사상의 법칙

1854년 발간된 조지 불(George Boole)의 '논리와 확률의 수학적 이론'에 관한 사상 법칙의 조사(The Investigation of Think Laws on Which)'는 부울의 대수논리에 관한 두 단서 중 두 번째다. Boole은 당시 아일랜드 퀸즈 칼리지였던 코크(현 유니버시티 칼리지 코크)의 수학 교수였다.

내용 검토

논리의 역사학자 존 코코란은 접근^[1] 가능한 사상 법칙에 대한 소개와 사전 분석과 사상 법칙의 점별 비교를 썼다.^[2] 코르코란에 따르면, 볼은 아리스토텔레스의 논리를 완전히 수용하고 지지했다. Boole의 목표는 다음과 같이 아리스토텔레스의 논리를 "아래로, 넘어가는 것"이었다.

1. 방정식과 관련된 수학적 기초 제공
2. 타당성 평가에서 방정식 해결까지 다룰 수 있는 문제의 등급을 확장한다.
3. 처리할 수 있는 애플리케이션의 범위 확대 - 예를 들어, 용어가 두 개뿐인 제안에서 임의로 많은 제안까지.

좀 더 구체적으로, Boole은 아리스토텔레스의 말에 동의했다; Boole의 '불화'는, 만약 그들이 그렇게 불린다면, 아리스토텔레스가 말하지 않은 것에 대해 우려한다. 첫째로, 기초의 영역에서 Boole은 아리스토텔레스 논리의 네 가지 제안적 형태를 방정식의 형태로 공식으로 줄였는데, 그 자체로 혁명적인 사상이었다. 둘째로, 논리의 문제 영역에서, 볼이 논리에 방정식 풀이를 추가한 것, 즉 또 다른 혁명적 발상은, 아리스토텔레스의 추론 규칙('완벽한 삼단논법')은 방정식 풀이를 위한 규칙으로 보충되어야 한다는 볼의 교리를 함축시켰다. 셋째, 응용의 영역에서 볼의 시스템은 다항 명제와 논쟁을 처리할 수 있는 반면 아리스토텔레스는 두 개의 테두리로 된 주제 수정 명제와 주장만을 다룰 수 있었다. 예를 들어, 아리스토텔레스의 체계는 "정사각형인 사각형이 사각형인 사각형이 아닌 사각형이 아닌 사각형"이나 "정사각형인 사각형이 아닌 사각형"에서 "정사각형인 사각형이 아닌 사각형"을 추론할 수 없었다.

Boole의 작품은 대수 논리학의 규율을 확립했다. 그것은 종종, 그러나 실수로, 오늘날 우리가 부울대수로 알고 있는 것의 근원으로 인정된다. 그러나 사실, Boole의 대수학과는 현대의 Boole의 대수학과는 다르다: Boole의 대수학 A+B는 Boole의 미적분학에서 해석할 수 없는 용어의 허용가능성 때문에 정해진 조합으로 해석될 수 없다. 따라서 현대의 부울 대수의 경우와 마찬가지로 부울의 계정에 있는 알헤브라는 연합, 교차로, 보어의 운용에 따른 집합으로 해석될 수 없다. 부울 대수학의 현대적 계정을 개발하는 임무는 대수 논리학의 전통에 있어서 부울의 후계자들에게 떨어졌다(제본 1869년, 페어르 1880년, 제본 1890년, 슈뢰더 1890년, 헌팅턴 1904년).

해석할 수 없는 용어

그의 대수학에 대한 Boole의 설명에서 용어는 체계적 해석이 할당되지 않은 채 방정식적으로 논증된다. 어떤 곳에서는, Boole은 세트로 해석되는 용어를 이야기하지만, 2AB라는 용어와 같이 항상 그렇게 해석될 수 없는 용어를 인식하기도 한다. 그러한 용어는 해석할 수 없는 용어로 분류된다. 비록 다른 곳에서 그는 그러한 용어가 정수들에 의해 해석되는 몇몇 예를 가지고 있다.

스탠리 버리스가 나중에 "0과 1의 법칙"이라고 불렀던 것에서 기업 전체의 공조는 Boole에 의해 정당화되는데, 이것은 해석할 수 없는 용어들이 의미 있는 출발 공식으로부터 동등한 조작의 궁극적인 결과가 될 수 없다는 주장을 정당화한다(Burris 2000). 부울은 이 규칙의 증거를 제공하지 않았지만, 그의 체제의 일관성은 테오도르 하일페린에 의해 증명되었는데, 그는 부울의 이론에 대한 해석을 제공하기 위해 정수의 꽤 단순한 고리 구성을 바탕으로 한 해석을 제공했다(Hailperin 1976).

Boole의 1854년 담론의 우주 정의

모든 담화에는, 자신의 생각과 대화하는 마음이든, 아니면 다른 사람과 교제하는 개인의 마음이든, 그 운용의 대상이 한정되어 있는 가정이나 표현된 한계가 있다. 가장 제한되지 않은 담론은 우리가 사용하는 단어들이 가능한 가장 넓은 응용에서 이해되고, 그들에게 담론의 한계는 우주 자체의 그것들과 공동의 확장성을 갖는다는 것이다. 그러나 우리는 대개 덜 넓은 들판에 국한된다. 때로는 남성을 비하하면서 우리는 (한계를 표현하지 않고) 우리가 말하는 것은 오직 특정한 상황과 조건에서만, 문명인으로서, 또는 삶의 활기에 있는 남성들, 또는 어떤 다른 조건이나 관계에 있는 남성들만을 의미한다고 암시한다. 자, 우리 담론의 모든 대상들이 발견되는 영역의 범위가 무엇이든지 간에, 그 분야는 담론의 우주라고 적절하게 불릴 수 있을 것이다. 더욱이 이 담론의 세계는 가장 엄밀한 의미에서 담론의 궁극적인 대상이다.

— George Boole, ^[3]

에디션

• 부울(1854년). 사상의 법칙에 대한 조사. 월튼 & 메이벌리.
• 부울, 조지(1958년[1854년]) 논리학과 확률의 수학적 이론에 근거한 사상 법칙에 관한 연구 맥밀런. 수정본으로 다시 인쇄된 도버 출판사, 뉴욕 (Cambridge University Press, 2009년 발행) ISBN978-1-108-00153-3).

참고 항목

• 개념 대수

참조

인용구

참고 문헌 목록

• 버리스, S. (2000년) 불 사상의 법칙. 원고.
• Hailperin, T. (1976/1986) Boole의 논리와 가능성. 북 홀랜드.
• 하일페린, T, (1981) Boole의 대수학은 Boolean 대수학이 아니다. 수학 잡지 54(4): 172–184. A Boole Antology(2000년), James Gaser. 신스 라이브러리 291권, 스프링-버락.
• E.V. 헌팅턴(1904) 논리 대수학을 위한 독립적 체조 집합. 미국수학협회 5:288–309의 거래.
• W.S. 제본스(1869년) 시밀라의 대체. 맥밀란과 주식회사
• W.S. (1990년) 순수 논리 및 기타 사소한 작업. 에드: 로버트 애덤슨과 해리엇 A. 제본스. 레녹스 힐 펍. & Dist. Co.
• C.S. Peirce(1880). 논리학의 대수학에 대해서. American Journal of Mathematics 3 (1880)에서.
• 슈뢰더, E. (1890-1905) 대수학 데어 로직. 3권, B.G. Teubner.

외부 링크

• 프로젝트 구텐베르크 전문