지수 다항식

수학에서 지수 다항식은 변수와 지수함수에서 다항식의 형태를 취하는 필드, 반지, 아벨 그룹의 함수다.

정의

필드

지수 다항식에는 일반적으로 변수 x와 어떤 종류의 지수함수 E(x)가 있다.복합수에는 이미 표준 지수함수인^x x와 e를 매핑하는 함수가 있다.이 설정에서 지수 다항식이라는 용어는 종종 P(x^x, e) 형식의 다항식을 의미하는데 사용된다. 여기서 P ∈ C[x, y]는 두 변수의 다항식이다.^[1][2]

여기서 C에 대해 특별히 특별한 것은 없다; 지수 다항식은 위의 e를^x 대신하는 지수 함수를 가진 지수 필드나 지수 링에서 그러한 다항식을 언급할 수도 있다.^[3]마찬가지로, 하나의 변수를 가질 이유가 없으며, n 변수의 지수 다항식은 P(x₁, ..., x_n, e^x₁, e), 여기서^x_n P는 2n 변수의 다항식이다.

필드 K에 대한 형식 지수 다항식의 경우 다음과 같이 진행한다.^[4]W를 K의 미세하게 생성된 Z 서브모듈로 하고 한정된 형태의 합을 고려한다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}f_{i}(X)\exp(w_{i}X)\,}$

여기서 f는_i K[X]의 다항식이고 exp(w_i X)는 exp(u + v) = exp(u) exp(v)의 영향을 받아 w에서_i 인덱싱한 형식 기호다.

아벨 그룹

'우수 다항식'이라는 용어가 발견될 수 있는 보다 일반적인 프레임워크는 아벨리아 그룹에 대한 지수 함수의 것이다.지수장의 지수함수가 정의되는 방식과 유사하게 위상학적 아벨 그룹 G에 주어진 복합수의 G에서 가법군까지의 동형성을 가법함수라고 하며, 0이 아닌 복합수의 승법군까지의 동형성을 지수함수, 또는 단순히 지수함수라고 한다.가법 함수와 지수 함수의 곱을 지수 단수라고 하며, 이것들의 선형 결합을 G에서 지수 다항식이라고 한다.^[5][6]

특성.

리트의 정리에는 고유 인자화의 유사점과 인자 정리가 지수 다항식의 고리에 대해 유지된다고 명시되어 있다.^[4]

적용들

R과 C의 지수 다항식은 초월수 이론에서 자주 나타나는데, 여기서 지수함수와 관련된 증명에서는 보조함수로 나타난다.그들은 또한 모델 이론과 분석 기하학의 연결고리 역할을 한다.지수적 다양성을 일부 유한한 다항식의 집합이 사라지는 R의ⁿ 점 집합으로 정의한다면, 미분 기하학에서의 호반스키프의 정리나 모델 이론에서의 윌키의 정리 같은 결과는 그러한 다양성의 집합이 va에 따라 안정적이라는 점에서 이러한 다양성이 잘 갖춰져 있다는 것을 보여준다.고차원 기하급수적 다양성의 투영 하에 이미지를 포함시킬 수 있는 한, 광대한 설정-광학 연산.실제로, 앞서 언급한 두 가지 이론은 모든 지수 변종들의 집합이 R에 대한 최소 구조를 형성한다는 것을 암시한다.

지수 다항식은 선형 지연 미분 방정식과 관련된 특성 방정식에 나타난다.

메모들