하여 정의되는 4속도는 빛의 속도로 이동하는 광자와 같은 질량이 없는 물체의 세계선에 대해 존재하지 않으며, 탄젠트 벡터가 공간적인 타키오닉 세계선에 대해서도 정의되지 않습니다.

4단계의 구성 요소

시간 t와 좌표 시간⁰ x의 관계는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle x^{0}=ct}$

적정 시간 θ에 대한 이 도함수를 취하면 μ = 0에 대한 U 속도 성분을^μ 찾을 수 있다.

${\displaystyle U^{0}=flac {d\flac}{d\flac}}=flac {d(ct)}{d\flac}}=cflac {d\flac}}=c\flac(u)}$

그리고 나머지 3가지 성분이 적절한 시간에 도달하기 위해 μ = 1, 2, 3에 대한^μ U 속도 성분을 구한다.

${\displaystyle U^{i}=flac {d\d}}{dt}}=flac {dt}{d\flac }=flac {dt}{dt}{dt}}\flac(u)=\flac(u^{i}}}{dt}}}$

연쇄 규칙과 관계를 사용해 왔습니다.

${displaystyle u^{i}={display^{i}\over dt},\display {frac {dt}{d\display}}=\display(u)}$

따라서 4개의 $속도{\displaystyle \mathbf{}}$U(\$displaystyle\mathbf {U$에 대해 다음과 같이 구합니다.

${\displaystyle \mathbf {U} =\display {bmatrix} c\{\vec {u}}\end {bmatrix}.}$

표준 4벡터 표기법으로는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathbf {U} =\display \left(c, {\vec {u}}\right)=\left(\display c,\display {vec {u}}\right)$

여기서 ${\displaystyle \theta }$c {$displaystyle \displayc$ c$}$는 시간 성분이고 ${\displaystyle \theta \stackrel{}{}}$ u $→$ ${\displaystyle \displayc {u}}$은 공간 성분입니다.

평탄한 시공간에서 특정 슬라이스와 관련된 동기화된 시계 및 눈금자 측면에서 4차원 공간의 세 가지 구성요소는 이동 물체의 고유 속도 ${\displaystyle \gamma \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle d\stackrel{}{}}$x ${\displaystyle \to }$ / ${\displaystyle d}$ ${\$ { $displaystyle$\$vec$ {$u} = dve vec {x}}/d\$ e $}$ ${\displaystyle \mathrm{the}}$ e e 。개체와 함께 이동하는 클럭에서 경과한 단위당 p 프레임의 적정 시간.

다른 대부분의 4 벡터와 달리 4개의 속도에는 4개가 아닌 3개의 독립된 $컴포넌트{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ y${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$z {$displaystyle u_{x}, u_{y}, u_{z}$만 있습니다.$\gamma$$$\ $displaystyle$\$displaystyle$$→$ \ $displaystyle$ {$u}$의 함수입니다$.$

특정 로렌츠 스칼라에 4개의 속도를 곱하면 4개의 독립된 성분이 있는 새로운 물리적 4벡터를 얻을 수 있습니다.

예를 들어 다음과 같습니다.

• 4모멘텀: $P{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathbf{}}$ U ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {mo}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}c}$ , ${\displaystyle u\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$ ) ${\displaystyle =m}$ (${\displaystyle c}$, ${\displaystyle u\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$ ) ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle mc}$ , ${\displaystyle p\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$ ) ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle \frac{E}{}}$c , ${\displaystyle p\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$) { $displaystyle \mathbf {P$} =$m_o\mathbu {\mathb}$left$({\frac {E}{c}},$ {\$vec {p}}\right$ 여기서 ${\displaystyle m_{}}$o {$display style$m_${o$}는$$ $질량$입니다.
• 4전류 $밀도{\displaystyle \mathbf{}}$: J ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle u}$ o ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$( ${\displaystyle c\stackrel{}{}}$ , u${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ ) ${\displaystyle =\rho }$ c , ${\displaystyle u\stackrel{}{}\stackrel{}{=}}$ )${\displaystyle }$= ( ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle c\stackrel{}{}}$ , j$→$ ) ${\displaystyle =}$ \ $displaystyle$\ $mathbf${ J }$=$ \ $rho {$ o } \ $mathbf {$ R = \ $ho$ = \ $r$}$$여기서 $(\$는 전하 밀도입니다.

실질적으로$(\displaystyle$ \$gamma)$ 계수는$$ 로렌츠 스칼라 항과 결합되어 4번째 독립 성분이 된다.

${\displaystyle m}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}}$ { $displaystyle$ m = \ $display m$_ {$o$ } ${\displaystyle m_{}}$ $m{\displaystyle }$ $=$ \$displaystyle \rho$_ {$o$ }

매그니튜드

레스트 프레임의 4개 위치의 차이를 사용하여 4개 속도의 크기를 구할 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbf {U} \^{\mu \nu}=U^{\mu }=g_{\mu \nu }{\frac {dX^{\mu }}}{\frac {DX^{\nu }}}{\frac {\nu }}} ={\frac {\mu } {\frac {\nu } } } {\c} }$

즉, 모든 물체에 대한 4차원 크기는 항상 고정 상수입니다.

$\displaystyle \\mathbf {U} \^{2}=c^{2},}$

이동 프레임에서 동일한 규범은 다음과 같습니다.

${{displaystyle \\mathbf {U} \^{2} = u) ^{2}\left(c^{2}-{\vec {u}}\cdot {u}}\right},}$

다음을 실현합니다.

${{displaystyle c^{2}=param (u)}^{2}\left(c^{2}-{\vec {u}}\cdot {vec {u}}\right},},$

로렌츠 인자의 정의로 환원됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 4가속도
• 사모멘텀
• 포포스
• 4학년
• 물리 공간의 대수
• 일치(일반상대성이론)
• 쌍곡선 모형
• 신속성

언급

레퍼런스

• Einstein, Albert (1920). Relativity: The Special and General Theory. Translated by Robert W. Lawson. New York: Original: Henry Holt, 1920; Reprinted: Prometheus Books, 1995.
• Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.