비선형 슈뢰딩거 방정식

비선형 슈뢰딩거(NLS) 방정식의 정확한 해석 브리더 용액의 절대값. (A) 아크메디예프 브리더, (B) 페레그린 브리더, (C)^[1] 쿠즈넷소프-마 브리더.

이론물리학에서 (1차원) 비선형 슈뢰딩거 방정식(NLSE)은 슈뢰딩거 방정식의 비선형 변형이다. 이것은 비균형 광섬유와 평면 도파관에서의^[2] 빛의 전파와 평균장 체제에서 비등방성 시가 모양의 트랩에 국한된 보스-아인슈타인 응축물에 주된 응용을 하는 고전적 장 방정식이다.^[3] 또한 방정식small-amplitude 중력파의 깊은 점도가 없는(zero-viscosity)물의 표면에 대한 연구를, 뜨거운 플라스마 양쪽에[2]은 랭뮤어 파도, 전리층의 초점 지역에서plane-diffracted 파도 빔의 전파[2]합니다;그리고 그것에 대한 책임이 있다비도프의alpha-helix solitons의 전파[4]으로 보인다. 에너지 t분자 사슬을 따라 이동한다.^[5] 그리고 다른 많은 것들. 보다 일반적으로 NLSE는 분산이 약한 비선형 매체에서 서서히 변화하는 준 단색파 패킷의 진화를 설명하는 보편 방정식의 하나로 나타난다.^[2] 선형 슈뢰딩거 방정식과 달리 NLSE는 결코 양자 상태의 시간 진화를 기술하지 않는다. 1D NLSE는 통합 가능한 모델의 예다.

양자역학에서 1D NLSE는 고전적 비선형 슈뢰딩거 필드의 특수한 경우로서, 이는 양자 슈뢰딩거 필드의 고전적 한계인 것이다. 반대로 고전적인 슈뢰딩거 장을 시논적으로 정량화하면, 델타 함수 상호작용의 보소닉 점 입자를 기술하는 양자장 이론(이것은 ″퀀텀 비선형 슈뢰딩거 방정식 ″ despite)이 된다 - 입자가 같은 지점에 있을 때 밀어내거나 끌어당긴다. 실제로 입자의 수가 유한할 때 이 양자장 이론은 리브-리니거 모델에 해당한다. 양자 방정식과 고전적인 1D 비선형 슈뢰딩거 방정식은 모두 통합이 가능하다. 특별한 관심이 있는 것은 무한 강도 반발의 한계인데, 이 경우 리브-리니거 모델은 톤스-기라르도 가스(하드코어 보세 가스, 또는 뚫릴 수 없는 보세 가스라고도 한다)가 된다. 이 한계에서 보손은 요르단-위그너 변환의 연속적인 일반화인 변수의 변화에 의해 시스템 1차원 비접촉식 스핀리스^{[nb 1]} 페르미온으로 변환될 수 있다.^[6]

비선형 슈뢰딩거 방정식은 1950년 초전도성에 관한 연구에서 도입된 긴츠부르크-란다우 방정식의 단순화된 1+1차원 형태로서 광학빔 연구에서는 R. Y. 차오, E. 가미레, C. H. 타운즈(1964, 방정식 (5)가 명시적으로 적었다.

다차원 버전은 라플라시아인에 의한 두 번째 공간적 파생물을 대체한다. 둘 이상의 차원에서는 방정식이 통합될 수 없으며, 붕괴와 파동 난류를 허용한다.^[7]

방정식

비선형 슈뢰딩거 방정식은 비선형 부분 미분 방정식으로 고전학 및 양자역학에 적용할 수 있다.

고전 방정식

고전적 필드 방정식(차원이 없는 형태)은 다음과 같다.^[8]

비선형 슈뢰딩거 방정식 (클래식장 이론)

$i\properties _{t}\properties _{x}^{2}\properties _{x}^{2}\pa \papa \pa \pa \{2}\pa$

복합 필드 ψ(x,t)의 경우.

이 방정식은 해밀턴어에서^[8] 비롯된다.

{\daystyle H=\int \mathrm {d} x\left[{1 \over 2} \partial _{x}\psi ^{2}+{\kappa \over 2} \psi ^{4}\right]}

포아송 대괄호로

\{\displaystyle \{\displaystyle (x),\display ^{*}(y)\}=0\,

\\displaystyle \{\displaystyle \{*(x),\display (y)\}=i\display (x-y).\,}

선형상대와 달리, 양자 상태의 시간 진화를 결코 기술하지 않는다.

음의 κ을 가진 경우를 포커싱이라고 하며 브리더 용액뿐만 아니라 밝은 솔리톤 용액(공간에서 국부화, 무한을 향한 공간 감쇠)을 허용한다. 그것은 Zakharov & Shabat (1972) (아래 참조)에서 보듯이 역 산란 변환을 이용하여 정확하게 해결할 수 있다. 또 다른 경우는 κ 양의 경우, 어두운 솔리톤 용액(무한도에 일정한 진폭을 가지고 있고 진폭에 국소 공간 딥을 가지고 있음)^[9]을 가진 NLS의 포화 제거다.

양자역학

정량화된 버전을 가져오려면 쉼표로 포아송 대괄호를 바꾸십시오.

{\cHB(x),\cHB(y)&=[\regated ^{*}(x),\cHB^{*}(y)=0\\}[\cHB^{*(x)],\cHB(y)&=-\ended}}}}}}}

해밀턴인에게 정상적인 질서를 부여한다.

H=\intdx\왼쪽[{1 \over 2}\partial _{x}\psi ^{x}\psi ^{\doger }\psi \psi \right]

양자 버전은 립과 리니거가 베테 안사츠에 의해 해결되었다. 열역학은 첸닝 양에 의해 설명되었다. 양자상관함수도 1993년 코레핀이 평가한 바 있다.^[6] 이 모델은 더 높은 보존법을 가지고 있다 - 1989년 데이비스와 코레핀은 그것들을 지역적 분야로 표현했다.^[10]

방정식 풀기

비선형 슈뢰딩거 방정식은 1d로 통합할 수 있다: Zakharov와 Shabat(1972)은 역 산란 변환으로 해결했다. 해당 방정식의 선형 시스템을 Zakharov-Shabat 시스템이라고 한다.

{\begin}\phi _{x}&=J\phi \Lambda +U\phi \\\phi _{t}=2J\phi \lambda ^{2}+2}U\phi \Lambda +\왼쪽(JU^{2}-JU_{x}\오른쪽)\phi ,\end{aigned}}}

어디에

\Lambda ={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}},\quad J=i\sigma _{z}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad U=i{\begin{pmatrix}0&q\\r&0\end{pmatrix}}.

비선형 슈뢰딩거 방정식은 Zakharov-Shabat 시스템의 호환성 조건으로 발생한다.

\phi _{xt}=\phi _{tx}\quad \rightarrow \quad U_{t}=-JU_{xx}+2JU^{2}U\quad \좌우타로우 \quad \quad {\begin}iq_{t}=q_{xx}+2qrq\\ir}=-r_{xx}-2qrr.\end{case}}

q = r* 또는 q = - r*를 설정함으로써 매력적이거나 반발적인 상호작용을 갖는 비선형 슈뢰딩거 방정식을 얻는다.

대안적 접근방식은 Zakharov-Shabat 시스템을 직접 사용하며 다음과 같은 Darboux 변환을 채택한다.

\displaystyle {\begin{aigned}\phi \phi [1]&=\phi \lambda -\sigma \phi \\\\u\to U[1]&&gt;&gt;=U+[J,\sigma ]\\\sigma &=\varphi \Oomega \varphi ^{-1}\ended}}}

그래서 그 시스템은 변하지 않아

여기서 φ은 스펙트럼 파라미터 Ω을 갖는 자하로프-샤바트 시스템의 또 다른 반전성 매트릭스 용액( (과 다른)이다.

{\begin{aigned}\varphi _{x}&=J\varphi \Oomega +U\varphi \\\varphi _{t}=2J\varphi \Oomega ^{2}+2}U\varphi \Oomega +\좌측(JU^{2}-JU_{x}\우측)\varphi .\ended}}

사소한 솔루션 U = 0과 반복에서 시작하여 n 솔리톤으로 솔루션을 얻는다.

NLS 방정식은 Gross-Pitaevski 방정식과 같은 부분 미분 방정식이다. 일반적으로 분석 용액이 없으며 분할 단계 크랭크-니콜슨 [11] 및 푸리에 스펙트럼^[12] 방식과 같이 그로스-피타에프스키 방정식을 해결하기 위해 사용되는 동일한 수치 방법이 그 용액에 사용된다. 솔루션에는 다양한 포트란과 C 프로그램이 있다.^[13]^[14]

갈릴레이의 불변

비선형 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 의미에서 갈릴레이 불변성이다.

솔루션 ψ(x, t)을 지정하면 ψ(x, t)의 모든 곳에서 x + vt로 교체하고 $e^{-iv(x+vt/2)}\,$ $e^{-iv(x+vt/2)}\,$ + $e^{-iv(x+vt/2)}\,$ t $e^{-iv(x+vt/2)}\,$ / 2 $e^{-iv(x+vt/2)}\,$ )의 $위상계수$ {- $iv(x+vt/2)\,},}$ 을(를) 추가하여 새로운 솔루션을 얻을 수 있다 $e^{-iv(x+vt/2)}\,$

\cHB(x,t)\mapsto \{[v]}(x,t)=\cHB(x+vt,t)\;e^{-iv(x+vt/2)}.

광섬유의 비선형 슈뢰딩거 방정식

광학에서 비선형 슈뢰딩거 방정식은 광섬유의 파동 전파 모델인 마나코프 시스템에서 발생한다. 함수 ψ은 파형을 나타내며, 비선형 슈뢰딩거 방정식은 비선형 매체를 통한 파장의 전파를 기술한다. 2차 파생상품은 분산을 나타내는 반면, κ 항은 비선형성을 나타낸다. 이 방정식은 자기 위상 변조, 4파 혼합, 2차 고조파 발생을 포함하되 이에 국한되지 않는 섬유 내 많은 비선형 효과를 모델링하며, 라만 산란, 광학적 용해, 울트라쇼트 펄스 등을 자극한다.

수파의 비선형 슈뢰딩거 방정식

깊은 물 위의 표면 파동을 위한 쌍곡선 세컨드(sech) 봉투 용해제.
파란색 선: 물파.
빨간색 선: 봉투용 사과주.

수파의 경우 비선형 슈뢰딩거 방정식은 변조된 파형의 외피에 대한 진화를 설명한다. 1968년 한 논문에서 블라디미르 E. 자카로프는 해밀턴식 수파 구조를 기술하고 있다. Zakharov가 보여주는 동일한 논문에서, 느리게 변조된 파형 그룹의 경우, 파형 진폭이 비선형 슈뢰딩거 방정식을 대략적으로 만족한다.^[15] 비선형성 매개변수 к의 값은 상대수심도에 따라 달라진다. 깊은 물의 경우, 물파의 파장 길이에 비해 수심이 큰 경우, negative은 음성이며, 봉투용액이 발생할 수 있다. 또한, 이러한 봉투 용해제는 외부 시간에 의존하는 물 흐름 하에서 가속될 수 있다.^[16]

수심의 4.6배 이상의 파장을 가진 얕은 물의 경우 비선형성 매개변수 к은 양성이며, 외피 솔리톤이 있는 파동 그룹은 존재하지 않는다. 얕은 물에는 표면경사 용해체나 번역파가 존재하지만 비선형 슈뢰딩거 방정식의 지배를 받지 않는다.

비선형 슈뢰딩거 방정식은 불량파의 형성을 설명하는데 중요한 것으로 생각된다.^[17]

비선형 슈뢰딩거 방정식에 나타나는 복합장 ψ은 수파의 진폭과 위상과 관련이 있다. 다음과 같은 형태의 수면 표고 η으로 천천히 변조된 반송파를 고려한다.

\eta =a(x_{0}},t_{0}\;\cos \left[k_{0}\,x_{0}-\오메가_{0}\,t_{0}-\ta(x_{0},t_{0})\right},},}},

여기서 a(x₀, t₀) 및 θ(x₀, t₀)은 천천히 변조되는 진폭과 위상이다. 추가 Ω과₀ k는₀ 반송파의 (정수) 각도 주파수와 와바넘버로, 산란 관계 Ω₀ = Ω(k₀)을 만족해야 한다. 그러면

왼쪽(i\theta \right)}

그래서 그것의 계량 ψ은 파동 진폭 a이고, 그 주장 arg(ψ)는 θ상이다.

위에 주어진 비선형 슈뢰딩거 방정식에 사용된 물리적 좌표(x₀, t₀)와 (x, t) 좌표 사이의 관계는 다음과 같이 주어진다.

x=k_{0}\왼쪽[x_{0}-\Oomega '(k_{0}\t_{0}\right],\quad t=k_{0}^{0}}}{2}\좌측[-\Oomega'(k_{0}\오른쪽)\;t_{0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

따라서 (x, t)는 반송파의 그룹 속도 Ω'(k₀)과 함께 이동하는 변환 좌표계로서, 분산 관계 곡률 Ω"(k₀)은 그룹 속도 분산을 나타내며, 중력의 작용 하에 있는 물파의 경우 어떤 수심에서도 항상 음수이다.

깊은 물의 수면에 있는 파동의 경우 비선형 슈뢰딩거 방정식의 중요도 계수는 다음과 같다.

\kappa =-2k_{0}^{2},\quad \Omega (k_{0})={\sqrt {gk_{0}}}=\omega _{0}\,\!

so

\Omega '(k_{0})={\frac {1}{2}}{\frac {\omega _{0}

{k_{0}},\quad \Oomega'(k_{0}})=-{\frac {1}{4}{\frac {1}{0}{0}}{k_{0}^{2}}},\,\!}

여기서 g는 지구 표면의 중력에 의한 가속이다.

원래의 (x₀, t₀)에서는 수파에 대한 비선형 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같이 조정한다.^[18]

i\,\partial _{t_{0}}A+i\,\Omega '(k_{0})\,\partial _{x_{0}}A+{\tfrac {1}{2}}\Omega ''(k_{0})\,\partial _{x_{0}x_{0}}A-\nu \, A ^{2}\,A=0,

a = $A=\psi ^{*}$ $A=\psi ^{*}$ ${\$ A $=\psi ^{*}}($ 즉, $\psi$ ${\displaystyle \psi$ $\nu =\kappa \,k_{0}^{2}\,\Omega ''(k_{0}).$ $\nu =\kappa \,k_{0}^{2}\,\Omega ''(k_{0}).$ = $\nu =\kappa \,k_{0}^{2}\,\Omega ''(k_{0}).$ $\nu =\kappa \,k_{0}^{2}\,\Omega ''(k_{0}).$ ( $\nu =\kappa \,k_{0}^{2}\,\Omega ''(k_{0}).$ ) $\nu =\kappa \,k_{0}^{2}\,\Omega ''(k_{0}).$ . $\nu =\kappa \,k_{0}^{2}\,\Omega ''(k_{0}).$ {\ $displaystyle \nu =\,k_{0}^{2},\Oomega'(k_{0}).$ $}$ 그러므로 $\nu =\kappa \,k_{0}^{2}\,\Omega ''(k_{0}).$ $\nu ={\tfrac {1}{2}}\omega _{0}k_{0}^{2}$ = 1 $\nu ={\tfrac {1}{2}}\omega _{0}k_{0}^{2}$ $\nu ={\tfrac {1}{2}}\omega _{0}k_{0}^{2}$ 0 $\nu ={\tfrac {1}{2}}\omega _{0}k_{0}^{2}$ $\nu ={\tfrac {1}{2}}\omega _{0}k_{0}^{2}$ $\nu ={\tfrac {1}{2}}\omega _{0}k_{0}^{2}$ ${\$ }:{2 $}}\omega _{0}k_{0}^{2}}:$ 깊은 수파의 경우 $\nu ={\tfrac {1}{2}}\omega _{0}k_{0}^{2}$

게이지 등가 상대

NLSE(1)는 다음과 같은 등방성 란도-라이프시츠 방정식(LLE) 또는 하이젠베르크 페로마그넷 방정식과 동등한 궤간이다.

{\vec{S}_{t}={\vec {S}\wedge {\vec {S}_{xx}.\qquad

이 방정식은 이시모리 방정식 등과 같이 2+1차원에서 여러 통합형 및 비통합형 일반화를 허용한다는 점에 유의한다.

vortices와의 관계

하시모토(1972)는 보텍스 필라멘트에 대한 다 리오스(1906)의 작업이 비선형 슈뢰딩거 방정식과 밀접하게 관련되어 있음을 보여주었다. 이후 살만(2013년)은 이 통신문을 사용하여 보텍스 필라멘트에 브리더 용액도 발생할 수 있다는 것을 보여주었다.

참고 항목

메모들

^ 여기서 혼동의 가능한 원천은 페르미온에게 반정수의 스핀을 요구하지만, 상대론적 3+1차원 양자장 이론의 정리이므로 이 1D 비상대론적 경우에는 해당되지 않는다.

참조

메모들

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외부 링크

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비선형 슈뢰딩거 방정식(비디오)에 대한 자습서 강의
EqWorld에서 입방 비선형성을 갖는 비선형 슈뢰딩거 방정식: 수학 방정식의 세계.
EqWorld에서 힘-법률 비선형성을 갖는 비선형 슈뢰딩거 방정식: 수학 방정식의 세계.
EqWorld 일반형태의 비선형 슈뢰딩거 방정식: 수학 방정식의 세계.
분산위키 비선형 슈뢰딩거 방정식의 수학적 측면

[6] 여기서 혼동의 가능한 원천은 페르미온에게 반정수의 스핀을 요구하지만, 상대론적 3+1차원 양자장 이론의 정리이므로 이 1D 비상대론적 경우에는 해당되지 않는다.

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