해밀턴어(제어 이론)

해밀턴어(Hamiltonian)는 동적 시스템의 최적 제어 문제를 해결하기 위해 사용되는 함수다.일정 기간에 걸쳐 최적화해야 할 문제의 라그랑지식 표현에 대한 순간적인 증분으로 이해할 수 있다.^[1]고전 역학의 해밀턴어에서 영감을 얻었지만, 그의 최대 원리의 일부로 레프 폰트랴긴에 의해 최적의 제어 이론의 해밀턴이 개발되었다.^[2][3]폰트랴긴은 최적의 제어 문제를 해결하기 위해 필요한 조건이 해밀턴식 제어장치를 최적화하기 위해 선택되어야 한다는 것을 증명했다.^[4]

문제성명 및 해밀턴인의 정의

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 1차$$ 미분 방정식의 동적 시스템 고려

${\dottyle {\mathbf {x}}}}}}}}}}}=\mathbf {f}(\mathbf {x}(t),\mathbf {u}(t), t)}$

where ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\left[x_{1}(t),x_{2}(t),\ldots ,x_{n}(t)\right]^{\mathsf {T}}}$ denotes a vector of state variables, and ${\displaystyle \mathbf {u} (t)=\left[u_$${1}(t),u_{2}(t),\ldots ,u_{r}(t)\right]^{\mathsf{T}}$ 제어$$ 변수의 벡터.Once initial conditions ${\displaystyle \mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}}$ and controls ${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$ are specified, a solution to the differential equations, called a trajectory ${\displaystyle \mathbf {x} (t;\mathbf {x} _{0},t_{0})}$,찾을 수 있다.The problem of optimal control is to choose ${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$ (from some set ${\displaystyle {\mathcal {U}}\subseteq \mathbb {R} ^{r}}$) so that ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ maximizes or minimizes a certain objective function between an initial time ${\d$$isplaystyle t=t_{0}$ 및$$ 터미널 $시간{\displaystyle }$ t${\displaystyle }$= ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$여기$서 t ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}은 무한대일 수$$ 있음)특히 각 시점에서 성능지수$$ I(${\displaystyle }x{\displaystyle }$ (${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle u}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ I$(\mathbf {x}$ ($t),\mathbf {u}$ ($t),$ t$)$를 최적화하는 것이 목표다.

${\displaystyle \max _{\mathbf {u}(t)}J=\int _{t_{0}^{t_{1}:{1}I(\mathbf {x})(t),\mathbf {u}(t)\,\mathrm {d} t}$

위와 같은 상태 변수의 운동 방정식에 따라.솔루션 방법에는 해밀턴^[2] 제어로 알려진 보조 함수의 정의가 포함된다.

정적 최적화 문제에서 라그랑지아처럼 객관적 함수와 상태 방정식을 결합한 것으로$,$ 단지 비용변수로 언급되는 승수 $\lambda {\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \mathbf {\lambda }(t)}$이(가) 상수보다는 시간의 함수일 뿐이다.

목표는 최적의 제어 정책 함수 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {}^{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {u} ^{\ast }(t)}$을(를) 찾는 것이며, 이를 통해 상태 $변수{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ x ${\displaystyle {}^{}}$( $){\displaystyle \mathbf {x} ^{\ast$의 최적 궤적을 찾는 것인데, Pontryagin의 최대 원리에 의해 해밀턴키안이 된다.

${\displaystyle H(\mathbf {x} ^{\ast }(t),\mathbf {u} ^{\ast }(t),\mathbf {\lambda } (t),t)\geq H(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),\mathbf {\lambda } (t),t)}$ for all ${\displaystyle \mathbf {u} (t)\in {\mathcal {U}}}$

최대치에 대한 1차 필수 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial H(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),\mathbf {\lambda } (t),t)}{\partial \mathbf {\lambda } }}={\dot {\mathbf {x} }}}$ which generates the state transition function ${\displaystyle \mathb$$f {f}(\mathbf {x}(t),\mathbf {u}(t),$ t$)={\dot {\mathbf {x$

${\displaystyle {\frac {\partial H(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),\mathbf {\lambda } (t),t)}{\partial \mathbf {x} }}=-{\dot {\mathbf {\lambda } }}(t)}$ which generates ${\displaystyle \dot{\lambda }(t)=-[I_{\mathbf{x}}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t),t)+{\lambda }^{\mathsf{T}}(t){\mathbf{f}}_{}}$${\$$I_{\mathbf {x} }(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),t)+\mathbf {\lambda } ^{\mathsf {T}}(t)\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),t)\right]}$

그 중 후자를 비용 방정식이라고 한다.상태 방정식과 비용 방정식은 해밀턴 동적 시스템(물리학에서 해밀턴 시스템과 유사하지만 해밀턴 시스템과 구별됨)을 기술하는데, 초기 두 점을 포함하는 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle 2n}$ 경계$$ 조건이 있다는 점을 고려할 때 이 해법은 2점 경계 값 문제를 수반한다.시간(상태 변수에 대한 $\displaystyle n}$ 미분$$ 방정식) 및 터미널 시간(비용 변수에 $대한{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$ 미분$$ 방정식, 최종 함수를 지정하지 않는 한 경계 조건은 $\lambda {\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaysty \mathbf {\\da}(t_{1}=0$ 또는 ${\displaystyle \underset{}{im}}$ t ${\displaystyle \underset{}{1_{}}}$이다.${\displaystyle \underset{}{{}_{}\to }}$^[5] ${\displaystyle \infty ({t\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \lim _{t_{$1}\$to \inft }\mathbf$ {\$da$}($t_{1}=0})$로 무한 시간$$ 지평선.

최대치를 위한 충분한 조건은 해밀턴식 해밀턴식 해밀턴식 해밀턴식 해밀턴식 해밀턴식 해밀턴식 해밀턴식 해밀턴식 해밀턴식 해협성

${\displaystyle H_{\mathbf {uu}}}(\mathbf {x} ^{\ast }(t),\mathbf {u} ^{\ast }(t),\mathbf {\lambda }(t)\leq 0})$

여기서 $u{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \mathbf {u} ^{\ast }(t)}$이(${\displaystyle 가}$) 최적 컨트롤이고$$, $x{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\ast }(t)$이(가 상태 변수에 대한 최적의 궤적을 산출한다.^[6]Alternatively, by a result due to Olvi L. Mangasarian, the necessary conditions are sufficient if the functions ${\displaystyle I(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),t)}$ and ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),t)}$ are both concave in ${\displaystyle \mathbf{x}(t)}$${\displaystyle \mathbf {x}(t)$ 및$$ $u{\displaystyle \mathbf{}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {u}(t$^[7]

라그랑기안으로부터의 파생

위에 언급된 것과 같은 제한된 최적화 문제는 특히 라그랑어 식을 제안한다.

${\displaystyle L=\int _{t_{0}}^{t_{1}}I(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),t)+\mathbf {\lambda } ^{\mathsf {T}}(t)\left[\mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),t)-{\dot {\mathbf {x} }}(t)\right]\,\mathrm {d} t}$

여기서 $\lambda {\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \mathbf {\lambda }(t)$는 정적 최적화 문제에서 라그랑주 승수와 비교하지만$$, 위에서 언급한 바와 같이 지금은 시간의 함수다.레전드르 변환을 진행하면서 오른쪽의 마지막 용어는 다음과 같이 부품별 통합을 사용하여 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle -\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {\lambda } ^{\mathsf {T}}(t){\dot {\mathbf {x} }}(t)\,\mathrm {d} t=-\mathbf {\lambda } ^{\mathsf {T}}(t_{1})\mathbf {x} (t_{1})+\mathbf {\lambda } ^{\mathsf {T}}(t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\dot {\mathbf {\lambda } }}^{\mathsf {T}}(t)\mathbf {x} (t)\,\mathrm {d} t}$

라그랑어적 표현으로 대체해서

${\displaystyle L=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[I(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),t)+\mathbf {\lambda } ^{\mathsf {T}}(t)\mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),t)+{\dot {\mathbf {\lambda } }}^{\mathsf {T}}(t)\mathbf {x} (t)\right]\,\mathrm {d} t-\mathbf {\lambda } ^{\mathsf {T}}(t_{1})\mathbf {x} (t_{1})+\mathbf {\lambda } ^{\mathsf {T}}(t_{0})\matsbf {x}(t_{0})}$

최적화를 위한 1차 조건을 도출하기 위해서는 용액이 발견되어 라그랑지안이 최대화되었다고 가정한다.그런 다음 $x{\displaystyle \mathbf{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \mathbf {x}(t)}$ 또는$$ $u{\displaystyle \mathbf{}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {u}(t)}$을(를) 변경하면 반드시 Lagrangian 값이 하락해야 한다$$.$구체적$으로 L ${\displaystyle L}$의 총 파생상품이 준수됨$$

${\displaystyle \mathrm {d} L=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[\left(I_{\mathbf {u} }(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),t)+\mathbf {\lambda } ^{\mathsf {T}}(t)\mathbf {f} _{\mathbf {u} }(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),t)\right)\mathrm {d} \mathbf {u} (t)+\left(I_{\mathbf {x} }(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),t)+\mathbf {\lambda } ^{\mathsf {T}}(t)\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),t)+{\dot {\mathbf {\lambda } }}(t)\right)\mathrm {d} \mathbf {x} (t)\right]\mathrm {d} t-\mathbf {\lambda } ^{\mathsf {T}}(t_{1})\mathrm {d} \mathbf {x} (t_{1})+\mathbf {\lambda } ^{\mathsf {T}}(t_{0})\mathrm {d} \mathbf {x} (t_{0})\leq 0}$

이 식이 0이 되려면 다음과 같은 최적화 조건이 필요하다.

${\displaystyle {\reasoned}I_{\mathbf {u} }(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),t)+\mathbf {\lambda } ^{\mathsf {T}}(t)\mathbf {f} _{\mathbf {u} }(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),t)&=0\\I_{\mathbf {x} }(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),t)+\mathbf {\lambda } ^{\mathsf {T}}(t)\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),t)+{\dot {\mathbf {\lambda } }}(t)&=0\end{aligned}}}$

If both the initial value ${\displaystyle \mathbf {x} (t_{0})}$ and terminal value ${\displaystyle \mathbf {x} (t_{1})}$ are fixed, i.e. ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} (t_{0})=\mathrm {d} \mathbf {x} (t_{1})=0}$, no conditions on ${\displaystyle \lambda (t_0}$${\displaystyle {}_{})}$ ${\displaystyle \mathbf {\mathda }(t_{0})$ 및$$$${(t 1 ) {\$displaystyle$가 필요하다$$.단자값이 자유롭다면, 흔히 그렇듯이, ${\displaystyle \mathrm{최적화}}$를 위해 추가 조건 $\lambda {\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \mathb {\lambda }(t_{1}=0})$이 필요하다$$.후자는 고정된 지평선 문제에 대한 횡단성 조건이라고 불린다.^[8]

필요한 조건이 해밀턴인에게 위에서 말한 조건과 동일함을 알 수 있다.따라서 해밀턴인은 1차적으로 필요한 조건을 발생시키는 장치로 이해할 수 있다.^[9]

이산 시간의 해밀턴인

문제가 이산 시간으로 공식화될 때, 해밀턴어는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle H(x_{t}u_{t},\lambda _{t}t}=\lambda _{t}^{T}f(x_{t}u_{t}t}t)++I(x_{t},u_{t},t)\,}$

그리고 비용 방정식은

${\displaystyle \lambda _{t+1}^{\top }=-{\frac {\partial H}{\partial x_{t}}}+\lambda _{t}^{\top }}}}}}}$

(참고: 시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$의 이산 시간 해밀턴은 시간$$ $t{\displaystyle }$+ 1${\displaystyle t+1.}$의 비용 변수를 수반한다는 점에 유의하십시오.$$^[10] $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$과(와) 관련하여 구별할 때 비용 방정식의 오른쪽에$$ $($+ $){\displaystyle \lambda(t+1$)가 포함된 용어를 얻으려면$$ 이 작은 세부 사항이 필수적이다.여기서 잘못된 관례를 사용하면 잘못된 결과, 즉 역차 방정식이 아닌 원가 방정식으로 이어질 수 있다.

시간 경과에 따른 해밀턴인의 거동향

폰트랴긴의 최대 원리에서 해밀턴인을 위한 특별한 조건이 도출될 수 있다.^[11]최종 시간 ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ 1${\$}이 고정되고$$ 해밀턴ian이 시간에 명시적으로 의존하지 않을 때(${\displaystyle \partial \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{H}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \mathrm{t}\frac{}{}}$= ${\displaystyle \frac{0}{}}$) ${\$ t$}}=0\right)},$ 다음$:$

${\displaystyle H(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*(t)=\mathrm {constant} \,}$

또는 터미널 시간이 비어 있는 경우:

${\displaystyle H(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*(t)=0.\,}$

또한, 터미널 시간이 무한대로 되면 해밀턴의 횡단성 조건이 적용된다.^[12]

${\displaystyle \lim _{t\to \infit }H(t)=0}$

역학의 해밀턴과 비교한 통제력의 해밀턴인

윌리엄 로완 해밀턴은 시스템의 역학을 묘사하기 위해 해밀턴인을 정의했다.다음 세 가지 변수의 함수:

${\displaystyle {\mathcal {H}={\mathcal {H}(p,q,t)=\langle p,{\dot {q}\angle -L(q,{\dot {q},t)}}$

여기서 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(위에서 정의한 Lagrangian이 아님) 역학을 결정하는 라그랑지안이고, $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$은$$ 상태 변수, ${\$은 시간$$ 파생형이다.

${\displaystyle p}$ $[\displaystyle p}$은(는) 다음과 같이 정의되는 이른바 "트리거게이트 모멘텀"이다$$.

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot{q}}}}$

그 후 해밀턴은 시스템의 역학을 다음과 같이 설명하기 위해 방정식을 공식화했다.

${\dplaystyle {\frac {d}{dt}p(t)=-{\frac {\partial q}{\partial q}{\mathcal {H}}}}$

${\dplaystyle {\frac{d}{dt}q(t)=~~{\frac {\partial p}{\partial p}{\mathcal{H}}}}}$

제어 이론의 해밀턴어는 제어 변수 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$에 대해 시스템의 동역학이 아니라 스칼라 기능을 극단화하기 위한 조건(라그랑어)을 기술한다$.$ 통상적으로 정의한 바와 같이 4개의 변수의 함수다.

${\displaystyle H(q,u,p,t)=\langle p,{\dot {q}\angle -L(q,u,t)}$

여기서 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$은(는) 상태 변수이고 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$은(는) 우리가 극단화하는 것과 관련된 제어 변수다.

최대값의 관련 조건은

${\displaystyle {\frac {dp}{dt}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}}$

${\dplaystyle {\frac {dq}{dt}=~{\frac {\partial H}{\p}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial u}=0}$

이 정의는 Sussmann과 Willems가 기사에서 제공한 정의와 일치한다.^[13](39페이지, 방정식 14 참조).Sussmann과 Willems는 브라키스토크론 문제와 같은 제어 해밀턴이 역학적으로 사용될 수 있는 방법을 보여주지만, 이 접근법에 대한 Carathéodory의 이전 연구는 언급하지 않는다.^[14]

현재값 및 현재값 해밀턴어

경제학에서 동적 최적화 문제의 객관적 기능은 종종 기하급수적인 할인을 통해서만 시간에 따라 직접적으로 달라지는데, 그러한 형식을 취한다.

${\displaystyle I(\mathbf {x}(t),\mathbf {u}(t), t)=e^{-\rho t}\nu(\mathbf {x})(t),\mathbf {u}(t)}$

여기서 $\nu {\displaystyle }$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$( ${\displaystyle t}$) ,${\displaystyle u}$(${\displaystyle }$t )${\displaystyle \nu (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t)}}$을(를) 순간 효용 함수 또는 펠리시티 함수라고 한다$$.^[15]This allows a redefinition of the Hamiltonian as ${\displaystyle H(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),\mathbf {\lambda } (t),t)=e^{-\rho t}{\bar {H}}(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),\mathbf {\lambda } (t))}$ where

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {H}}(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),\mathbf {\lambda } (t))\equiv &\,e^{\rho t}\left[I(\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),t)+\mathbf {\lambda } ^{\mathsf {T}}(t)\mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t),t)\right]\\=&\,\nu(\mathbf {x})(t),\mathbf {u}(t)+\mathbf {\mathbf {T}(t)\mathbf {f}(t)\mathbf {u}(t)\ended}}}}}}}}$

현재 값 해밀턴 H${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x\mathbf{}}$( ${\displaystyle t}$) ,${\displaystyle u}$ ( ${\displaystyle t}$) , ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle }$t ) ,${\displaystyle t}$)${\displaystyle$ H$(\mathbf {x} (t),\mathbf {u}(t),\mathbf {\lambda }, t)}$과 대조적으로 현재 값 해밀턴이라고 한다.가장 주목할 만한 것은 원가계수 변수가 ${\displaystyle \mu (}$ t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\rho }^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \mathbf {\$mathebf {\$mu }}(t)=e^{\rho t}\mathbf {\lambda }(t)$로 다시 정의되어 1차 조건이 수정된다는 점이다$.$

${\displaystyle {\frac {\partial {\h}(\mathbf {x})(t),\mathbf {u}(t),\mathbf {\lambda }(t)$$}}{\cHB \mathbf {u}}}}}}=0$

${\displaystyle {\frac {\partial {\H}(\mathbf {x})(t),\mathbf {u}(t),\mathbf {\lambda }(t)}}{\mathbf{x}}}}=-{\\dot {\mathbf {\mu}}}}}}}}}}}}$

제품 규칙에서 바로 따라오는 것.경제적으로 $\mu {\displaystyle (t}$) ${\displaystyle \mathbf {\mu }(t)}$은 자본재 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ( t )${\displaystyle \mathbf {x}(t$에 대한 현재 값 그림자 가격을 나타낸다.

예제: Ramsey-Cass-Kopmans 모델

경제학에서 램지-카스-쿠피만 모델은 경제에 대한 최적의 저축 행동을 결정하는 데 사용된다.객관적 함수 $J{\displaystyle (c}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle J(c)}$은 사회복지 함수,

${\displaystyle J(c)=\int _{0}^{T}e^{-\rho t}u(c(t)dt}$

최적의 소비 경로 $c{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle c(t)}$을 선택하여 최대화한다$.$$u{\displaystyle (c}$(${\displaystyle }$)$${\$displaystyle u(t)}$ 함수는 특정 시점에 $c$ ${\displaystyle c}$을(를) 소비하는 대표적인 에이전트인 유틸리티를 나타낸다$$.$e{\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {\rho }^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\$ e$^{-\rho t}$ 인수는 할인을 나타낸다$$.최대화 문제는 유효 근로자 1인당 자본의 시간 진화를 설명하면서 자본 집약도에 대한 다음과 같은 미분 방정식의 적용을 받는다.

${\dot}{\dot}={\frac {\frac}{\flac t}}}=f(t)=k(t)-(n+\ft)-c(t)}$

여기서 c(t){\displaystyle c(t)}기간은 t소비, k(t){\displaystyle k(t)}기간은 있어 근로자 1인당(k(0과))k0>0{\displaystyle k(0)=k_{0}>0}), f(k(t)){\displaystyle f(k(t))}기간은 있어 생산, n{n\displaystyle}은 인구 증가율, δ{\di.splays$tyle \property$\cH}은(는) 자본$$ 감가상각률이며, 에이전트는 미래효용을 $rate율{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho },$ > ${\$$displaysty$ $u'0},$ $0$

여기서 $k{\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle k(t)}$은 위의 방정식에 따라 진화하는 상태 변수, $c{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle c(t)}$은 제어 변수다.해밀턴인이 되다.

${\displaystyle H(k,c,\mu,t)=e^{-\rho t}u(t)+\mu(t){\dot{k}}=e^{-\rho t(c)(t)+\mu[f(t)+\delta )-c(t)]}$

최적성 조건은

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial c}=0\Rightarrow e^{-\rho t}u'(c)=\mu(t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial k}=-{\frac {\partial \mu}=-{\partial t}=-{\partial t}=-{\dot {\mu }\오른쪽 화살표 \mu(t)-[f]=-{\dot {\mu}}}}}$

transversality 조건 ${\displaystyle \mathrm{\mu }}$( ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle k}$( T${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \mu (T)k(T)=0}$ .$$$u{\displaystyle }$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \log }$log${\displaystyle }$(${\displaystyle c}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaysty$ $u$$(c)=\log(c)}$을$($를)로 하면 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyty$ t$}$ 수익률에$$ 대한 첫 번째 최적성 조건을 로그 구분

${\displaystyle -\rho -{\frac {\dot{c(t)}}}={\frac {\dot{\mu{\mu(t)}}}}}}$

두 번째 최적 조건 수율에 이 방정식 삽입

${\displaystyle \rho +{\frac {\dot{c}}}{c(t)}}=f'(k)-(n+\property )}$

이는 케인스-람시 규칙으로 알려져 있으며, 이를 준수할 경우 최대 수명 효용을 보장하는 모든 기간에 소비 조건을 제공한다.

참조

추가 읽기

• Léonard, Daniel; Long, Ngo Van (1992). "The Maximum Principle". Optimal Control Theory and Static Optimization in Economics. New York: Cambridge University Press. pp. 127–168. ISBN 0-521-33158-7.
• Takayama, Akira (1985). "Developments of Optimal Control Theory and Its Applications". Mathematical Economics (2nd ed.). New York: Cambridge University Press. pp. 600–719. ISBN 0-521-31498-4.
• Wulwick, Nancy (1995). "The Hamiltonian Formalism and Optimal Growth Theory". In Rima, I. H. (ed.). Measurement, Quantification, and Economic Analysis. London: Routledge. ISBN 978-0-415-08915-9.