행렬 분석

수학에서 특히 선형대수와 응용에서 행렬 분석은 행렬과 행렬의 대수적 특성에 대한 연구다.^[1]많은 주제들 중 몇몇은 행렬에 정의된 연산(매트릭스 추가, 이것들로부터 파생된 행렬 곱하기 및 연산), 행렬의 함수(매트릭스 지수화 및 행렬 로그, 심지어 행렬의 사인 및 코사인 등)와 행렬의 고유값(매트릭스 구성, eige)을 포함한다.nvalue 섭동 이론).^[2]

매트릭스페이스

이 조에서_mn 표시한 F 필드 위에 있는 모든 m × n 행렬의 집합은 벡터 공간을 형성한다.F의 예로는}, 실수를 R{\displaystyle \mathbb{R}}, C{\displaystyle \mathbb{C} 복잡한 숫자의 집합}. 그 공간 Mmn(F)과 Mpq(F)는 다른 공간 만약 m및 p, n와 q은 불평등하다 불평등하다. 예를 들면 M32(F)≠ M23(F)합리적인 숫자 Q{\displaystyle \mathbb{Q}의 집합을 포함한다..M_mn(F)의 2 m × n 행렬 A와 B를 함께 추가하여 M_mn(F) 공간에서 다른 행렬을 형성할 수 있다.

\mathbf {A} ,\mathbf {B} \in M_{mn}(F)\\\quad \mathbf {A} +\mathbf {B} \in M_{mn}(F)

그리고_mn M(F)에서 또 다른 행렬을 얻기 위해 F에 α를 곱한다.

\alpha \in F\hr\quad \alpha \mathbf {A} \in M_{mn}(F)

이 두 속성을 결합하면 행렬_mn A와 B가 M(F)에 있는 선형 조합이 M_mn(F)의 또 다른 행렬이다.

\alpha \mathbf {A} +\beta \mathbf {B} \in M_{mn}(F)

여기서 α와 β는 F의 숫자다.

매트릭스는 매트릭스 공간의 기본 벡터 역할을 하는 기본 매트릭스의 선형 조합으로 표현할 수 있다.예를 들어, $M_{22}(\mathbb {R} )$ 필드 $M_{22}(\mathbb {R} )$ 에 2 × $M_{22}(\mathbb {R} )$ 행렬 집합 M 22 $M_{22}(\mathbb {R} )$ ( R $M_{22}(\mathbb {R} )$ ) $M_{22}(\mathb {R$ ) $M_{22}(\mathbb {R} )$ , 하나의 합법적인 행렬 집합은 다음과 같다.

{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,

왜냐하면 어떤 2 × 2 행렬도 다음과 같이 표현할 수 있기 때문이다.

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,

여기서 a, b, c,d는 모두 실수다.이 아이디어는 더 높은 차원의 다른 분야와 매트릭스에 적용된다.

결정인자

정사각형 행렬의 결정요인은 중요한 성질이다.결정 인수는 행렬이 반전 가능한지 여부를 나타낸다(즉, 행렬의 역은 결정 인자가 0이 아닐 때 존재한다).행렬의 고유값을 찾고(아래 참조), 선형 방정식의 시스템을 해결하는 데 결정 요인을 사용한다(크레이머 규칙 참조).

행렬의 고유값 및 고유 벡터

정의들

n × n 행렬 A에는 다음과 같은 관계로 정의된 고유 벡터 x와 고유값 λ이 있다.

\mathbf {A} \mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}

즉, A에 이어 고유벡터 x(여기서 n차원 열 매트릭스)의 행렬 곱셈은 고유값으로 고유벡터를 곱하는 것과 같다.n × n 행렬에는 고유값이 없다.고유값은 특성 다항식의 뿌리다.

p_{\mathbf {A}}(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I}=0

여기서 나는 n × n 아이덴티티 매트릭스다.

다항식의 뿌리는, 이 맥락에서, 고유값이 모두 다를 수 있거나, 일부는 같을 수 있다(이 경우 고유값이 다중성을 갖는 경우, 고유값이 발생하는 횟수).고유값에 대한 해결 후 정의 방정식에 의해 고유값에 해당하는 고유 벡터를 찾을 수 있다.

고유값 섭동

행렬 유사성

유사성 변환에 의해 관련이 있는 경우 두 n × n 행렬 A와 B는 유사하다.

\mathbf {B} =\mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^{-1

행렬 P를 유사 행렬이라고 하며, 반드시 변환할 수 없다.

단일 유사성

표준형식

행 에슐론 양식

요르단 정상 형태

Weyr 표준형식

프로베니우스 정상형

삼각인자화

LU 분해

LU 분해는 행렬을 상위 삼각 행렬과 하위 삼각 행렬의 행렬로 분할한다.

매트릭스 규범

행렬이 벡터 공간을 형성하기 때문에 특정 행렬의 "크기"를 정의하기 위해 공리(벡터의 공리와 유사)를 형성할 수 있다.행렬의 표준은 양의 실수다.

정의 및 공리

M_mn(F)의 모든 행렬 A와 B에 대해, 그리고 이중 수직 막대로 구분되는 행렬 표준인 F의 모든 숫자 α는 다음을 충족한다.^{[note 1]}

음수가 아님:

\displaystyle \mathbf {A} \geq 0}

0 행렬인 A = 0에 대해서만 동일함.

스칼라 곱하기:

\ \alpha \mathbf {A} \alpha \mathbf {A} \

삼각형 불평등:

\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} \leq \mathbf {A} \ +\ \mathbf {B} \}

프로베니우스 규범

프로베니우스 표준은 유클리드 벡터의 도트 생성물과 유사하다. 매트릭스 원소를 항목별로 곱하고 결과를 합산한 다음 양의 제곱근을 취한다.

\mathbf{A} \ ={\sqrt {\mathbf {A}}}}}}}}}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(A_{ij}^}^{2}}:

모든 차원의 행렬에 대해 정의된다(즉, 사각 행렬에 대한 제한 없음).

양정확정 및 반정확정 행렬

기능들

매트릭스 원소는 정수 숫자로 제한되지 않고 수학적 변수가 될 수 있다.

행렬의 함수

행렬의 함수는 행렬을 취하며, 다른 것(숫자, 벡터, 행렬 등)을 반환한다.

행렬 값 함수

매트릭스 값 함수는 어떤 것(숫자, 벡터, 매트릭스 등)을 취하여 매트릭스를 반환한다.

참고 항목

기타 분석 부문

기타 선형대수 개념

행렬의 유형

행렬 함수

각주

^ Horn과 Johnson과 같은 일부 작가들은 더블 A 대신 트리플 세로 막대를 사용한다.

참조

메모들

^ R. A. Horn, C. R. Johnson (2012). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-052-183-940-2.
^ N. J. Higham (2000). Functions of Matrices: Theory and Computation. SIAM. ISBN 089-871-777-9.

추가 읽기

C. Meyer (2000). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra Book and Solutions Manual. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. Vol. 2. SIAM. ISBN 089-871-454-0.
T. S. Shores (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-038-733-195-9.
Rajendra Bhatia (1997). Matrix Analysis. Matrix Analysis Series. Vol. 169. Springer. ISBN 038-794-846-5.
Alan J. Laub (2012). Computational Matrix Analysis. SIAM. ISBN 978-161-197-221-4.

[3] Horn과 Johnson과 같은 일부 작가들은 더블 A 대신 트리플 세로 막대를 사용한다.

[1] R. A. Horn, C. R. Johnson (2012). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-052-183-940-2.

[2] N. J. Higham (2000). Functions of Matrices: Theory and Computation. SIAM. ISBN 089-871-777-9.

[1]

[2]

[note 1]

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