분배 격자의 이중성 이론

Duality theory for distributive lattices

수학에서, 분배 격자의 이중성 이론은 프리스틀리 공간, 스펙트럼 공간, 쌍방향 스톤 공간을 통해 경계 분배 격자의 세 가지 다른(그러나 밀접하게 연관됨) 표현을 제공한다.원래 마샬 H. 스톤 때문이기도 한 이 이중성은 스톤 공간과 부울 알헤브라스 사이의 잘 알려진 스톤 이중성을 일반화한다.[1]

L을 한정된 분배 격자가 되게 하고, X는 L의 주요 필터 세트를 나타내도록 하라.각 ∈ L에 대해 φ+(a) = {x∈ X : ∈ x}을(를) 두십시오.그 다음에 (X,sv+)는 스펙트럼 공간이며,[2] 여기서 X의 위상 τ은++ {((a) : l L}에 의해 생성된다.스펙트럼 공간(X, τ+)은 L의 프라임 스펙트럼이라고 한다.

지도 φ은+ L에서 (X,84+)의 모든 콤팩트 오픈 서브셋의 격자까지 격자 이형이다.사실 각 스펙트럼 공간은 어떤 경계 분배 격자의 주요 스펙트럼에 대해 동형이다.[3]

마찬가지로 φ−(a) = {x∈ X : ∉ x}, τ가− {φ−(a) : a∈ L}에 의해 생성된 위상을 나타낸다면, (X,τ−) 역시 스펙트럼 공간이다.더구나 (X, τ+, τ−)는 쌍으로 된 스톤 공간이다.쌍화석 공간(X, τ+,[4] τ−)은 L의 비트opological dual이라고 불린다. 각 쌍화석 공간은 어떤 경계 분배 격자의 비트opological dual에 대한 바이홈모픽이다.

마지막으로, L의 주요 필터 세트에 inclusion을 설정기상포함하고 let = τ+∨ τ으로− 한다.그렇다면(X, τ, ≤)는 프리스틀리 공간이다.더욱이 φ은+ L에서 모든 클락 오픈 업셋의 격자(X, τ, ≤)에 이르는 격자 이형성이다.프리스틀리 공간(X, τ, ≤)은 L의 프리스틀리 이중으로 불린다. 각 프리스틀리 공간은 어떤 경계 분배 격자의 프리스틀리 이중과 이형질이다.[5]

Let Dist는 경계 분배 격자와 경계 격자 동형성의 범주를 나타낸다.그런 다음 위의 세 가지 경계 분배 격자 표기를 스펙트럼 지도가 있는 스펙트럼 공간의 Spec, PStone 및 Pries, 양연속 지도가 있는 쌍방향 스톤 공간, 프리스틀리 형태소가 있는 프리스틀리 공간 사이의 이중 등가성으로[6] 확장할 수 있다.

Spec, Pries and Pstone are isomorphic, all three are dually equivalent to Dist
경계 분배 격자의 이중성

따라서, 한정된 분배 격자를 나타내는 세 가지 동등한 방법이 있다.각각의 동기와 장점이 있지만, 궁극적으로 그것들은 모두 경계된 분배 선반들에 대한 더 나은 이해를 제공하는 동일한 목적을 제공한다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 돌(1938년)
  2. ^ 스톤(1938), 존스톤(1982)
  3. ^ 스톤(1938), 존스톤(1982)
  4. ^ 베자니쉬빌리 외 (2010)
  5. ^ 프리스틀리 (1970년)
  6. ^ 베자니쉬빌리 외 (2010)

참조

  • 프리스틀리, H. A. (1970년)순서 스톤 공간을 이용한 분배 격자의 표현.런던 수학. Soc, (2) 186–190.
  • 프리스틀리, H. A. (1972)순서가 지정된 위상적 공간과 분배 격자의 표현.Proc. 런던 수학. Soc, 24(3) 507–530.
  • 스톤, M. (1938년)분배 래티스와 브루베리안 로직의 위상학적 표현.카소피스 페스트. 매트 파이스, 67 대 25
  • 코니쉬, W. H. (1975년)H. 프리스틀리의 한정된 분배 선반 범주 이중.매트. 베스닉, 12(27) (4) 329–332.
  • M. 호치스터(1969년).교감 링의 최상 이상적 구조.트랜스. 아머. 수학. Soc, 142 43–60
  • 존스톤, P. T. (1982)돌로 된 공간.케임브리지 대학 출판부, 케임브리지. ISBN0-521-23893-5.
  • 정, A, 모시에, M. A. (2006)스톤 이중성의 비토피학적 특성에 대해.기술 보고서 CSR-06-13, 버밍엄 대학교 컴퓨터 과학 학교.
  • 베자니쉬빌리, G, 베자니쉬빌리, N, 가벨라, D, 쿠르즈, A.분배 격자와 헤잉 알헤브라에 대한 비트코폴로지 이중성.컴퓨터 과학의 수학 구조, 20.
  • Dickmann, Max; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Spectral Spaces. New Mathematical Monographs. Vol. 35. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781316543870. ISBN 9781107146723.