변조공간

이 글에서 설명한 공간은 일부 음악 시스템에서 피치 클래스 간의 관계를 모델링하는 피치 클래스 공간이다.이러한 모형은 종종 그래프, 그룹 또는 격자가 된다.피치 클래스 공간과 밀접한 관련이 있는 것은 피치 클래스보다는 피치를 대표하는 피치 공간과 화음의 관계를 모형화하는 화음 공간이다.

원형 피치 클래스 공간

가장 단순한 피치 스페이스 모델은 실제 라인이다.예를 들어, MIDI Tuning Standard에서, 기본 주파수 f는 방정식에 따라 숫자 p에 매핑된다.

p=69+12\log _{2}{(f/f)}}

이로써 옥타브에는 12의 크기가 있고, 세미톤(피아노 키보드의 인접 키 사이의 거리)에는 1의 크기가 있으며, A440에는 69의 숫자가 할당된다(중간 C는 60의 숫자가 할당됨을 의미한다).원형 피치 클래스 공간을 만들기 위해 우리는 p와 p + 12 피치를 식별하거나 "함께 글루"한다.그 결과는 수학자들이 Z/12Z라고 부르는 연속적인 원형 피치 클래스 공간이다.

발전기 원

5단 원과 같은 다른 피치 클래스 공간 모델들은 완벽한 5단에 의해 관련된 피치 클래스 사이의 특별한 관계를 설명하려고 시도한다.동일한 기질에서 12개의 연속 5분의 1은 정확히 7옥타브와 같으며, 따라서 피치 클래스의 측면에서는 원형을 형성하면서 스스로 닫힌다.5번째 피치 클래스는 12개의 피치 클래스의 공간을 생성하거나 생성한다고 말한다.

옥타브를 n개의 동일한 부분으로 나누고, m과 n이 비교적 프라임인 정수 m<n을 선택함으로써, 즉, 공통의 구분자가 없는 - 우리는 모두 유한한 순환 그룹의 구조를 가진 유사한 원을 얻는다.발전기에 의해 차이가 날 때 두 피치 클래스 사이에 선을 그음으로써, 우리는 발전기의 원을 주기 그래프로, 일반 다각형의 모양으로 묘사할 수 있다.^{[example needed]}

토로이드 변조 공간

만약 옥타브를 n부분으로 나눈다면, 여기서 n = rs는 두 개의 비교적 주요한 정수 r과 s의 산물이며, 우리는 특정한 숫자의 "r" 발생기의 산물이 일정 수의 "s" 발생기를 곱한 것으로 음조의 모든 요소들을 나타낼 수 있다. 다시 말해서, 두 개의 주기적인 명령 r과 s 그룹의 직접적인 합이다.이제 "r" 발생기 또는 "s" 발생기(생성기 $\mathbb {Z} _{12}$ r과 s가 있는 Z 12 ${\$ 12 $}$ 의 이른바 Cayley 그래프)에 두 피치 등급 사이에 에지를 추가하여 그룹이 작용하는 n 정점을 가진 그래프를 정의할 수 있다.결과는 도넛 모양이나 토러스 모양의 그래프인 속 1의 그래프다.그러한 그래프를 토로이드 그래프라고 한다.

일례로 같은 기질이 있다. 12는 3과 4의 산물이며, 우리는 어떤 피치 등급도 1 옥타브의 3분의 1 또는 3분의 1 소절 또는 3분의 1 옥타브의 3분의 1과 4분의 4 또는 소절의 조합으로 나타낼 수 있다. 그리고 나서 두 피치 등급이 3분의 1 또는 소절만큼 다를 때마다 에지를 그려서 토로이드 그래프를 그릴 수 있다.

그래프 생성은 n-토러스에서 규칙적으로 그려질 수 있으며, 비교적 많은 주요 요인에 대해 즉시 일반화할 수 있다.

발전기 체인

선형 기질은 옥타브와 또 다른 간격에 의해 생성되는 2등급의 규칙적인 기질을 말하며, 흔히 "The"발생기라고 부른다.지금까지 가장 친숙한 예는 하나의 기질을 의미하며, 그의 발전기는 평평한 기질이고, 하나는 5분의 1을 의미했다.어떤 선형 기질의 피치 등급은 무한한 발전기 체인을 따라 누워 있는 것으로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 이것은 -F-C-G-D-A 등이 될 것이다.이것은 선형 조절 공간을 정의한다.

원통형 조절 공간

선형적이지 않은 2등급의 기질은 기간이라 불리는 옥타브의 일부인 1개의 발생기를 가지고 있다.우리는 원 안에 있는 n개의 발전기 사슬과 같은 기질의 조절 공간을 대표할 수 있으며, 원통을 형성하고 있다.여기서 n은 옥타브에 있는 기간의 수입니다.

예를 들어, 디아시즘 기질은 디아시즘(diaschisma, 2048/2025)을 진정시키는 기질이다.그것은 반 옥타브 간격으로 약간(3.25~3.55센트) 뾰족한 5분의 2의 사슬로 표현될 수 있는데, 이것은 원과 직각을 이루는 2개의 사슬로 묘사될 수 있다.이러한 종류의 조절 공간의 원통형 모양은 그 기간이 옥타브의 작은 부분일 때 더욱 뚜렷해진다. 예를 들어, 신장염 기질은 원 안에 작은 3분의 9개의 사슬로 구성된 조절 공간을 가지고 있다(여기서 3분의 1은 0.02~0.03센트 샤프만 될 수 있다).

5제한 조절 공간

단지 억양만으로 5한계는 그것의 피치 클래스를 3 5로^a^b 나타낼 수 있다는 사실에 근거한 조절 공간을 가지고 있는데, 여기서 a와 b는 정수다.따라서 두 개의 발전기 3과 5를 가진 자유 아벨리아 그룹이며, 수평축을 따라 5번째를 가진 사각 격자, 수직축을 따라 3번째를 이루는 큰 격자 단위로 나타낼 수 있다.

많은 면에서 우리가 그것을 대신 육각 격자로 표현한다면 더욱 계몽적인 그림이 나타난다; 이것은 다나카 쇼에 의해 거의 같은 시기에 독자적으로 발견된 휴고 리만의 톤네츠다.5번째는 수평축을 따라 있고, 3번째 소령은 60도의 각도로 우측을 가리킨다.다시 60도가 되면 6단 소령의 축이 되어 좌를 가리킨다.5제한 톤급 다이아몬드, 3/2, 5/4, 5/3, 4/3, 8/5, 6/5의 비독점 요소는 현재 1 주위에 정규 육각형으로 배열되어 있다.삼각형은 이 격자의 정삼각형이며, 위쪽의 삼각형은 주요삼각형이고 아래쪽의 삼각형은 경삼각형이다.

이 5제한 공간의 그림은 조율을 균일하게 다루기 때문에 일반적으로 선호되며, 예를 들어 주요 3분의 1이 6분의 1보다 조정에 가깝다는 것을 암시하지 않는다.격자점 두 개가 가능한 한 가까울 때, 한 단위의 거리는 떨어져 있고, 그 다음에야 자음 간격에 의해 분리된다.따라서 육각 격자는 5개 한계 조정 공간의 구조를 보다 잘 보여준다.

좀 더 추상적인 수학적 용어로, 우리는 이 격자를 정수 쌍(a, b)으로 설명할 수 있는데, 여기서 우리는 일반적인 유클리드 거리 대신 벡터 공간 규범 측면에서 정의된 유클리드 거리를 가진다.

(a,b) ={\sqrt {a^{2}+ab+b^{2}}.

7제한 조절 공간

유사한 방식으로, 우리는 3 5^a^b 7을^c 해당 입방 격자 단위로 표현함으로써 7-제한을 위한 조절 공간을 정의할 수 있다.그러나 다시 한 번 우리가 육각 격자의 3차원 아날로그, 즉 얼굴 중심 입방 격자, 즉 D에₃ 해당하는 A라고₃ 하는 격자, 즉 A의 3차원 아날로그의 관점에서 대신 표현하면 더욱 계몽적인 그림이 등장한다.추상적으로 3 5^a^b 7과^c 관련된 정수삼중(a, b, c)으로 정의할 수 있는데, 여기서 거리측정은 통상적인 유클리드 거리가 아니라 벡터 공간 규범에서 도출되는 유클리드 거리인 것이다.

{\displaystyle(a,b,c) ={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}}.}

이 사진에서 7개 한계 톤급 다이아몬드의 12개 비 유니슨 요소가 큐옥타헤드론 모양으로 1개 전후로 배열되어 있다.

참고 항목

참조

리만, 휴고, 아이덴 주, 아이덴 주, 레흐레 폰 덴 톤보르스텔룽겐, 자흐부흐 데르 무식비블리오테크 피터스, (1914/15), 라이프치히 1916, 페이지 1-26.[1]
다나카, 쇼헤, 스터디엔 임 게비엣 데르 스팀몽, 비에르텔자흐드슈리프트 퓌르 무식위센샤프트 vol.6번 1번, 프리드리히 크리산더, 필립 스피타, 귀도 애들러(에드), 브라이트코프 und 헤르텔, 라이프치히, 페이지 1-90.[2]

추가 읽기

콘, 리처드, 네오 리만 이론 소개: 설문조사와 역사적 관점, 음악 이론 저널 42(2), 페이지 167–80
레르달, 프레드(2001)토널 피치 스페이스, 42-43페이지.옥스퍼드:옥스퍼드 대학 출판부 ISBN 0-19-505834-8.
루빈, 스티븐, 1974년 베토벤 중기의 발전 분석 기법, D. dis, 뉴욕 대학교, 1974년

외부 링크

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