확률 분포의 콘볼루션

확률 분포의 수렴/합계는 확률 이론과 통계에서 독립 랜덤 변수의 추가에 해당하는 확률 분포의 관점에서 그리고 확장자에 의해 무작위 변수의 선형 결합을 형성하는 연산으로 발생한다.여기서의 연산은 확률 분포의 맥락에서 볼 수 있는 특수한 경우다.

소개

둘 이상의 독립 랜덤 변수의 합계에 대한 확률 분포는 개별 분포의 수렴이다.이 용어는 무작위 변수 합계의 확률질량함수 또는 확률밀도함수가 각각 해당 확률질량함수 또는 확률밀도함수의 합성이라는 사실에 의한다.잘 알려진 많은 분포는 단순한 경련을 가지고 있다: 확률 분포의 경련 목록 참조

두 개의 독립적인 정수 값(따라서 이산형) 변수의$$ 합 $Z{\displaystyle }$= ${\displaystyle X}$+ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z=X+Y}$의 분포에 대한 일반 공식은 다음과 같다^[1].

${\displaystyle P(Z=z)=\sum _{k=--\infit }^{\p(X=k)P(Y=z-k)}$

각각$$ pdf${\displaystyle }f{\displaystyle }$ , ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f,g$$}$ 및 $CDF{\displaystyle }$ F${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle G}${\$displaystyle F,G}$이(가) 있는 독립형 연속 랜덤 변수의 경우, 합계의 CDF는 다음과 같다.

${\displaystyle H(z)=\int _{-\infit _{-\infit _{-\infit }F(z-t)g=\int _{-\infit }^{-\inft }G(t)f(z-t)dt}$

Z=X+Y와 관련된 랜덤 변수 X와 Y로 시작하고 이러한 랜덤 변수가 독립적이라는 것을 모른 채 다음과 같이 시작한다면:

${\displaystyle f_{Z}(z)=\int \limits _{-\infit }^{\f_{XY}(x,z-x)~dx}$

그러나 X와 Y가 독립적이라면, 다음과 같다.

${\displaystyle f_{XY}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)}$

그리고 이 공식은 확률 분포의 콘볼루션이 된다.

${\displaystyle f_{Z}(z)=\int \limits _{-\infit }^{\f_{X}(x)~{Y}(z-x)~dx}$

예시 파생

확률분포의 경합을 위한 공식 도출에는 여러 가지 방법이 있다.종종 통합의 조작은 어떤 유형의 생성 기능을 사용함으로써 피할 수 있다.그러한 방법은 분포 자체에 대한 명시적 공식을 도출할 수 없더라도 모멘트 등 결과 분포의 특성을 도출하는 데 유용할 수 있다.

간단한 기술 중 하나는 항상 존재하고 주어진 분포에 고유한 특성 함수를 사용하는 것이다.^{[citation needed]}

베르누이 분포의 콘볼루션

똑같이 분포된 두 개의 독립된 베르누이 랜덤 변수의 경련은 이항 랜덤 변수다.즉, 속기법으로 보면

${\displaystyle \sum _{i=1}^{2}\mathrm {Bernouli}(p)\sim \mathrm {Binomial}(2,p)}$

이 허용을 표시하려면

${\displaystyle X_{i}\심각 \mathrm {Bernouli}(p),\quad 0<p<1,\quad 1\leq i\leq 2}$

그리고 정의하다

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{2}X_{i}}}$

또한 Z가 일반 이항 랜덤 변수를 나타내도록 한다.

${\displaystyle Z\sim \mathrm {Binomial}(2,p)\,\!}$

확률 질량 함수 사용

$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \text{1}}$과 ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$및$}}}X_{$2}}은 독립적이므로$$

${\displaystyle {\begin{aigned}\mathb {P} [Y=n]&=\mathb {P} \left[\sum _{i=1}^{2}X_{i}=n\right]\\&=\sum _{m\in \mathb {Z}}\mathb {P}[X_{1}=m]\time \mathb {P}[X_{2}=n-m]\\&=\sum _{m\in \mattb {Z}}\왼쪽[{\binom {1}{m^{1}{m}\왼쪽(1-p\right)]\왼쪽[{\binom {1}{n-m^{n-m}\right]{1-n-n+m}\오른쪽]\&=p^{n}\left(1-p\right)^{2-n}\sum _{m\in \mathbb {Z} }{\binom {1}{m}}{\binom {1}{n-m}}\\&=p^{n}\left(1-p\right)^{2-n}\left[{\binom {1}{0}}{\binom {1}{n}}+{\binom {1}{1}}{\binom {1}{n-1}}\right]\\&={\binom {2}{n}{n^{n}\좌측(1-p\오른쪽)^{2-n}=\mathb {P}[Z=n]\end{arged}}}}}}$

여기서 우리는${\displaystyle }$(${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$k${\displaystyle }$) = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle${\$tbinom{n}{k}}=0}$의 k>n의 경우 마지막이 아닌 세 개의 평등에서, 그리고 두 번째의 마지막 평등에서 파스칼의 통치에 대한 사실을 사용했다.

특성 함수 사용

각 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$와 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$의 특성 함수는$$

${\displaystyle \varphi _{X_{k}}(t)=1-p+pe^{it}\qquad \varpi _{Z}(t)=\좌측(1-p+pe^{it}\오른쪽)^{2}}$

여기서 t는 0의 어느 부근에 있다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\varphi _{Y}(t)&=\operatorname {E} \좌(e^{it\sum _{k=1}X_{k}\우)=\operatorname {E} \좌(\prod _{k=1}^{2}e^{itX_{k\}오른쪽\})\&=\pod _{k=1}^{2}\operatorname {E} \좌측(e^{itX_{k}\우측)=\prod _{k=1}^{2}\좌측(1-p+pe^{it}\우측)\\&=\좌측(1-p+pe^{it}\우측)^{2}=\varphi _{Z}(t)\ended}}}$

각 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 독립적이기$$ 때문에 제품에 대한 기대는 기대치의 산물이다.$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$과(와) $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$의 특성 함수가 같으므로 분포가 같아야 한다.

참고 항목

• 확률분포 목록

참조

• Hogg, Robert V.; McKean, Joseph W.; Craig, Allen T. (2004). Introduction to mathematical statistics (6th ed.). Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. p. 692. ISBN 978-0-13-008507-8. MR 0467974.