최대 요소 및 최소 요소

수학에서 특히 순서 이론에서 부분 순서의 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ 중 가장$$ 큰 요소는 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$의 다른 모든 요소보다 큰 S$$ ${\displaystyle$ $S$$}$의 요소다$.$ 최소 원소라는 용어는 dolly로 정의된다. 즉, $S{\displaystyle }$ ${\displaystylanele$의 요소다.$e S$${\displaystyle \}}$의 다른 모든 요소보다 작은 ${\displaystyle S}$

정의들

Let ${\displaystyle (P,\leq )}$ be a preordered set and let ${\displaystyle S\subseteq P.}$ An element ${\displaystyle g\in P}$ is said to be a greatest element of ${\displaystyle S}$ if ${\displaystyle g\in S}$ and if it also satisfies:

${\displaystyle }$$s$ 모든$$에 ${\displaystyle \mathrm{대한}}$$$ g $displaystyle$ s$\$$leq$ g$}$

위의 정의에서$$ ${\displaystyle \le }$ ${\$$geq \,}$ 대신$$ ${\displaystyle \ge }$ ${\$ \,\$leq$\}을(를) 사용하면 $S{\displaystyle }$ ${\\displaystyle S}$의 최소 요소 정의를 얻을$$ 수 있다.명시적으로 요소 l${\displaystyle }l{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle l\in P}$은(는) $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle l\in$ S$}$을(를) 충족하면$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 최소 요소라고 한다$$.

${\displaystyle l}$ 모든 $s{\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{for}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\$$displaystyle$s$.$ {\$displaystyle$ s$\in S.}$에 대한 l ${\displaystyle \le }$ s ${\$displaystyle $s$$.$

$({\displaystyle P}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (P,\leq )}$이(가) 부분적으로 정렬된 세트인 경우, $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(는) 최대 하나의 가장 큰 요소를 가질$$ 수 있으며 최소 하나의 요소를 가질 수 있다.$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 가장 큰 요소가 존재하고$$ 고유할 때마다 $이{\displaystyle }$ $요소$를 S ${\displaystyle$ S$}$의 가장 큰 요소라고 부른다$.$$$S {\$displaystyle$ S$}$의 최소 요소는 이와 유사하게$$ 정의된다.

$({\displaystyle P}$, ${\displaystyle \le }$) ${\$$displaystyle$$(P,\$$leq$ $)}$이(가) 가장 큰 요소(최소 요소)를 가지고$$ 있는 경우, 이 요소를${\displaystyle }$($P$,${\displaystyle )}$ )의 상단(resp. a bottle${\displaystyle )}$이라고도 한다$.$$}$

상한/하한에 대한 관계

가장 큰 요소는 상한과 밀접한 관련이 있다.

Let ${\displaystyle (P,\leq )}$ be a preordered set and let ${\displaystyle S\subseteq P.}$ An upper bound of ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle (P,\leq )}$ is an element ${\displaystyle u}$ such that ${\displaystyle u\in P}$ and ${\displaystyle s\leq u}$ for 모든 $s{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle$ s$.\in$ S$.}$ $중요하게$도, P$${\$displaystyle P$}에서 S ${\displaystyle$ S$}$의 $상한$은 S${\displaystyle .}${\$displaystyle$S.}의 요소가 될 필요가$$ 없다.

If ${\displaystyle g\in P}$ then ${\displaystyle g}$ is a greatest element of ${\displaystyle S}$ if and only if ${\displaystyle g}$ is an upper bound of ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle (P,\leq )}$ and ${\displaystyle g\in S.}$ In particular, any greatest element of $$${\displaystyle S}$ is also an upper bound of ${\displaystyle S}$ (in ${\displaystyle P}$) but an upper bound of ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle P}$ is a greatest element of ${\displaystyle S}$ if and only if it belongs to ${\displaystyle S.}$ In the particular case where ${\displaystyle P=S,}$${\displaystyle P=S,}$ the definition of "${\displaystyle u}$ is an upper bound of ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle S}$" becomes: ${\displaystyle u}$ is an element such that ${\displaystyle u\in S}$ and ${\displaystyle s\leq u}$ for all ${\displaystyle s\in S,}$ which is c이전에 주어진 가장 위대한 원소의 정의와 완전히 동일하다.$따라서{\displaystyle }$ g ${\displaystyle g}$이(가) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 상한인$$ 경우에만$$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 최대 요소가 된다$$$.$

If ${\displaystyle u}$ is an upper bound of ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle P}$ that is not an upper bound of ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle S}$ (which can happen if and only if ${\displaystyle u\not \in S}$) then ${\displaystyle u}$ can not be a greatest element of ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}($단, 일부 다른 요소가 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 가장 큰 요소일 수도 있다).$$특히, $S{\displaystyle }${\$displaystyle S$$}$이(가) 가장 큰 요소를 동시에 가지지 $않고{\displaystyle }$P {\$displaystyle$ P$$}에$$S {\$displaystyle$ S$}$의 일부 상한선이 존재할 수 있다$.$

집합에 어느 정도 상한이 있더라도 음의 실수의 예에서 알 수 있듯이 가장 큰 요소가 있을 필요는 없다.또한 이 예는 최소 상한(이 경우 숫자 0)의 존재도 가장 큰 요소의 존재를 의미하지 않는다는 것을 보여준다.

최대 요소 및 국소/절대 최대값과 대비

사전 정렬된 집합의 하위 집합 중 가장 큰 요소는 집합의 다른 요소보다 엄격히 작지 않은 최대 요소인 집합의 최대 요소와 혼동해서는 안 된다.

Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle P}$ ,${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (P,\leq )}$은(는) 사전 주문 집합이고 $S{\displaystyle }$⊆ ${\displaystyle P}$. ${\displaystyle$ S$\subseteq$ P$.} 요소$ m ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m\in S}$은(는) $다음$과 같은 조건이 충족되면$$ S ${\displaysty$ S$}$의 최대 요소라고 한다$$.

$s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S}$이(가) ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \le }$ s${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle m\leq$ s$,}$을(를) 충족할$$ 때마다 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le m}$. ${\displaystyle s\leq m.}$이(가) 반드시 충족되어야 한다.

If ${\displaystyle (P,\leq )}$ is a partially ordered set then ${\displaystyle m\in S}$ is a maximal element of ${\displaystyle S}$ if and only if there does not exist any ${\displaystyle s\in S}$ such that ${\displaystyle m\leq s}$ and ${\displaystyle s\neq m.}$ A maximal e$({\displaystyle P}$ ,$){\displaystyle (P,\leq )}$의 리멘트는 부분 $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle P}$. ${\displaystyle S:=P$의 최대 요소를 의미하는 것으로 정의된다$.$$}$

한 세트는 가장 큰 요소를 갖지 않고도 몇 개의 최대 요소를 가질 수 있다.상한 원소나 최대 원소처럼 가장 큰 원소도 존재하지 않을 수 있다.

완전히 순서가 정해진 경우 최대 원소와 최대 원소가 일치하며, 이를 최대값이라고도 하며, 함수 값의 경우 국소 최대값과의 혼동을 피하기 위해 절대 최대값이라고도 한다.^[1]이중항은 최소항과 절대항이다.그들은 함께 절대 극단이라고 불린다.비슷한 결론은 최소한의 요소를 가지고 있다.

최대 요소와 최대 요소를 구별하는 비교가능성의 역할

최대 요소 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ g$}$과(와) 사전$$ 정렬된 집합$P$,$≤$ )의$$ 최대 요소 $m{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $m$$}$ 사이의 가장 중요한 차이점 중 하나는 해당 요소와 비교 가능한 요소와 관련이 있다$$.두 $가지{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{요소}}$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ P$${\$displaystyle x,y\in$ P$}$은(는) x${\displaystyle y}$ y$${\$displaystyle$x\$leq$$$y} $또는$ y${\displaystyle x}$ x ≤ x ${\displaysty y\leq$ x$}$일 경우 비교할 수 없는 요소라고 한다$$$.$사전 순서는 ${\displaystyle \mathrm{반사적}}$이기 때문에($즉{\displaystyle }$, x $x{\displaystyle }$x ${\displaystyle$ x$}$은(는) 모든$$ 요소${\displaystyle }$x {\$displaystyle$ x$}$에 대해 참임을 의미), 모든 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$은(는) 항상 그 자체와 비교된다$$.$$따라서 비교할 수 없는 원소의 유일한 쌍은 구별되는 쌍이다.그러나 일반적으로 사전 정렬된 세트(및 부분적으로 지시된 세트까지)는 비교할 수 없는 요소를 가질 수 있다.

By definition, an element ${\displaystyle g\in P}$ is a greatest element of ${\displaystyle (P,\leq )}$ if ${\displaystyle s\leq g,}$ for every ${\displaystyle s\in P}$; so by its very definition, a greatest element of ${\displaystyle (P,\leq )}$ must, in particular, be comparable $P{\displaystyle }$. ${\displaystyle P.}$의 모든 요소에 이것은$$ 최대 요소에는 필요하지 않다.$({\displaystyle P}$, $){\displaystyle (P,\leq )}$의 최대 $요소들$이 P${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ P$.}$의 모든 요소들과 비교될 필요는 없다. 이는$$ "가장 위대한 요소"의 정의와 달리 "최대 요소"의 정의에는 중요한 if 문장이 포함되기 때문이다.$m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle m\in P$${\displaystyle \}}$이$($의 최대 요소인${\displaystyle }$(P , $display$ ) {\$displaystyle (P,\$leq )}에 대한 정의 조건은 다음과 같이 바꿀 수 있다$$.

모든 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle s\in P,}$ IF$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \le }$ s ${\displaystyle m}($따라서 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$과(와) 비교할 수 없는 요소는 무시됨$$)에 대해 s ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle m}$. ${\displaystyle$ s$\leq$ m$.}$

모든 요소가 최대적이지만 가장 큰 요소가 없는 예제

Suppose that ${\displaystyle S}$ is a set containing at least two (distinct) elements and define a partial order ${\displaystyle \,\leq \,}$ on ${\displaystyle S}$ by declaring that ${\displaystyle i\leq j}$ if and only if ${\displaystyle i=j.}$ If ${\displaystyle i\neq j}$ belong to${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ 그러면 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i\leq$ j$}$ $또는$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \le }$ i $\$ i {\$displaystyle$ j\$leq i}$이(가) 모두$$ 유지되지 않음으로써 $S{\displaystyle }$ ${\\displaysty S}$에 있는 모든 고유(즉, 동일하지 않은) 요소 쌍이 비교할 수 없음을$$ 알 수 없다.따라서${\displaystyle }$(${\displaystyle S}$ ,${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (S,\leq )}$은(특히 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 가장 큰 요소는 S ${\displaysty S}$의 모든 요소와 비교 가능해야 하지만$$$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에는 그러한 요소가 없기$$ 때문에) 최대 요소를 가질 수 없다$$.However, every element ${\displaystyle m\in S}$ is a maximal element of ${\displaystyle (S,\leq )}$ because there is exactly one element in ${\displaystyle S}$ that is both comparable to ${\displaystyle m}$ and ${\displaystyle \geq m,}$ that element being ${\displaystyle m}$ itself (물론${\displaystyle \mathrm{ism}}$ ${\displaystyle \leq m}$ 입니다.$$^{[note 1]}

이와 반대로 사전 정렬된 집합$({\displaystyle P}$ ,${\displaystyle )}$ )$${\$displaystyle$$$g}이$(가)$ 최대 요소 g$${\$displaystyle$g}을$$(를) 갖는 경우, $g{\displaystyle }${\$displaystyle$ g$}$은$({\displaystyle }$ P${\displaystyle }$,${\displaystyle }$\${\displaystyle }$) ${\displaystytle$ ($P$$,\leq$ )의 최대$$ 요소 g$}$이$$될 수 밖에 없다.$P{\displaystyle }$, ${\displaystyle P,}$의 모든 요소와 비교할 수 있다. $({\displaystyle P}$, ${\displaystyle \le }$${\displaystyle }$) ${\displaystyle (P$$,\leq$ $)}$ 또한 부분적으로 순서화된다면$$$$ $g{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $g}$이$가$의 유일한 최대 요소라고 결론 내릴 수 있다$.$ 그러나$$ 고유성 결론은 더 이상 보장되지 않는다$.$rerated set${\displaystyle }$(${\displaystyle P}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (P,\leq )}$도 부분적으로 순서가 정해지지 않았다.For example, suppose that ${\displaystyle R}$ is a non-empty set and define a preorder ${\displaystyle \,\leq \,}$ on ${\displaystyle R}$ by declaring that ${\displaystyle i\leq j}$ always holds for all ${\displaystyle i,j\in R.}$ The directed preordered set ${\displaystyle (R$$,\leq )}$은(는) $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 정확히 하나의 요소를 갖는$$ 경우에만 부분적으로 정렬된다$$.All pairs of elements from ${\displaystyle R}$ are comparable and every element of ${\displaystyle R}$ is a greatest element (and thus also a maximal element) of ${\displaystyle (R,\leq ).}$ So in particular, if ${\displaystyle R}$ has at least two elements then ${\displaystyle (R,\leq )}$여러 개의 뚜렷한 가장 큰 원소를 가지고 있다.

특성.

전체적으로${\displaystyle }$(${\displaystyle P}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (P,\leq )}$을(를) 부분순서로 하고$$ $S{\displaystyle }$⊆ ${\displaystyle P}$ .${\displaystyle S\subseteq$ P$.}$을(를) 두십시오.

• 세트 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(는) 최대 하나의 가장 큰 요소를 가질$$ 수 있다.^{[note 2]}따라서 만약 집합이 가장 큰 요소를 가지고 있다면 그것은 반드시 고유하다.
• $만약{\displaystyle }$ 있다면, S ${\displaystyle S}$의 가장 큰 요소는 $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle S}$에도 포함된$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 상한이다.
• $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이(가) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 최대 요소인 경우, $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$ $또한$ S$${\$displaystyle$ S$}$의 최대 요소로서, $더욱이$^{[note 3]} S ${\displaystytle$ $S$$}$의 다른 최대 요소는 $반드시{\displaystyle }$ g${\displaystyle }$. ${\displaystystytype$ g$.}$과 동일할 것이다$$.
  • 따라서 세트 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 최대 요소가 여러 개 있으면$$ 최대 요소를 가질 수 없다.
• $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 오름차순 체인 조건을 만족하는$$ 경우, $P{\displaystyle }${\$displaystyle$P}의$$ 하위 $집합{\displaystyle }$ S$${\$displaystyle S}$이(가) 최대 요소 하나를 갖는 경우에만 최대 요소를 갖는다$$.^{[note 5]}
• ${\displaystyle \le }$ ${\$을(를) S ${\displaystyle S}$에 대한 전체 순서(${\displaystyle }$ 위쪽의 그림에서$$ S${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$4 ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle S=\{1,2,4\}}}})$로 제한하면 최대 원소와 최대 원소의 개념이 일치한다.^{[note 6]}
  • 그러나 이는 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 가장 큰 요소를 가질$$ 때마다 위에서 설명한 개념도 일치하기 때문에 필요한 조건은 아니다.
• $최대{\displaystyle }$요소와$$최대 요소의 $개념$이 P , {\displaystyle $P,}$의 2개 요소 하위 $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle$ S$}$에서 일치할 경우$$ ${\displaystyle \le }$ ${\$은(는) P${\displaystyle }$. ${\displaystyle P.}$의 총 주문이다.

충분한 조건

• 유한한 사슬은 항상 가장 크고 작은 요소를 가지고 있다.

위아래

부분 순서가 있는 전체 집합 중 가장 적은 요소와 가장 큰 요소는 특별한 역할을 하며, 각각 하단(bottom)과 상단(top) 또는 0(0)과 단위(1)라고도 한다.둘 다 존재할 경우 포셋을 경계 포셋이라고 한다.0과 1의 표기법은 포셋이 보완 격자일 때, 그리고 혼동 가능성이 없을 때, 즉 이미 0과 1을 포함하고 있는 숫자의 부분 순서를 하단과 상단의 다른 원소들을 말하고 있지 않을 때 가급적 사용된다.최소와 최대 요소의 존재는 부분 질서의 특별한 완전성 속성이다.

더 자세한 소개 정보는 순서 이론에 관한 글에서 찾을 수 있다.

예

• 정수의 부분 집합은 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 실제 숫자에 상한이 없다.
• Let the relation ${\displaystyle \,\leq \,}$ on ${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$ be given by ${\displaystyle a\leq c,}$ ${\displaystyle a\leq d,}$ ${\displaystyle b\leq c,}$ ${\displaystyle b\leq d.}$ The set ${\displaystyle \{a,b\}}$ has upper bounds $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$ 및$$ $d{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ d$,}$ 그러나$$ 최소 상한 및 최대 요소(cf. 그림)는 없다.
• 합리적인 수에서 제곱이 2보다 작은 숫자 집합은 상한은 있지만 가장 큰 요소는 없고 최소한 상한은 없다.
• $R{\displaystyle \mathbb{}}$, ${\displaystyle \mathb {R}$에서 1보다 작은 숫자 집합에는$$ 최소 상한, viz. 1이 있지만 가장 큰 요소는 없다.
• $R{\displaystyle \mathbb{}}$, ${\displaystyle \mathb {R}$에서 1보다 작거나 같은 숫자 집합은$$ 가장 큰 요소인 viz. 1을 가지며, 이는 또한 가장 작은 상한이기도 하다.
• 제품 순서가 있는$$ $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에서 << 1 $<\displaystyle$ 0 $<x>1}$을$({\displaystyle }$를) 가진 쌍(x , ${\displaystyle y}$) ${\displaystystyle (x,y)}$ 집합은 상한 값이 없다.
• 사전 사전순으로 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle \mathb {R}$^{$2}}$에서 이 집합은 상한(${\displaystyle \mathrm{예}}:{\displaystyle }$ (${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$0 )${\displaystyle }$. ${\displaystyle ($1$,0)$을 갖는다$.$${}$ 최소$$ 상한은 없다.

참고 항목

• 필수우월성과 필수최소성
• 초기 및 단자 객체
• 최대 및 최소 요소
• 상한 및 하한(최소 한도)
• 상한 및 하한

메모들

참조

• Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002). Introduction to Lattices and Order (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1.