란도-리프시츠 모델

솔리드 스테이트 물리학에서, 레브 란다우와 에브게니 리프시츠의 이름을 딴 란다우-리프시츠 방정식(LLE)은 1시간 변수와 1, 2, 3 공간 변수에 따라 고형에서 자성의 시간 진화를 설명하는 부분 미분 방정식이다.

란다우-리프시츠 방정식

LLE는 비등방성 자석을 설명한다.방정식은 (Faddeev & Takhtajan 2007, 8장)에 다음과 같이 설명되어 있다.그것은 벡터 필드 S에 대한 방정식, 즉³ R에서 값을 취하는¹⁺ⁿ R에 대한 함수다.방정식은 대각선으로 가정되는 고정 대칭 3 X 3 행렬 J에 따라 달라진다. 즉, $J{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{diag}}$diag${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$J ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle J=\operatorname {diag}(J_{1},J_{2}, J_{3}).$ 해밀턴의 운동 방정식에 의해 주어진다$.$

${\displaystyle H={\frac {1}{1}{2}}\int \왼쪽[\sum _{i}\왼쪽({\frac {s}{\partial x_{i}}\오른쪽)^{2}-J(\mathbf {S}\right]\,dx\qquad(1)}$

(여기서 J(S)는 벡터 S에 적용된 J의 2차 형태로서,

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \sum _{i}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x_{i}^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (2)}$

1+1 차원에서는 이 방정식이

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge {\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (3)}$

2+1 차원에서는 이 방정식이 형태를 취한다.

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} \qquad (4)}$

즉, (2+1)차원 LLE이다.(3+1)차원 케이스의 경우 LLE는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial z^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (5)}$

통합 가능한 감소

일반적으로 LLE(2)는 통합할 수 없다.그러나 통합 가능한 두 가지 감축을 인정하고 있다.

a) 1+1 치수, 즉 Eq. (3) 통합 가능

b) $J{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle J=0}$일 때$.$ 이 경우 (1+1)차원 LLE(3)는 연속 고전적 하이젠베르크 페로마그넷 방정식으로 변한다(예: 참조).이미 통합이 가능한 하이젠베르크 모델(클래식)이다.

참고 항목

• 비선형 슈뢰딩거 방정식
• 하이젠베르크 모델(클래식)
• 스핀파
• 마이크로마그네틱스
• 이시모리 방정식
• 자석
• 강자성

참조

• Faddeev, Ludwig D.; Takhtajan, Leon A. (2007), Hamiltonian methods in the theory of solitons, Classics in Mathematics, Berlin: Springer, pp. x+592, doi:10.1007/978-3-540-69969-9, ISBN 978-3-540-69843-2, MR 2348643
• Guo, Boling; Ding, Shijin (2008), Landau-Lifshitz Equations, Frontiers of Research With the Chinese Academy of Sciences, World Scientific Publishing Company, ISBN 978-981-277-875-8
• 코세비치 A.M., 이바노프 B.A., 코발레프 A.S.비선형 자화파.역동적이고 위상적인 솔리톤.– 키예프: 나우코바 덤카, 1988.– 192 페이지