찬드라세카르 전위 에너지 텐서

천체물리학에서 찬드라세카르 전위 에너지 텐서는 인도계 미국 천체물리학자 수브라만 찬드라세만 찬드라세카르의 이름을 따서 만든 자신의 중력 때문에 신체의 중력 전위를 제공한다.^[1][2][3]찬드라세카르 텐서(Chandrasekhar tensor)는 전위 에너지의 일반화, 즉 찬드라세카르 텐서(Chandrasekhar tensor)의 흔적은 신체의 잠재 에너지를 제공한다.

정의

Chandrasekhar 전위 에너지 텐서는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle W_{ij}=-{\frac {1}{1}:{2}}\int _{V}\rho \phi_{i}\i}\{V}\rho x_{i}{\partial \Phi}{\partial x_{j}d}dmathbf {x}}}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle \Phi _{ij}(\mathbf {x} )=G\int _{V}\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{ \mathbf {x} -\mathbf {x'} ^{3}}}d\mathbf {x'} ,\quad \Rightarrow \quad \Phi _{ii}=\Phi =G\int _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x'}}}{{\mathbf {x'}{\mathbf {x'}}{\mathbf {x'}}}}}}}}}$

어디에

• ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$은(는) 중력 상수임
• ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$) ${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )}$은 뉴턴의 중력 법칙에서 나오는 자기중력 잠재력이다$$.
• ${\displaystyle {\mathrm{\phi }}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은(는) $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ \$Phi }$의 일반화된 버전이다$$.
• ${\displaystyle \rho }$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$) ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$은 물질 밀도 분포임
• ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$은(는) 본체의 볼륨임

$W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 그 정의에서 대칭 텐서임이 분명하다.찬드라세카르 텐서 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 흔적은 잠재적 에너지$$ W ${\displaystyle$ W$}$에 $불과하다$

${\displaystyle W=W_{i}=-{\frac {1}{1}:{2}}\int _{V}\rho\mathbf {x} =\int _{V}\rho x_{i}{\partial \Phi}{\partial x_}d}d\mathb {x}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

따라서 Chandrasekhar 텐서는 잠재적 에너지의 일반화로 볼 수 있다.^[4]

찬드라세카르의 증거

밀도 $\rho {\displaystyle }$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$) ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$의 볼륨 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ 문제를 고려하십시오$.$그러므로

${\displaystyle {\reasoned}W_{ij}&, =-{\frac{1}{2}}\int _{V}\rho\Phi _{ij}d\mathbf{)}\\&, =-{\frac{1}{2}}G\int _{V}\int _{V}\rho(\mathbf{x})\rho(\mathbf{x'}){\frac{(x_{나는}-x_{나는}')(x_{j}-x_{j}')}{\mathbf{)}-\mathbf{x'}^{3}}}d\mathbf{x'}d\mathbf{)}\\&,=-G\int _{V}\int _{V}\rho(\mathbf{x})\rho(\mathbf{x'}){\frac{x_{나는}(x_{j}-x_{j}')}{\mathbf{.x}-\mathbf{x'} ^{3}}}d\mathbf {x} d\mathbf {x'} \\&=G\int _{V}d\mathbf {x} \rho (\mathbf {x} )x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\int _{V}d\mathbf {x'} {\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{ \mathbf {x} -\mathbf {x'} }}\\&=\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}d\mathbf {x} \end{aligned}}}$

스칼라 잠재력 측면에서 찬드라세카르 텐서

스칼라 전위는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \chi(\mathbf {x} )=-G\int _{V}\rho(\mathbf {x') \mathbf {x'} -\mathbf {x'}d\mathbf {x'}}}}}$

그럼 찬드라세카르는^[5]

${\displaystyle W_{ij}=\delta _{ij}W+{\frac {\partial ^{2}\partial ^{2}\chi }{\partial x_{j}}}}}}}}}}}$

$설정{\displaystyle }$ i${\displaystyle }$= ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i=j$$}$ $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{W}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\chi =-2W$ 다시 Laplacian을 선택하면 ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ 4$χ$= 8$$ G $ρ$ {\$displaystyle \nabla$^$4}\chi$ = $8\pi$ G$\backslash$rho$.$

참고 항목

• 처녀정리
• 찬드라세카르 처녀 방정식

참조