트랜스 시리즈

수학에서 대수-배수성 트랜스시리즈의 T ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle E^{}}$ ${\$ 필드는 비아카이브 순서의 차등 필드로서, 초기 비트리거 함수의 점증 증가율의 비교 가능성을 훨씬 더 광범위한 개체 등급으로 확장한다.각 로그-확장 트랜스 시리즈는 공식적인 무증상 동작을 나타내며, 정식으로 조작할 수 있으며, 수렴(또는 모든 경우 무한 초현실 수치를 통한 특별한 의미론 사용) 시 실제 행동에 해당된다.트랜스 시리즈는 또한 기능을 표현하는데 편리할 수 있다.그들이 지수와 로그의 포함을 통해, 트랜스 시리즈는 무한대에서의 파워 시리즈를 강하게 일반화한다(${\displaystyle \underset{nn}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{\mathrm{}}{\overset{}{0}}}$∞ ${\displaystyle \frac{n_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \frac{n^{}}{}}$ ${\$ 및 기타 유사한 점증폭 확장이다.

T ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle E^{}}$ ${\$ 필드는 Dan-Göring과^[1] Ecalle에^[2] 의해 모델 이론이나 지수 분야의 각 맥락에서 독립적으로 도입되었으며, 둘락 추측의 Ecalle에 의한 분석적 특이성 및 증거 연구에 관한 연구였다$$.하디의 exp-log 기능 분야와 가속도-summable 시리즈 Ecalle 분야를 확장하는 형식적인 객체를 구성한다.

필드 $T{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle E^{}}$ ${\$는 풍부한 구조$$, 즉 일반화된 시리즈 및 합계의 개념을 가진 순서형 필드, 구별되는 반분법, 호환 가능한 지수 및 로그 함수, 직렬의 형식 구성 개념과 호환되는 파생된 필드.

예시 및 반례

비공식적으로 말하면, exp-log 트랜스 시리즈는 (즉, 역순서가 잘 정렬된) 형식적인 한 시리즈로, 양의 무한 $불확정{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x$ 지수, 로그 및 그 구성의 실제 파워와 실제 계수를 가지고 있다.두 가지 중요한 추가 조건은 $f{\displaystyle }$, ${\displaystyle f,}$에서 발생하는 exp 및 로그의 최대 반복 횟수인$$ exp-log transseries $f{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ f$,}$의 지수 및 로그 깊이가 제한되어야 한다는$$ 것이다.

다음 공식 시리즈는 로그 확장 트랜스 시리즈:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {e^{x^{\frac {1}{n}}}{n!}}}+{3}+\log x+\log \log x+\sum \log x+\log x+\}{n=0}^{n^{-n}+\sum _{i=1}^{-\sum }e^{j=1}^{j=1}^{{ix^{2}-x}}.}$

${\displaystyle \sum _{m,n\in \mathb {N}{}x^{\frac {1}{m+1}e^{-(\log x)^{n}}.}$

다음 공식 시리즈는 로그 확장 트랜스 시리즈가 아니다.

${\displaystyle \sum _n}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{N\mathbb{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}{}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ $$— 이 시리즈는 기반이 좋지 않다.

${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$+ 로그${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle }$ x + 로그 ⁡ 로그 ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle x}$ + ${\displaystyle \cdots }$ x + \$displaystyle \log x+\log \log$ x+\log $\log$ \log $\log$\log x+\$cdots }$ - 이 시리즈의 로그 깊이는 무한하다.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}x+e^{{\frac {1}{2}}\log x}+e^{e^{{\frac {1}{2}}\log \log x}}+\cdots }$ — the exponential and logarithmic depths of this series are infinite

두 개의 마지막 영상 시리즈를 포함하는 트랜시리즈의 차등 필드를 정의할 수 있다. 각 필드는 $T{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle L^{}}$ ${\$ {$T$$} ^{EL}$ 및$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle ⟨}$ ⟨ ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle \omega }$ ${$ {\$displaystyle \langle$ \$angle \angle$ \angle $\rangele}$에 속한다($$아래 초현실 숫자를 사용하는 단락 참조).

소개

주목할 만한 사실은 모델 이론 구조,+ ,,<, 에서 정의 가능한 모든 기능 및 심지어 모델 이론적 구조(\$mathb {R},+,\times ,<,\exp)$에서 정의 가능한 모든 기능의 점증 증가율이 모두 유사하다는 것이다$.$어디 f≤ ∞ g{\displaystyle f\leq_{\infty}g}∃ x을 의미한 f{\displaystyle f}과 g{\displaystyle g}를 위해, 우리는}또는 입수},.;x.(y){\displaystyle \exists, x.f(y)\le y> x.\forall f≤ ∞ g{\displaystyle f\leq_{\infty}g≤ ∞ f{\displaystyle g\leq_{\infty}f∀는 y을 f(y)≤ g 가지고 있다.qg($y)}$. The equivalence class of ${\displaystyle f}$ under the relation ${\displaystyle f\leq _{\infty }g\wedge g\leq _{\infty }f}$ is the asymptotic behavior of ${\displaystyle f}$, also called the germ of ${\displaystyle f}$ (or the germ of ${\displaystyle f}$ at infinity).

트랜스 시리즈 분야는 직관적으로 이러한 성장률을 공식 일반화한 것으로 볼 수 있다.기본 운영 외에도, 트랜스 시리즈는 한정된 지수 및 로그 깊이를 가진 적절한 시퀀스에 대해 "한계"에 따라 닫힌다.그러나 복잡한 것은 성장률이 아르키메데스가 아니기 때문에 최소한의 상한선 속성을 가지고 있지 않다는 것이다.우리는 초현실적인 숫자의 구성과 유사하게 최소의 복잡성의 최소 상한과 시퀀스를 연관시킴으로써 이것을 해결할 수 있다.For example, ${\displaystyle (\sum _{k=0}^{n}x^{-k})_{n\in \mathbb {N} }}$ is associated with ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{-k}}$ rather than ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{-k}-e^{-x}}$ because ${\displaystyle e^{-x}}$${\displaystyle e^{-x}}$은(는) 너무 빨리 소멸되며$$, 복잡성과 함께 빠른 부패를 식별하면 필요 이상으로 복잡성이 커진다(또한 점근법적 행동에만 신경 쓰기 때문에 점근법 정합은 처분적이지 않다).

비교가능성 때문에, 트랜스 시리즈는 진동 증가율(예: ${\displaystyle \sin }$ sin x $displaystyle \sin$ x$})$을 포함하지 않는다.$$반면 ${\displaystyle \underset{}{converk}!}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{k}{{}^{}}^{}}$! e${\displaystyle {{\frac{\mathrm{x}}{}}^{}}^{}}$ - ${\displaystyle {{\frac{k}{}}^{}}^{}}$+ 1 {\$displaystyle \sum$ \$limits_{k\$in \$mathb{{N} }k!e^{x^{-{\frac}{k}{k+1}}}}}}}$와 같은 트랜시시리즈는 융합시리즈나 실제$$ 가치 함수에 직접 해당하지 않는다.트랜시시리즈의 또 다른 제한사항은 각각 지수탑, 즉 유한 $반복{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {e{}^{{{.{}^{}}^{}}^{}}}^{}}$ ${\displaystyle {{{{{e{}^{}}^{}}^{}}^{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{{{{x^{}}^{}}^{}}^{}}^{}}^{}}$ ${\$e^{e^{{e$^}$에 의해 제한된다는 것이다.$^.^{.^{e^{x}}}}$ ${\displaystyle e^{}}$ x$$$${\$displaystyle$ e$^{x$ 따라서 테트레이션 및 기타 트랜스젠더 함수(즉, 어떤 지수탑보다 빠르게 성장하는 함수)는 제외된다.공식 트랜스젠더 필드를 구성하는 방법에는 형식적인 트랜스젠더($tranexponential$) 용어가 있다$.$ 예를$$ 들어 아벨 방정식 $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega {}_{}}^{}}$(${\displaystyle x^{}}$) = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{\Omega }_{}}^{}}$x ) = e ${\displaystyle {\Omega }_{}\mathrm{x}}$ +${\displaystyle }$1 $){\displaystyle e^{e_}(x)=e_{\omega }(x+1$)$$^[3].

형식구축

transseries는 어떤 식이 유효한지 규정하는 규칙, transseries의 비교, 산술 연산, 심지어 분화까지도 규정하는 공식(잠재적으로 무한) 표현으로 정의할 수 있다.그런 다음 적절한 트랜스 시리즈를 해당 기능이나 세균에 할당할 수 있지만 수렴과 관련된 미묘함이 있다.분산되는 트랜스 시리즈도 가속도 합계를 사용하여 의미 있게(그리고 독특하게) 실제 성장률을 할당할 수 있다(트랜스 시리즈에 대한 공식 운영에 동의함). 이는 보렐 합산의 일반화다.

트랜스 시리즈는 몇 가지 동등한 방법으로 공식화될 수 있다; 우리는 여기서 가장 간단한 것 중 하나를 사용한다.

트랜지스터는 좋은 기준의 합입니다,

${\displaystyle \sum a_{i}m_{i}}}$

유한 지수 깊이를 가진, 여기서 ${\displaystyle {각각}_{}}$의 i ${\$는 0이 아닌 실수이고$$ ${\displaystyle m_{}}$ i ${\$은(${\displaystyle i_{}}$ m ${\$${$$i$$}m_{i}}}})$는 단수간이지만 계수 ${\displaystyle a_{}}$= ${\displaystyle 1}$ = ${\d$ 각 mi가 ${\displaystyle {아니면}_{}}$단수가 아니다.$isplaystyle m_{i}}$은(는) 다르며, 합계 순서는 무관하다).

합계는 무한대 또는 트랜스피나이트일 수 있으며, 일반적으로 ${\displaystyle m_{}}$ i ${\$의 감소 순서로 기록된다$.$

여기서, 잘 기반한 것은 무한 오름차순 m < i < m >$⋯{\displaystyle m_{i_{1}:{2}}<m_{i_{3}}}<\cdots$}}}}이 없다는 것을 의미한다(잘 정렬 참조).

단일 초단위는 1, x, 로그 x, 로그 x, 로그 x, ..., e^{purely_large_transseries} 중 하나이다.

참고: $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\displaystyle {\mathrm{로그}}^{}}$ ${\displaystyle {\log }^{}}$x ${\$ x$^{n}=e^{n\log x$$}}},$ 원시적인 것으로 포함하지 않지만, 많은 저자가 포함하므로, 로그 없는 트랜스 시리즈는 ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle \log}$을(를) 포함하지 않고$$ $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\cdots }^{}}$ ${\displaystystystylease$}이 허용된다$$.또한 순전히_large_transseries (위)는 지수 깊이가 낮기 때문에 정의의 순환성은 피한다. 정의는 지수 깊이에 대해 재귀적으로 작용한다.${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\cdots }^{}}$ ${\$ x$^{a$^{$e^{\cdots }$을(를) 사용하고$$ 다른 단계를 명시적으로 구분하는 구조는 "Log-expected Han series as itempted Han series"(아래)를 참조하십시오.

순수하게 큰 트랜시시리즈는 비 빈 트랜시시리즈 $\sum {\displaystyle }$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$}}{i$}}}$마다 > 1${\displaystyle m_{i}}}1$

transseries는 유한 지수 깊이를 가지며, 여기서 e 또는 로그의 각 레벨의 내포 깊이가 1씩 증가한다(그래서 x + 로그 x + 로그 x + ...를 가질 수 없다.

transseries의 추가는 용어로 $\sum {\displaystyle }$ ${\displaystyle i_{}}$+ ${\displaystyle \sum }$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle \sum }$(${\displaystyle i_{}}$ +${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ) ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$i ${\$m_{i}$m_{i$}}}}}m_{i$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

비교:

$\sum {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 가장 유의미한 용어는 ${\displaystyle {가장}_{}}$ $큰{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ $a_$${i$}$m_{i$$}}}}}$이다($$합계가 잘 기초하므로 0이 아닌 트랜스 시리즈에 대해 존재한다).${\displaystyle }$③${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ i ${\$i}}}} 가장 유의한 항의 계수가 양수인 경우 양수$$(이 때문에 위에서 'purely used large'를 사용했다).X > Y ifff X - Y는 양수다.

단일 초단백질 비교:

${\displaystyle x}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\log }^{}}$ ${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle \log {\log }^{}}$ x = ${\displaystyle {}^{}}$ log ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle$ x$=e^{\log$ x$},\log x=e^{\log \log x},\ldots }$ $$– 이러한 것들이 우리 건축의 유일한 평등점이다.

$\displaystyle x>\log x>\log x>\cdots >1>0.}$

< ${\$ e$^{a}<e^{b})$ < ${\displaystyle a<$b$}($$또한{\displaystyle {}^{}}$ e ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ e$^{0}=1}).$

곱하기:

${\displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b}}$

${\displaystyle \left(\sum a_{i}x_{i}\right)\reft(\sum b_{j}y_{j}\right)=\sum _{k}\{k}\i,j\\\\\sum_{k}=x_{i}y_{j}a_{j}z_{j}z_{j}z}z}.}$

이것은 본질적으로 상품에 분배 법칙을 적용한다; 시리즈가 잘 기초하기 때문에, 내적 합은 항상 유한하다.

차별화:

${\displaystyle \left(\sum a_{i}x_{i}\오른쪽)=\sum a_{i}x_{i}'}$

${\displaystyle 1'=0,x'=1}$

${\displaystyle (e^{y})=y'e^{y}}}$

${\displaystyle (\log }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle y{}^{}}$) ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$/ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (\log y)'=y'/y}($분할은 곱셈을 사용하여 정의된다.

이러한 정의와 함께, 트랜스 시리즈는 순서가 정해진 차등 필드다.평가는ν{\displaystyle \nu}선두 모닉 transmonomial에 의해로 Transseries은 또한 존중되는 필드고 상응하는 점근 관계 0≠ f에 대해 정의된 g∈ TLE(^{LE}}에 의해 f≺ g{\displaystyle f\prec g}만약∀ 0<>r R∈, f<>r g${\displaystyle \fall 0<r\in \mathb {R}, f <$r g}(여기서 ${\displaystyle f}$= ${\displaystyle max}$(${\displaystyle f}$,${\displaystyle }$- f${\displaystyle }$) ${\displaystyle$f$=\max(f,-f)}$는 절대값이다$$.

기타 구성

반복된 Han 시리즈로 로그-확장 트랜스시리즈

로그가 없는 트랜스 시리즈

먼저 T ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle E^{}}$ ${\$$displaystyle \mathb{T} ^{E}$의 하위 $필드{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ T ${\$$displaystyle \mathb{T} ^{LE}$를 정의한다.그것들은 모든 로그 용어를 제외한 직렬이다.

귀납적 정의:

For ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ we will define a linearly ordered multiplicative group of monomials ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n}}$. We then let ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$ denote the field of well-based series ${\displaystyle \mathbb {R} [[$${\mathfrak{M}_{n}]}$.지도 $R{\displaystyle \mathbb{}}$→ ${\displaystyle M_{}}$ n ${\$에 잘 기반한 지원(즉, 역순서가 잘 되어 있는 지원)과$$ 함께 포인트 합계 및 카우치 제품(Hauchy 시리즈 참조)을 탑재한 세트다.${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$에서는 $1{\displaystyle \mathrm{}}${$displaystyle 1$ 위에 완전히 놓여 있는 단수형만을 포함하는 시리즈인 순수 대형 트랜시시리즈의 (비 유니탈) 하위링 ${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle {,}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$을 구분한다.

제품 $x{\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle b^{}}$ ${\displaystyle :={}^{}{}^{}}$ b $:=$${\displaystyle {}^{}}$ b :=$x a$ :=x ${\displaystyle b^{}}$ :=${\displaystyle x^{}}$ a +${\displaystyle {}^{}}$b$$${\$가 장착된 M ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ =${\displaystyle {}_{}}$x ${\displaystyle {R\mathbb{}}^{}}$ ${\$mathb$}{R$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$=x^{a+b}}$과(와) x b b £ < {\$displaystyle$ x$^{a}\filename x^{b}\frontrightarrow a<b$

If ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ is such that ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n}}$, and thus ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$ and ${\displaystyle \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$ are defined, we let ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n+1}}$ denote $형식$ 표현식 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle \theta \mathbb{}}$ ${\$$$$^{\theta}},$ ${\displaystyle \in }$ R ${\${${\displaystyle {}_{}^{}}$$}$ 및 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{,}^{}}$ ${\displaystyle {\succ }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ {$T} _n,such }{}{{{{{{{{{E$This forms a linearly ordered commutative group under the product ${\displaystyle (x^{a}e^{\theta })(x^{a'}e^{\theta '})=(x^{a+a'})e^{\theta +\theta '}}$ and the lexicographic order ${\displaystyle x^{a}e^{\the$$ta }\property x^{a'}$e^{\$theta '}}$만약에$$ 그리고 만일 ${\displaystyle }$ <${\displaystyle {}^{}}$ <<a>} $또는$ ( { = =${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\backslash }^{}}$ =$$\$displaystyle \theta =\$$displaysty a$$>$와 ${\$ a.

The natural inclusion of ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{0}}$ into ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{1}}$ given by identifying ${\displaystyle x^{a}}$ and ${\displaystyle x^{a}e^{0}}$ inductively provides a natural embedding of ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{$$n}}$ into ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n+1}}$, and thus a natural embedding of ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$ into ${\displaystyle \mathbb {T} _{n+1}^{E}}$. We may then define the linearly ordered commutative group ${\displaystyle {$$\mathfrak {M}}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {M}}_{n}}$ and the ordered field ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {T} _{n}^{E}}$ which is the field of log-free transseries.

The field ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$ is a proper subfield of the field ${\displaystyle \mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}]]}$ of well-based series with real coefficients and monomials in ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$. Indeed, every series ${\displaystyle f}$ in ${\dis$$playstyle \mathb {T}$^{$E}}$은(는) 한정된 지수 깊이를 가지며, 즉, ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}{}_{}^{}}$ T n ${\$f\$in{\displaystyle }$ \$mathb {T} _{n}^{E}$와 같은 최소 양의 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystystystyle$ n}을(으)로$$ 한다$.$

${\displaystyle e^{-x}+e^{-e^{x}}+{-e^{x}}+\cdots \in \mathb {R}[{\mathfrak{M}]}}}$

그런 구속력이 없다.

$T{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$:

log-free transseries의 필드는 특정 사상 지수 함수는 통해 기능:(TE, +)→(TE,>,×){\displaystyle \exp:(\mathbb{T}^{E},+)\to(\mathbb{T}^{E,>.},\times)}. f{\displaystyle f}가 되log-free transseries과 n∈ N{\displaystyle n\in \mathbb자 갖추고 있다. {N}}$$ be the exponential depth of ${\displaystyle f}$, so ${\displaystyle f\in \mathbb {T} _{n}^{E}}$. Write ${\displaystyle f}$ as the sum ${\displaystyle f=\theta +r+\varepsilon }$ in ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E},}$ where ${\displayst$$yle \theta \in \mathb {T} _{n,\such }^{E$ r ${\displaystyle r}$이(가) 실수이며 $and{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$은(그 중 0일 수 있음)이다$$.그러면 형식적인 한섬

${\displaystyle E(\varepsilon ):=\sum _{k\in \mathb {N}{\frac {\varepsilon ^{k}}{k!}}}$

converges in ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$, and we define ${\displaystyle \exp(f)=e^{\theta }\exp(r)E(\varepsilon )\in \mathbb {T} _{n+1}^{$$e$$}$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle \exp(r)}$은$($는) $r{\displaystyle }$ {\$displaystyle r}$의 실제 지수함수의 값이다$.$

${\displaystyle e^{}}$ x ${\$ e$^{x}}$:

${\displaystyle {{시리즈}^{}}_{}}$ $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$${\displaystyle {}_{}}$${\$ $\circle$ $_$${e$$^{x}}$이(가) 있는$$ 올바른 구성은 지수 깊이에 대한 유도에 의해 다음과 같이 정의할 수 있다$$.

${\displaystyle \left(\sum f_{\matrixfak {m}}{\matrixfak {m}\오른쪽)\matrix e^{x}:=\sum f_{\mathfrak{m}({\mathfrak {m}\m}\mathfrak e^{x}),}$

$x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}^{}}$ x := e ${\displaystyle r^{}}$ × ${\$ x$^{r}\circle e^{x}}:=e^{rx$ 단수체가${\displaystyle {}_{x^{}}}$ ${\displaystyle {e{}^{}}_{}}$x$,$ {\$displaystyle \circirc _{$e^{$x}}}$에 의해 보존되기$$ 때문에 귀납적으로 따라 각 유도 단계마다 합계가 잘 정의된다.

로그 익스프레스 트랜스시리즈

정의:

위에서 정의한$$ 기능 ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \exp }$은(는) ${\displaystyle {}^{}}$,> ${\$$displaystyle \mathb {T} ^{E$에 대해 로그가 부분적으로만 정의되어 있으므로, 예를 들어 영상 $시리즈{\displaystyle }$ x ${\displaysty$ x$}$에는 로그가 없다$$.게다가 모든 양의 무한 로그 없는 트랜지스터는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 어떤 양의 전력보다 크다$.$ $T{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에서 $T{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ L ${\displaystyle E^{}}$ ${\$^{$LE}$로 이동하기 위해$,$ 형식화된 시리즈 $x$ ${\datastytype$ x {\data$.$ogarithms ${\displaystyle {\ell n}_{}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$의 공식 역수처럼 동작할$$ 수 $있는{\displaystyle }$\$displaystyle$ n$}-$배열$$ 반복 지수 용어는 ${\displaystyle e_{}}$ ${\$를 가리킨다$.$

For ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ,}$ let ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{m,n}}$ denote the set of formal expressions ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}}$ where ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\in {\mathfrak {M}}_{m}}$. We turn this into an ordered group by defining ${\displaystyle ({\mathfrak {u}}\circ \ell _{n})({\mathfrak {v}}\circ \ell _{n}(x)):=({\mathfrak {u}}{\mathfrak {v}})\circ \ell _{n}}$, and defining ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}\prec {\mat$$hfrak{v}}\circ \circle _{n}$ ${\displaystyle u}${\mathfrak{u}\prec{\mathfrak{n}}}}. ${\displaystyle {}_{}^{}}$m, ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle :=R\mathbb{}}$ ${\displaystyle [[M_{,}}$ $]{\displaysty$ style $\mathb {T} _{m,$n}^{{{{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}를 정의한다.LE}:=\mathbb{R}[[{\mathfrak{M}}_{m,n}] 뻗는다}. 만약 n′>n{\displaystyle n'>, n}과 m′≥ m+(n′− n),{\displaystyle m'\geq m+(n'-n),}우리가 깊이 새겨 Mm, n{\displaystyle{\mathfrak{M}}_{m,n}}에 Mm({\displaystyle{\mathfrak{M}}_{m',n의}}에 의해 식별하는 요소 u. ∘ ℓ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ \ell$_n}$이라는 용어와 함께$$

${\displaystyle \left \mathfrak{u}\cdbrace {e^{x}\cdots \cdots \cdots \cdots \^{n'-n}\right}\cdes \el _{n'}.}$

그런 다음 T ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle E^{}}$ ${\$를 지시된 조합으로$$ 얻는다.

${\displaystyle \mathb {T} ^{LE}=\bigcup _{m,n\in \mathb {N}}\mathb {T} _{m,n}^{LE}.}$

$T{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{E}^{}}$에서 ${\displaystyle \mathb {T} ^{LE}}}$의 오른쪽$$ 구성${\displaystyle {}_{com}}$ ${\$$displaystyle \circ$ $_{\ell}$은(는$)$ 다음과 같이 자연스럽게 정의된다$$.

${\displaystyle \mathb {T} _{m,n}^{LE}\ni \left(\sum f_{{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}}{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}\right)\circ \ell :=\sum f_{{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}}{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n+1}\in \mathbb {T} _{m,n+1}^{LE}}$

지수 및 로그:

Exponentiation TLE(^{LE}}에 비슷한 방법으로log-free transseries으로, 그러나 여기서 또한 exp{\displaystyle \exp}TLE에 대해 상호 로그{\displaystyle \log}, 전적으로 긍정적인 시리즈 f에{\displaystyle \mathbb{T}^{LE,>.}}. 실제로, ∈ 정의될 수 있다. Tm, n나는 E,>{\displaystylef\in \mathbb{T}_{m,n}^{LE,>.}},)mr(1+ε){\displaystyle f={\mathfrak{m}}r(1+\varepsilon)}이 m{\displaystyle{\mathfrak{m}}}은 f{\displaystyle f}( 대한 지원의 큰 요소)의 지배적인 monomial, r{r\displaystyle}은 correspondin f를 쓴다.gpos반복 실제 계수, $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \frac{f\mathfrak{}}{}}$ r${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \varepsilon :={\frac {f}{{\mathfrak{m}r}-1}$는 최소값이다.정식 한섬

${\displaystyle L(1+\varepsilon ):=\sum _{k\in \mathb {N}{\frac {(-\barepsilon )^{k}{k+1}}}$

$T{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle E_{}^{}}$ ${\$$LE}}$. Write ${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}}$ where ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\in {\mathfrak {M}}_{m}}$ itself has the form ${\displaystyle {\mathfrak {u}}=x^{a}e^{\theta }}$ where ${\displaystyle \t$$heta \in \mathbb {T} _{m,\succ }^{E}}$ and ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$. We define ${\displaystyle \ell ({\mathfrak {m}}):=a\ell _{n+1}+\theta \circ \ell _{n}}$. We finally set

${\displaystyle \log(f):=\ell({\mathfrak{m})+\log(c)+L(1+\varepsilon )\in \mathb {T} _{m,n+1}^{{m.LE}}$

초현실수 사용

로그 익스프레스 트랜스 시리즈 직접 구성

또한 로그 확장 트랜스 시리즈 필드를 초현실적인 숫자의$$ $순서$가 ${\displaystyle \mathbf{지정}}$된 필드 N$o$ {\$displaystyle$ \mathbf ${No}$의 하위 필드로 정의할 수 있다.^[4]필드 $N{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{o}}$ ${\$는) 곤쇼르-Kruskal의 지수 및 로그 함수와^[5] 콘웨이 정규형 하의 웰 기반 영상 시리즈 필드 자연 구조를 갖추고 있다$$.^[6]

$F{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle E_{}^{}}$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ (${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle F_{0}^{{$0}} 정의$LE}=\mathbb {R} (\omega )}$, the subfield of ${\displaystyle \mathbf {No} }$ generated by ${\displaystyle \mathbb {R} }$ and the simplest positive infinite surreal number ${\displaystyle \omega }$ (which corresponds naturally to the ordinal ${\displaystyle \omega }$, and as a transseries to the series ${\displaystyle x}$$(\displaystyle x}$ $$)그런 다음 n${\displaystyle }n{\displaystyle }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$에 $대해{\displaystyle {}_{}^{}}$ F${\displaystyle n_{}^{}}$ + ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle L_{}^{}}$ E$${\$displaystyle F_{n+1}^{{$n}{n}}}을 정의하십시오$.$$LE}}$ $F{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle L_{}^{}}$ E ${\$n}}에$$ 의해 생성된 필드로서$LE$ F ${\displaystyle n_{}^{}}$ L ${\displaystyle E_{}^{}}$ ${\$$LE}}$과(와) F ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle L_{}^{}}$ E ${\$n}}}의 엄격히 양성된 요소의 로그$LE$ 그리고 (Han) ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle L_{}^{}}$ E$${\$displaystyle F_{n}^{{$n}}}에서 (Han)의 합계.$LE$ 유니언 $F{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle E_{}^{}}$= ${\displaystyle \bigcup _{}}$ ${\displaystyle \underset{}{n\mathbb{}}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ N ${\displaystyle F_{}^{}}$ N$$L E {\$displaystyle F_${\omega$$}^{}{$LE}=\bigcup _{n\in \mathb {N} }F_{n}^{$$n}$$LE}}$ is naturally isomorphic to ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$. In fact, there is a unique such isomorphism which sends ${\displaystyle \omega }$ to ${\displaystyle x}$ and commutes with exponentiation and sums of summable families in ${\displaystyle F_{\omega }^{$$LE{\displaystyle {}_{}}$$}}}$$$ Ω{\$displaystyle F_${\omega $}}}}$에 누워 있다$$$.$

다른 직렬 필드

• $F{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle E_{}^{}}$ ${\$$displaystyle \mathbf {Ord}을($를) 넘어$$ O ${\displaystyle \mathbf{r}}$ ${\displaystyle \mathbf{d}}$ ${\$$displaystyle F_{\omega }^{{}}}$에 대한 트랜스피니트 유도에 의해 이 프로세스를 계속하는 중$LE}}$, taking unions at limit ordinals, one obtains a proper class-sized field ${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$ canonically equipped with a derivation and a composition extending that of ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ (see Operations on transseries below).

• $F{\displaystyle {}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle L_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$LE}$ 1은$$ 하위 필드 $F{\displaystyle {}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle L_{}^{}}$ ${\displaystyle :=}$ R ${\displaystyle (\Omega ,}$ ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$,${\displaystyle }$…$){\displaystyle F_{0}^{{}}}}$로 시작한다.$EL}:=\mathbb {R} (\omega ,\log \omega ,\log \log \omega ,\ldots )}$ generated by ${\displaystyle \mathbb {R} }$ and all finite iterates of ${\displaystyle \log }$ at ${\displaystyle \omega }$, and for ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,F_{n+1}^{$$EL}}$은(는) ${\displaystyle F_{}^{}}$ n$$E L {\$displaystyle F_{$n}^{에 의해 생성된 하위 필드 입니다.$EL$ $F{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ E ${\displaystyle L_{}^{}}$ ${\$${\displaystyle {EL}_{}^{}}$$}}$과(와) $F{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ E L ${\$n}^{$EL}}$을$($를) 그러면 총 지수 함수가 장착된$$ T $L{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle E^{}}$ ${\$$}$의 적절한 확장인 지수 로지스틱 트랜스시리즈의 T$$ E ${\displaystyle L^{}}$ ${\$} 필드 T ${\displaystyle {}^{}}$}를 얻는다.^[7]

N시{\displaystyle \mathbf{아니}에 그 Berarducci-Mantova derivation[8]}TLE(^{LE}}에 대한 자연과 계통적 유래, 그리고 TEL{\displaystyle\의 통해 주문한 분야 구조와 일반적인 직권 계자 구조와의 호환성 관계를 만족시키기 위해 독특하다 일치한다.매트$hbb {T} ^{EL}}$ 및$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$⟨${\displaystyle }$⟨ ${\displaystyle \Omega }$ ω${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle .}$

Contrary to ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE},}$ the derivation in ${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$ and ${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$ is not surjective: for instance the series

${\displaystyle {\frac {1}{\omega \log \log \cdots \log \log \cdots }}}:=\exp(-(\log \omega +\log \log \log \log \log \omega +\cdots )\in \mathb {T}^{EL}$

$T{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle L^{}}$ ${\$ $또는$ R ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle \omega }$ ω ω ω ${\displaystyle \{}$ {\$displaystyle \r} \langle \langle \omega \rangle \rangele}}$에 해독제가 없다($$이것은 해당 필드에 트랜스젠테이션 함수가 들어 있지 않음과 연결됨).

추가 속성

트랜스 시리즈에 대한 운영

차등 지수 순서 필드에서 작업

트랜스 시리즈는 폐쇄 특성이 매우 강하며, 트랜스 시리즈에 대해 많은 작업을 정의할 수 있다.

• 로그-확장 트랜스시리즈는 기하급수적으로 폐쇄된 순서의 필드를 형성한다. 즉, 지수 함수와 로그 함수는 총합이다.예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle \exp(x^{-1}=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {1}{n!}}x^{-n}\cHB{\text{and}}\log(x+\ell )=\el +\sum _{n=0}^{n=0}}}{\frac{(x^{-1}\ell )^{n}{n+1}}}.}$

• 로그는 양의 인수에 대해 정의된다.
• 로그-엑스포트 시리즈는 실제 폐쇄된다.
• 통합: 모든 로그 확장 $트랜스{\displaystyle }$ 시리즈 f ${\displaystyle f}$에는 0의 상수 용어 $F{\displaystyle }$f T ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle E^{}}$ ${\$^{$LE$ F ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle f}$ ${\displaysty F'=f},$ ${\displaystyle F_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystysty F_{1}=0}$이 있는 고유한 항변환제가 있다$$$.$
• 로그 항변제: f${\displaystyle }f{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle L^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$f\$in \mathb {T}$^{$LE$의 경우 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ T ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle E^{}}$ ${\$이 있으며 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= h ${\$

참고 1. 마지막 두 가지 속성은 $T{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle L^{}}$ E ${\$이(가) Louville 닫혔음을 의미한다.

참고 2. 기본적인 비트리거 함수와 마찬가지로 각 양의 $무한{\displaystyle }$ 트랜시시리즈 f ${\displaystyle f}$은 다음과 같은 강한 의미에서도 통합 지수성을 가진다$$.

${\displaystyle \exists k,n\in \mathb {N} :\quad \ell _{n-k}-1\leq \ell _{n}\circle f\leq \ell _{n-k}+1.}$

숫자 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$은(는) 고유하며$$, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 지수라고 한다$.$

직렬의 구성

TLE(^{LE}}의 기발한 속성이 작문 ∘:TLExTLE, 을을 인정하고, ≻ → TLE{\displaystyle \circ:\mathbb{T}^{LE}\times \mathbb{T}^{LE,>, ,\succ}\to\mathbb{T}^{LE}}(어디 TLE,>,{\displaystyle \mathbb{T}^{LE,> ≻, ,\succ 있다. }}이긍정적인 무한한log-exp transseries은 log-exp TLE에 대해 함수로 f{\displaystyle f}transseries을 볼 수 있게 해 주Set.,≻{\displaystyle \mathbb{T}^{LE,>, ,\succ}}. Informally, g∈ TLE의, 을 말하기,≻{\displaystyleg\in \mathbb{T}^{LE,>, ,\succ}}와 f∈ TLE.{\displ$aystyle f\in \mathb{T} ^{LE$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에서 $변수{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$의 각 $발생$을 g ${\displaystyle g}$로 교체하여 $시리즈{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \circ }$ g ${\$displaystyle g$}$을 얻는다$$$.$

특성.

• Associativity:f에 ∈ TLE(^{LE}}과 g, h∈ TLE,>,≻{\displaystyle g,h\in \mathbb{T}^{LE,>, ,\succ}}, 우리는 g∘ h∈ TLE,>,≻{\displaystyle g\circh\in \mathbb{T}^{LE,>, ,\succ}}과 f ∘(gh∘))(fg∘)∘ h{\displaystyle f\circ(g\c.irc h)=(f\ci$rc$ g$)\bm h$
• 권리 구성의 호환성:g 들어 ∈ TLE,>,≻{\displaystyleg\in \mathbb{T}^{LE,>, ,\succ}}, 함수 g:f↦ f∘ g{\displaystyle \circ_{g}:f\mapsto f\circ g}를 보낸다)g에{\displaystyle)}{\displaysty TLE(^{LE}}은 공식적인 금액으로 통근한다의 필드가 자기 동형 ∘.g르}$$, ${\displaystyle e^{x}}$ onto ${\displaystyle \exp(g)}$ and ${\displaystyle \ell }$ onto ${\displaystyle \log(g)}$. We also have ${\displaystyle \circ _{x}=\operatorname {id} _{\mathbb {T} ^{LE}}}$.
• 유니시티: 이전의 두 가지 특성을 만족시키기 위해 그 구성이 독특하다.
• 단조함수: $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ L ${\displaystyle E^{}}$ ${\$에 대해 함수g $g{\displaystyle }$f${\displaystyle f}$ f $f$g ${\$$displaystyle$ g\$mapsto$ f$\circg}$는 L$E$에서 일정하거나$$ 엄격히 단조롭다단조로움은 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ f$'}$의 부호에 달려 있다$.$
• Chain rule: for ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}\times }$ and ${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$, we have ${\displaystyle (f\circ g)'=g'f'\circ g}$.
• Functional inverse: for ${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$, there is a unique series ${\displaystyle h\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ with ${\displaystyle g\circ h=h\circ g=x}$.
• Taylor expansions: each log-exp transseries ${\displaystyle f}$ has a Taylor expansion around every point in the sense that for every ${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ and for sufficiently small ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {T} ^{LE}}$, we have

${\displaystyle f\circle (g+\varepsilon )=\sum _{k\in \mathb {N}{\frac {f^{(k)\circg}{k!}}\varepsilon ^{k}}$

여기서 합은 한 가정의 공식적인 합이다.

• 분수 반복: 0 ${\displaystyle$ $a}$과와) ${\$ f}{$$$} \mathb {T} ^{LE,$ )\$such }}$의 경우$,$ $지수{\displaystyle }$0 {\$displaystyle$ a}의 모든 실제 $번호{\displaystyle }$ ${\$$displaystystystyle$ f$^{a$$}$가 정의된다$$.^[9]

결정성과 모형 이론

차등순차값차등장 이론

The ${\displaystyle \left\langle +,\times ,\partial ,<,\prec \right\rangle }$ theory of ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ is decidable and can be axiomatized as follows (this is Theorem 2.2 of Aschenbrenner et al.):

• ${\displaystyle {\mathbb{T}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle E^{}}$ ${\$은 순서가 지정된 값진 차등 필드다$$.
• $#0\displaystyle f>0\wedge f\such 1\longrightarrow f'0}$
• $1\Longrightarrow f'\prec 1}$
• $\displaystyle \f\all g:\display g'=f}$
• $\displaystyle \f\f\f\f:\f'=fh}$
• 중간 값 속성(IVP):

${\displaystyle P(f)<0\wedge P(g)0\Longrightarrow \exists h:\quad P(h)=0,}$

여기서 P는 차등 다항식, $즉{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$, f${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ,${\displaystyle }$f ${\displaystyle {″}^{}}$, ${\displaystyle \dots ,f^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle f,f',f'$ ,$f^{(k.)}$의 다항식이다$.$

이 이론에서 지수는 본질적으로 기능(분화 사용)에 대해 정의되지만 상수는 아니다. $사실{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$, R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 모든 정의 가능한 부분집합은$$ 반음절이다.

순서 지수장 이론

The ${\displaystyle \langle +,\times ,\exp ,<\rangle }$ theory of ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ is that of the exponential real ordered exponential field ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times ,\exp ,<)}$, which is model complete by Wilkie's theorem.

하디 필드

${\displaystyle {}_{\mathrm{T}}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 가속도섬유를 사용하여 해당 하디 필드가 T ${\$의 하위 필드에 해당하는 최대 하디 필드로 추측된다(이러한 추측은 비공식적이다).$T{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 차등 하위 필드로의 Hardy 필드의 이형성이 정의되지$$ 않음)${\displaystyle {}_{\mathrm{T}}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) T$${\$displaystyle \mathb {T}}}$의 상기의 공리를 만족시킬 것으로 추측된다$.$ 가속도를 정의하지 않고, 융합형 트랜스 시리즈에서의 연산이 서로 다른 공리를 생성하는 반면 해당 세균에 대한 동일한 연산이 유효한 세균을 생성하는 경우, 우리는 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.그리고 나서 그 세균과 다른 트랜지스터를 연관시킬 수 있다.

하디 필드는 하디 필드가 없으면 최대치라고 한다.조른의 보조마법을 응용하여 모든 하디 필드는 최대 하디 필드로 되어 있다.모든 maximal 하디 밭 초등 차동 필드로 해당하고 실제로}.[10]Logarithmic-transseries는 최대 하디 밭에 모든 transseries 진정한 기능, 그리고 최대에 해당합니다에 해당하지 않는 TLE(^{LE}과 같은 1차 이론이 했던 것으로 추측.나는 H아디 필드는 항상 성전환 함수를 포함한다.^[11]

참고 항목

• 포멀 파워 시리즈
• 한 시리즈
• 지수폐쇄장
• 하디필드

참조

• Edgar, G. A. (2010), "Transseries for beginners", Real Analysis Exchange, 35 (2): 253–310, arXiv:0801.4877, doi:10.14321/realanalexch.35.2.0253.
• Aschenbrenner, Matthias; Dries, Lou van den; Hoeven, Joris van der (2017), On Numbers, Germs, and Transseries, arXiv:1711.06936, Bibcode:2017arXiv171106936A.