확률 한계 분석

확률 한계 분석(PBA)은 다양한 종류의 불확실성에 직면하여 정성적, 정량적 계산을 하기 위한 불확실성 전파 방법의 집합이다.수학 식을 통해 랜덤 변수와 기타 수량에 대한 부분적인 정보를 투영하는 데 사용된다.예를 들어, 입력값 분포에 대한 확실한 한계만 주어진 경우, 합, 제품 또는 더 복잡한 함수의 분포에 대한 확실 한계를 계산한다.그러한 한계를 확률 상자라고 하며 (밀도 또는 질량 함수가 아닌) 누적 확률 분포를 구속한다.

이러한 경계 접근법은 분석가들이 모수 값, 변수들 간의 의존성 또는 심지어 분포 형태에 대해 지나치게 정밀한 가정을 요구하지 않고 계산을 할 수 있게 한다.확률 한계 분석은 기본적으로 표준 구간 분석 방법과 고전적 확률 이론의 조합이다.확률 한계 분석은 범위 정보만 사용할 수 있을 때 구간 분석과 동일한 답변을 제공한다.또한 몬테카를로 시뮬레이션이 입력분포와 그 종속성을 정밀하게 명시할 수 있을 정도로 정보가 풍부할 때 하는 것과 동일한 답을 제시한다.따라서 구간 분석과 확률 이론을 모두 일반화한 것이다.

확률 한계 분석을 구성하는 다양한 방법은 입력 값, 그 종속성 또는 심지어 수학적 표현 자체의 형태에 대한 불확실성이 있을 때 수학 식을 평가하는 알고리즘을 제공한다.계산 결과는 입력 p-box가 각각의 분포를 포함한다고 확신할 경우 출력 변수의 가능한 모든 분포를 둘러싸도록 보장된다.어떤 경우에는, 계산된 p-box도 가능한 분포의 일부를 배제하지 않고 한도가 더 빡빡하지 않을 수 있다는 점에서 가장 가능성이 높을 것이다.

P-box는 일반적으로 가능한 분포에 대한 경계일 뿐이다.또한 한계치는 종종 그 자체가 가능하지 않은 분포를 포함한다.예를 들어, 두 (정밀) 분포의 독립성 가정 없이 랜덤 값을 추가함으로써 발생할 수 있는 확률 분포의 집합은 일반적으로 합계에 대해 계산된 p-box로 둘러싸인 모든 분포의 적절한 부분 집합이다.즉, 출력 p-box 내에는 두 입력 분포 사이의 어떤 의존성에서도 발생할 수 없는 분포가 있다.그러나 출력 p-box는 입력 p-box가 각각의 기본 분포를 포함한다고 확신하는 한 가능한 모든 분포를 항상 포함한다.이 특성은 불확실성 하에서 계산이 필요한 위험 분석 및 기타 분야에 사용하기에 충분하다.

경계 확률 이력

확률을 경계한다는 생각은 확률 이론의 역사를 통틀어 매우 긴 전통을 가지고 있다.실제로 1854년 조지 부울은 그의 사상 법칙에서 확률에 대한 구간 경계 개념을 사용했다.^[1][2]또한 19세기 후반부터 시작된 체비셰프에서 기인한 불평등은 변수의 평균과 분산만 알려졌을 때의 분포에 대한 경계를 기술했고 마르코프에서 기인한 관련 불평등은 평균만 알려졌을 때 양변수에 대한 한계를 발견했다.키부르크는^[3] 케인즈가 선호하는 비할 데 없는 확률의 중요한 개념을 포함해 20세기를 거치면서 간격 확률의 역사를 검토하고 비판적 사상의 발전을 추적했다.

특히 주목해야 할 것은 1930년대 의존성 가정이 없는 총 확률을 포함하는 계산에 대한 프레셰트의 파생이다.경계 확률은 오늘날까지 계속되었다(예: 부정확한 확률에 대한 월리의 이론).^[4]

위험 평가에 일상적으로 사용될 수 있는 확률 한계 분석 방법은 1980년대에 개발되었다.Hailperin은^[2] Boole의 아이디어를 확장하는 논리적 계산을 위한 계산 체계를 설명했다.야거는^[5] 독립성을 가정하여 경련에 대한 한계를 계산할 수 있는 기본적인 절차를 설명했다.거의 동시에, 그리고 독립적으로, ^[6]뤼첸도르프는^[7] Kolmogorov에 의해 원래 제기되었던, 그들의 공동분포가 아닌 한계분포가 알려진 임의변수의 총합 확률분포에 대한 상·하한선을 찾는 방법에 대한 문제를 해결했다.프랭크 외.^[8]는 마카로프의 결과를 일반화하여 코풀라로 표현했다.그 이후로, 합계에 대한 공식과 알고리즘이 일반화되었고 다양한 의존성 가정 하에서 차이, 제품, 인용문 및 기타 이항 및 단항 함수로 확장되었다.^{[9][10][11][12][13][14]}

산술식

추가, 소급, 승수, 눈금, 미니마, 최대, 힘, 지수, 로그, 제곱근, 절대값 등의 연산을 포함하는 산술 표현식은 일반적으로 위험 분석 및 불확실성 모델링에 사용된다.콘볼루션은 확률 분포로 지정된 독립 랜덤 변수 합계의 확률 분포를 찾는 연산이다.우리는 이 용어를 다른 수학적 함수(제품, 차이, 인용문 및 더 복잡한 함수)의 분포와 인터뷰 가능한 의존성에 대한 다른 가정으로 확장시킬 수 있다.입력물 사이의 종속성에 대한 다양한 가정 하에서 이러한 일반화된 경련을 계산하기 위한 편리한 알고리즘이 있다.^{[5][9][10][14]}

수학상세

$Let{\displaystyle \mathbb{}}$ D ${\$는) 실제 숫자 $R{\displaystyle \mathbb{}}$, ${\displaystyle \mathb {R},}$에 있는 분포 함수의 공간을 나타낸다$$.

${\displaystyle \mathb {D} =\{D D:\mathb {R} \to [0,1],D(x)\leq D(y){\text{{}모든 }x<y\}.}$

p-box는 5중주형이다.

${\displaystyle \left\{\overline {F},{\underline {F},m,v,\mathbf {F} \right\},}$

where ${\displaystyle {\overline {F}},{\underline {F}}\in \mathbb {D} ,m,v}$ are real intervals, and ${\displaystyle \mathbf {F} \subset \mathbb {D} .}$ This quintuple denotes the set of distribution functions ${\displaystyle F\in \mathbf {F} \subset \mathbb {D} }$ such that:

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall x\in \mathbb {R} :\qquad &{\overline {F}}(x)\leq F(x)\leq {\underline {F}}(x)\\[6pt]&\int _{\mathbb {R} }xdF(x)\in m&&{\text{expectation condition}}\\&\int _{\mathbb {R} }x^{2}dF(x)-\left(\int _{\mathbb {R} }xdF(x)\right)^{2}\in v&&{\text{variance condition}}\end{aligned}}}$

함수가 위의 모든 조건을 만족하면 p-box 안에 있다고 한다.경우에 따라서는 p-box의 가장자리를 구성하는 두 가지 분배함수에 인코딩되는 것 외에 모멘트나 분배 패밀리에 대한 정보가 없을 수도 있다.Then the quintuple representing the p-box ${\displaystyle \{B_{1},B_{2},[-\infty ,\infty ],[0,\infty ],\mathbb {D} \}}$ can be denoted more compactly as [B₁, B₂].이 표기법은 엔드포인트가 점보다는 분포라는 점을 제외하고 실제 선의 간격에 유의한다.

$X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X\sim F}$ 표기법은$$ ${\displaystyle X\mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ R ${\$ X$\in \mathb {R}}이($가) 분포$$ 함수 F에 의해 관리되는 임의 변수, 즉,

${\displaystyle {\respects}케이스}F:\mathb {R} \to [0,1]\\x\mapsto \Pr(X\leq x)\end{case}}}}$

p-box와 함께 사용하기 위해 tilde 표기법을 일반화하자.X는 B 안에 있다는 것 외에는 분포 함수를 알 수 없는 랜덤 변수라는 의미로 X~B라고 쓰겠다.따라서 X~F ∈ B는 분포함수를 명시적으로 언급하지 않고 X~B로 계약할 수 있다.

X와 Y가 각각 분포 F와 G를 갖는 독립 랜덤 변수인 경우 X + Y = Z ~ H:

${\displaystyle H(z)=\int _{z=x+y}F(x)G(y)dz=\int _{\mathb {R}{}F(x)G(z-x)dx=F*G.}$

이 수술은 F와 G에 대한 콘볼루션이라고 불린다.p-box에서의 유사한 조작은 합계에 있어서 간단하다.가정하다

${\displaystyle X\sim A=[A_{1},A_{2}],\quad {\text{and}}\quad Y\sim B=[B_{1},B_{2}].}$

X와 Y가 확률적으로 독립적인 경우, Z = X + Y의 분포는 p-box 안에 있다.

$왼쪽[왼쪽]A_{1}*B_{1}, A_{2}*B_{2}\오른쪽]}$

X와 Y 사이의 의존성에 대해 어떠한 가정도 하지 않고 합계 Z = X + Y의 분포에 대한 한계를 찾는 것은 실제로 독립성을 가정하는 문제보다 쉽다.마카로프는^[6][8][9] 그것을 보여주었다.

${\displaystyle Z\sim \left[\supp_{z=x+y}\max(F(x)-1,0)),\inf _{z=x+y}\min(F(x)+G(y)1\rig]}$

이 경계는 프레셰-회프딩 코풀라 경계로 암시된다.이 문제는 또한 수학 프로그래밍의 방법을 사용하여 해결할 수 있다.^[13]

X와 Y가 양의존성을 가지고 있다는 중간 가정에서의 콘볼루션도 마찬가지로 계산이 용이하며, X와 Y 사이의 완벽한 양의존성 또는 완전한 음의존성의 극단적 가정에서의 콘볼루션도 마찬가지다.^[14]

뺄셈, 곱셈, 나눗셈 등과 같은 다른 작업에 대한 일반화된 경련은 변환을 사용하여 도출할 수 있다.예를 들어, p-box 뺄셈 A - B는 A + (-B)로 정의할 수 있는데, 여기서 p-box B = [B₁, B₂]의 음은 [B₂(-x), B₁(-x)]이다.

논리식

접속사(AND 연산), 분리(OR 연산), 배타적 분리, 동등성, 조건 등을 포함하는 논리적 또는 부울 표현식은 위험 평가에서 공통적인 고장 수목과 사건 수목의 분석에서 발생한다.다른 것들 중에서 Boole과^[1] Keynes가^[3] 제안한 바와 같이 사건의 확률을 구간으로 특징짓는다면, 이러한 이항 연산은 평가하기에 간단하다.예를 들어, 사건 A의 확률이 P(A) = a = [0.2, 0.25] 구간이고 사건 B의 확률이 P(B) = b = [0.1, 0.3] 구간인 경우, 연결의 확률은 확실히 구간 내에 있다.

P(A&B) = a × b

= [0.2, 0.25] × [0.1, 0.3]

= [0.2 × 0.1, 0.25 × 0.3]

= [0.02, 0.075]

A와 B가 독립된 사건이라고 가정할 수 있는 한.그들이 독립적이지 않다면, 우리는 여전히 고전적인 프레셰 불평등을 이용하여 접속사를 묶을 수 있다.이 경우 적어도 공동 사건 A&B의 확률은 구간 내에 있음을 유추할 수 있다.

P(A&B) = 환경(0, a+b-1), 최소(a, b)

= envid (max(0, [0.2, 0.25]+[0.1, 0.3]-1)), min([0.2, 0.25], [0.1, 0.3]))

= envid ([max(0, 0.2+0.1–1)), max(0, 0.25+0.3–1)], [min(0.2,0.1), min(0.25, 0.3)]]

= 환경([0,0], [0.1, 0.25])

= [0, 0.25]

여기서 env[x₁,x₂], [y₁,y₂]는 [min(x₁,y₁), max(x₂,y₂]]이다.마찬가지로 분리될 확률은 분명히 그 간격에 있다.

P(A v B) = a + b − a × b = 1 − (1 − a) × (1 − b)

= 1 − (1 − [0.2, 0.25]) × (1 − [0.1, 0.3])

= 1 − [0.75, 0.8] × [0.7, 0.9]

= 1 − [0.525, 0.72]

= [0.28, 0.475]

A와 B가 독립된 사건이라면만약 그들이 독립적이지 않다면, Frechet 불평등은 분리를 제한한다.

P(A v B) = 주변(최대(a, b), 최소(1, a + b)

= envid(최대 [0.2, 0.25, [0.1, 0.3]), min(1, [0.2, 0.25] + [0.1, 0.3]))

= env([0.2, 0.3], [0.3, 0.55])

= [0.2, 0.55].

또한 A와 B 사이의 의존성에 대한 다른 가정 하에서 접속사 또는 분리에 대한 구간 경계를 계산할 수도 있다.예를 들어, 사람들은 그들이 긍정적으로 의존한다고 가정할 수 있는데, 이 경우 결과 간격이 독립성을 가정하는 답만큼 빡빡하지 않고 프레셰트 불평등에 의해 주어진 답보다 빡빡하다.비교 가능한 계산은 부정, 배타적 분리 등과 같은 다른 논리적 기능에 사용된다.평가할 부울 식이 복잡해지면, 수학적^[2] 프로그래밍의 방법을 사용하여 식에 대한 최상의 한계를 얻을 필요가 있을 수 있다.확률론적 논리의 경우 유사한 문제가 제시된다(예: Gerla 1994 참조).사건의 확률이 구간이 아닌 확률분포나 p-box로 특징지어지는 경우, 상위 사건의 확률을 특징짓는 분포나 p-box 결과를 얻기 위해 유사한 계산을 할 수 있다.

규모 비교

p-box D로 대표되는 불확실한 숫자가 0보다 작을 확률은 Pr(D < 0) = [F(0), F(0)] 구간이다. 여기서 F̅(0)는 확률 상자 D의 왼쪽 경계이고 F(0)는 오른쪽 경계로 둘 다 0으로 평가된다.확률 박스로 대표되는 두 개의 불확실한 숫자를 다음과 같은 인코딩과 숫자로 비교할 수 있다.

A < B = Pr(A − B < 0),

A > B = Pr(B - A < 0),

A ≤ B = Pr(A - B ≤ 0) 및

A ≥ B = Pr(B - A ≤ 0).

따라서 A가 B보다 작을 확률은 그들의 차이가 0보다 작을 확률과 같으며, 이 확률은 A < B라는 표현식의 값이라고 할 수 있다.

산술과 논리 연산처럼, 이러한 크기 비교는 일반적으로 A와 B 사이의 확률적 의존도에 의존하며, 인코딩의 뺄셈은 그러한 의존성을 반영해야 한다.이들의 의존도를 알 수 없는 경우 프레셰트 연산을 사용하여 어떠한 가정도 하지 않고 그 차이를 계산할 수 있다.

샘플링 기반 계산

일부 분석가는^{[15][16][17][18][19][20]} 몬테카를로 시뮬레이션, 라틴 하이퍼큐브 방법 또는 중요도 샘플링을 포함한 확률 한계 계산에 샘플링 기반 접근방식을 사용한다.일반적으로 시뮬레이션에서 복제 수를 증가시킴으로써 성능이 개선될 수 있지만, 이러한 시뮬레이션 방법은 근사치이기 때문에 이러한 접근방식은 결과에서 수학적 엄격성을 보장할 수 없다.따라서 수학 프로그래밍에 기초한 분석적 정리나 방법과는 달리, 표본추출 기반 계산은 일반적으로 검증된 계산을 산출할 수 없다.그러나 표본 추출 기반 방법은 분석적으로 또는 심지어 엄격하게 구속되기 어려운 다양한 문제를 해결하는 데 매우 유용할 수 있다.한 가지 중요한 예는 고차원적인 문제를 통해 구간 불확실성을 전파하는 데 있어 차원성의 저주를 피하기 위해 카우치-이탈 샘플링을 사용하는 것이다.^[21]

기타 불확실성 전파 접근방식과의 관계

PBA는 불확실성과 인지적 불확실성을 동시에 나타내기 위해 부정확한 확률을 사용하는 방법의 종류에 속한다.PBA는 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 일반적으로 구현되는 것과 같은 구간 분석과 확률론적 경련 모두를 일반화한 것이다.PBA는 강력한 베이즈 분석과도 밀접한 관련이 있는데, 이를 베이시안 민감도 분석이라고 부르기도 한다.PBA는 2차 몬테카를로 시뮬레이션의 대안이다.

적용들

P-box 및 확률 한계 분석은 다음을 포함하여 공학 및 환경 과학 분야의 많은 분야에 걸쳐 많은 응용 분야에서 사용되어 왔다.

• 엔지니어링 설계^[22]
• 전문가 유도^[23]
• 종 민감도 분포^[24] 분석
• 아리안 5호 발사체^[25] 전면부재의 좌굴하중에 대한 항공우주공학 민감도 분석
• 화학 원자로 역학의^[26][27] ODE 모델
• 흡입된 VOCs의^[28] 약동학적 변동성
• 지하수 모델링^[29]
• 직렬 시스템의^[30] 경계 고장 확률
• 제철소 브라운필드^[31][32] 토양의 중금속 오염
• 염도 위험 모델에^[33] 대한 불확실성 확산
• 전원 공급 시스템 안전 평가^[34]
• 오염지반위험도평가^[35]
• 식수 처리를^[36] 위한 엔지니어링된 시스템
• 토양 선별 수준^[37] 계산
• 미국^[38][39] EPA가 하우사톤강 슈퍼펀드 현장에서 PCB 오염에 대한 인간 보건 및 생태학적 위험 분석
• 캘커시외하구 슈퍼펀드 부지의^[40] 환경평가
• 초음속 노즐 추력을^[41] 위한 항공우주공학
• 엔지니어링 문제에^[42] 대한 과학적 계산의 검증 및 검증
• 환경 수은 오염의^[43] 작은 포유류에 대한 독성
• 지하수^[44] 오염 이동시간 모델링
• 신뢰성 분석^[45]
• Leadbeater 주머니쥐^[46] 재도입을 위한 멸종위기종 평가
• 농약에^[47] 대한 식충조류 노출
• 기후변화 예측^[31][48][49]
• 대기열 시스템에서^[50] 대기 시간
• 올림픽 반도의^[51] 점박이올빼미 멸종위험도 분석
• 침습종 또는 농해충^[52] 유입에 대한 생물학적 취약성
• 유한요소 구조 분석^[53][54][55]
• 원가추정^[56]
• 핵 비축량 인증^[57]
• 프래킹은 수질오염의^[58] 위험성

참고 항목

• 확률 상자
• 강력한 베이즈 분석
• 부정확 확률
• 2차 몬테카를로 시뮬레이션
• 몬테카를로 시뮬레이션
• 구간분석
• 확률론
• 위험분석

참조

추가 참조사항

• Bernardini, Alberto; Tonon, Fulvio (2010). Bounding Uncertainty in Civil Engineering: Theoretical Background. Berlin: Springer. ISBN 978-3-642-11189-1.
• Ferson, Scott (2002). RAMAS Risk Calc 4.0 Software : Risk Assessment with Uncertain Numbers. Boca Raton, Florida: Lewis Publishers. ISBN 978-1-56670-576-9.
• Gerla, G. (1994). "Inferences in Probability Logic". Artificial Intelligence. 70 (1–2): 33–52. doi:10.1016/0004-3702(94)90102-3.
• Oberkampf, William L.; Roy, Christopher J. (2010). Verification and Validation in Scientific Computing. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11360-1.

외부 링크

• 환경 위험 평가에서 확률 한계 분석
• 구간 및 확률 분포
• 인식불확도사업
• 부정확한 가능성을 위한 협회:이론 및 응용 프로그램