내접 사각형 문제

Inscribed square problem
수학의 미해결 문제:

모든 요르단 곡선에는 새겨진 사각형이 있는가?

(수학에서 더 풀리지 않은 문제)
예:검은 점선 곡선은 몇 개의 푸른 정사각형의 구석구석을 통과한다.

정사각형 문제 또는 토플리츠의 추측으로도 알려진 새겨진 사각형 문제는 기하학에서 풀리지 않은 질문이다.모든 평면의 단순 닫힘 곡선은 정사각형의 정점 4개를 모두 포함하고 있는가?이것은 곡선이 볼록하거나 조각처럼 매끄러우며 다른 특별한 경우라면 사실이다.이 문제는 1911년 오토 토플리츠에 의해 제안되었다.[1]초기 양성 결과는 아놀드[2] 엠치와 레프 슈니렐만에 의해 얻어졌다.[3]2020년을 기점으로 일반 사례는 공개되어 있다.[4]

문제명세서

C를 조던 곡선이 되게 하라.P의 모든 정점이 C에 속할 경우 다각형 P가 C에 새겨져 있다.새겨진 사각형 문제는 다음과 같이 묻는다.

모든 요르단 곡선에는 새겨진 사각형이 있는가?

사각형의 꼭지점이 곡선을 따라 특정한 순서로 나타날 필요는 없다.

예

원과 정사각형 같은 몇몇 형상들은 무한히 많은 새겨진 정사각형을 인정한다.C가 둔탁한 삼각형이라면 정확히 하나의 새겨진 정사각형을 인정하고, 오른쪽 삼각형은 정확히 두 개를 인정하고, 급 삼각형은 정확히 세 개를 인정한다.[5]

해결된 사례

행실이 좋은 곡선의 특수계급이 항상 글씨를 쓴 정사각형을 포함하고 있다는 것을 증명함으로써 글씨를 쓴 사각형 문제를 해결하려 하고, 그 다음, 글씨를 잘 쓴 일련의 곡선에 의해 임의의 곡선을 추론하고, 그 속편의 곡선에 새겨진 정사각형의 한계로서 글씨를 쓴 정사각형이 여전히 존재한다는 것을 유추하는 것은 유혹적이다.e. 이 주장이 완료되기까지 수행되지 않은 한 가지 이유는 일련의 제곱의 한계가 그 자체가 제곱이 되기 보다는 하나의 점일 수 있기 때문이다.그럼에도 불구하고, 곡선의 많은 특별한 경우들은 현재 새겨진 정사각형을 가지고 있는 것으로 알려져 있다.[6]

조각 분석 곡선

아놀드 엠치(1916년)는 조각 분석 곡선은 항상 새겨진 정사각형을 가지고 있다는 것을 보여주었다.특히 폴리곤에 대해서는 그렇다.Emch의 증거는 주어진 선과 평행하게 곡선에 대한 2차 선 세그먼트의 중간점에 의해 추적된 곡선을 고려한다.그는 이러한 곡선이 수직의 세컨트 계열에 대해 동일한 방법으로 생성된 곡선과 교차할 때, 홀수 수의 교차점이 있음을 보여준다.따라서, 주어진 곡선에 새겨진 고무버스의 중심을 이루는 최소한 하나의 교차점이 항상 존재한다.직각으로 연속적으로 두 개의 수직선을 회전시키고, 중간값 정리를 적용함으로써, 그는 이들 로옴비 중 적어도 한 개는 정사각형임을 보여준다.[6]

로컬 단조 곡선

스트롬퀴스트는 모든 지역 단조로운 평면 곡선이 새겨진 정사각형을 인정한다는 것을 증명했다.[7]어떤 점 p에 대해서도 C 곡선은 함수 y=f(x)의 그래프로 국소적으로 나타내야 한다.

좀 더 정확한 용어로 C의 주어진 점 p에 대해 근린 U(p)와 고정된 방향 n(p)이 있어 이 근린에서 C -의 화음이 n(p)과 평행하지 않도록 한다.

국소 단조 곡선에는 모든 유형의 폴리곤, 모든 닫힌 볼록 곡선, 모든 조각 C 곡선이1 쿠스프 없이 포함된다.

특수 사다리꼴이 없는 곡선

국소 단조로움보다 곡선에서 훨씬 약한 조건은 일부 ε > 0의 경우, 곡선에 size 크기의 특수 사다리꼴이 새겨져 있지 않다는 것이다.특수 사다리꼴은 세 개의 동일한 면이 각각 네 번째 면보다 긴 이소체 사다리꼴로 곡선 자체의 시계방향 순서와 일치하는 정점 순서가 곡선에 새겨져 있다.그것의 크기는 3개의 같은 면을 중심으로 뻗어 있는 곡선의 부분의 길이다.여기서 이 길이는 C가 정류할 수 없을 수 있기 때문에 C의 고정 파라메트리제이션 영역에서 측정된다.한계논쟁 대신 상대적 방해 이론에 근거한 증거다.이 조건은 콤팩트 오픈 토폴로지에 관한 모든 요르단 곡선의 공간에 개방되고 밀도가 높다.이런 의미에서 일반 곡선의 경우 새겨진 사각형 문제가 해결된다.[6]

무효 곡선

요르단 곡선이 바깥 반경의 최대 1 + √2배인 고리뼈에 새겨져 있고, 고리뼈의 안쪽 원을 바깥 원과 분리하는 방식으로 그려져 있다면, 그 안에 새겨진 사각형이 들어 있다.이 경우, 주어진 곡선이 어떤 얌전한 곡선에 의해 근사치되는 경우, 환추의 중심을 포함하고 근사치에 새겨진 모든 큰 정사각형은 중심부를 포함하지 않는 작은 새겨진 정사각형으로부터 위상적으로 분리된다.큰 정사각형의 순서의 한계는 다시 변질점이 아니라 큰 정사각형이 되어야 하므로 제한적인 주장을 사용할 수 있다.[6]

대칭 곡선

긍정 답은 중심 대칭 곡선, 코흐 눈송이 같은 프랙탈, 선을 가로지르는 반사 대칭 곡선에도 잘 알려져 있다.[8]

립스키츠 그래프

2017년 테렌스 타오는 두 함수의 그래프를 조합하여 형성된 곡선 사각형의 존재에 대한 증거를 발표했는데, 두 함수는 곡선 끝점에서 동일한 값을 가지며, 두 함수는 립스치츠 연속성 조건을 하나 미만으로 준수한다.타오는 또한 몇 가지 관련 추측을 공식화했다.[9]

변형 및 일반화

임의의 요르단 곡선에 다른 형상을 새겨 넣을 수 있느냐고 반문할 수도 있다.어떤 삼각형 T와 요르단 곡선 C에 대해서도 T와 유사한 삼각형이 있고 C에 새겨져 있는 것으로 알려져 있다.[10][11]더구나 그러한 삼각형의 정점 집합은 C에 밀집되어 있다.[12]특히 등변삼각형이 항상 새겨져 있다.

또한 어떤 조던 곡선도 새겨진 직사각형을 인정하는 것으로 알려져 있다.이것은 R^3의 투영 평면의 비침습성으로 문제를 줄임으로써 본에 의해 증명되었다. 그의 증거는 메이어슨에 발표되었다.[10]2020년에 모랄레스와 빌라누에바는 적어도 하나의 새겨진 직사각형을 허용하는 국지적으로 연결된 평면 연속체를 특징으로 했다.[13]2020년에 조슈아 에반 그린과 앤드류 로비는 유클리드 평면의 매끄러운 요르단 곡선 C와 직사각형 R에 대해 정점이 C에 있는 R과 유사한 직사각형이 존재한다는 것을 증명했다.이것은 슈니렐만(1944년)의 작품 이후 알려진 (임의적 형태의) 직사각형의 존재와 부드러운 곡선의 사각형의 존재를 모두 일반화한다.[4][14][15]

일부 새겨진 사각형 문제의 일반화에서는 곡선을 위한 내접된 다각형 및 더 높은 차원 유클리드 공간에서 더 일반적인 연속체를 고려한다.예를 들어, Stromquist는 어떤 지점의 적절한 인접 지역에서 C의 두 개의 화음이 수직이 아니라는 "조건 A"를 만족하는 R의n 모든 연속 닫힌 곡선 C는 동일한 면과 동일한 대각선을 가진 새겨진 사각형을 인정한다는 것을 증명했다.[7]이 등급의 곡선은 모든2 C 곡선을 포함한다.닐슨과 라이트는 R의n 어떤 대칭 연속체 K가 많은 새겨진 직사각형을 포함하고 있다는 것을 증명했다.[8]

참조

  1. ^ Toeplitz, O. (1911), "Über einige Aufgaben der Analysis situs", Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft (in German), 94: 197
  2. ^ Emch, Arnold (1916), "On some properties of the medians of closed continuous curves formed by analytic arcs", American Journal of Mathematics, 38 (1): 6–18, doi:10.2307/2370541, JSTOR 2370541, MR 1506274
  3. ^ Šnirel'man, L. G. (1944), "On certain geometrical properties of closed curves", Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 10: 34–44, MR 0012531
  4. ^ a b Hartnett, Kevin (June 25, 2020), "New geometric perspective cracks old problem about rectangles", Quanta Magazine, retrieved 2020-06-26
  5. ^ Bailey, Herbert; DeTemple, Duane (1998), "Squares inscribed in angles and triangles", Mathematics Magazine, 71 (4): 278–284, doi:10.2307/2690699, JSTOR 2690699
  6. ^ a b c d Matschke, Benjamin (2014), "A survey on the square peg problem", Notices of the American Mathematical Society, 61 (4): 346–352, doi:10.1090/noti1100
  7. ^ a b Stromquist, Walter (1989), "Inscribed squares and square-like quadrilaterals in closed curves", Mathematika, 36 (2): 187–197, doi:10.1112/S0025579300013061, MR 1045781
  8. ^ a b Nielsen, Mark J.; Wright, S. E. (1995), "Rectangles inscribed in symmetric continua", Geometriae Dedicata, 56 (3): 285–297, doi:10.1007/BF01263570, MR 1340790
  9. ^ Tao, Terence (2017), "An integration approach to the Toeplitz square peg problem", Forum of Mathematics, 5: e30, doi:10.1017/fms.2017.23, MR 3731730; 동일한 결과 집합에 대한 Tao의 블로그 게시물 참조
  10. ^ a b Meyerson, Mark D. (1980), "Equilateral triangles and continuous curves", Fundamenta Mathematicae, 110 (1): 1–9, doi:10.4064/fm-110-1-1-9, MR 0600575
  11. ^ Kronheimer, E. H.; Kronheimer, P. B. (1981), "The tripos problem", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 24 (1): 182–192, doi:10.1112/jlms/s2-24.1.182, MR 0623685
  12. ^ Nielsen, Mark J. (1992), "Triangles inscribed in simple closed curves", Geometriae Dedicata, 43 (3): 291–297, doi:10.1007/BF00151519, MR 1181760
  13. ^ Morales-Fuentes, Ulises; Villanueva-Segovia, Cristina (2021), "Rectangles Inscribed in Locally Connected Plane Continua", Topology Proceedings, 58: 37–43
  14. ^ Greene, Joshua Evan; Lobb, Andrew (September 2021), "The rectangular peg problem", Annals of Mathematics, 194 (2): 509–517, arXiv:2005.09193, doi:10.4007/annals.2021.194.2.4
  15. ^ Schwartz, Richard Evan (2021-09-13). "Rectangles, curves, and Klein bottles". Bulletin of the American Mathematical Society. 59 (1): 1–17. doi:10.1090/bull/1755. ISSN 0273-0979.

추가 읽기

  • Klee, Victor; Wagon, Stan (1991), "Inscribed squares", Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, The Dolciani Mathematical Expositions, vol. 11, Cambridge University Press, pp. 58–65, 137–144, ISBN 978-0-88385-315-3

외부 링크