행렬 다항식

수학에서 행렬 다항식은 제곱 행렬을 변수로 하는 다항식이다.일반 스칼라 값 다항식 지정

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}}}}$

행렬 A에서 평가된 다항식은

${\displaystyle P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}}I+a_{1}A+A_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n}}$

내가 정체성 매트릭스인 ^[1]곳이지

행렬 다항식(matrix polyomial)은 두 행렬 다항식 사이의 동일성으로, 문제의 특정 행렬을 고정한다.행렬 다항식 ID는 지정된 행렬 링 M_n(R)의 모든 행렬 A에 대해 고정되는 행렬 다항식이다.

특성 및 최소 다항식

행렬 ${\displaystyle A}$의 특성 다항식은 스칼라 값 다항식으로, p ${\displaystyle A_{}}$ (${\displaystyle {}_{}t}$) =${\displaystyle det}$ (t${\displaystyle }$-${\displaystyle A}$) ${\$에 의해 정의된다$.$Cayley-Hamilton 정리에서는 이 다항식을 행렬 다항식으로 보고 행렬 A 자체에서 평가하면 결과는 영행렬: $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A{}_{}}$(${\displaystyle }$A )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p_{A}(A)=0}.$ 특성 다항식은 따라서 A를 소멸시키는 다항식이라고 기술하고 있다$.$

A를 섬멸하는 최소 수준의 독보적인 다항식이 있다; 이 다항식은 최소 다항식이다.A(특징 다항식 등)를 섬멸하는 모든 다항식은 최소 다항식의 배수다.^[2]

따라서 P와 Q의 두 다항식이 주어지면 $P{\displaystyle (A)}$= Q${\displaystyle (A)}$ ${\displaystyle P(A)=Q(A)}$이 있다.

${\displaystyle P^{{lambda_{i}=Q^{}{}}}({lambda_{i}})\qquad{{}}}}}}}{}j=0,\ldots, n_{i}-1{\text} 및 }i=1,\ldots,}$

where ${\displaystyle P^{(j)}}$ denotes the jth derivative of P and ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{s}}$ are the eigenvalues of A with corresponding indices ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s}}$ (the index of an eigenvalue is the size of its largest Jordan block).^[3]

행렬 기하 급수

행렬 다항식들은 행렬 기하학적 시리즈를 일반적인 기하학적 시리즈와 같이 합하는 데 사용될 수 있다.

${\displaystyle S=I+A+A^{2}+\cdots +A^{n}}$

${\displaystyle AS=A+A^{2}+A^{3}+\cdots +A^{n+1}:{n+1}$

${\displaystyle (I-A)S=S-AS=I-A^{n+1}$

${\displaystyle S=(I-A)^{1}(I-A^{n+1})}$

I - A가 비논리적인 경우 S 합에 대한 식을 평가할 수 있다.

참고 항목

• 라티머-맥더피 정리
• 행렬 지수
• 행렬 함수

메모들

참조

• Gohberg, Israel; Lancaster, Peter; Rodman, Leiba (2009) [1982]. Matrix Polynomials. Classics in Applied Mathematics. Vol. 58. Lancaster, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0-898716-81-8. Zbl 1170.15300.
• Higham, Nicholas J. (2000). Functions of Matrices: Theory and Computation. SIAM. ISBN 089-871-777-9..
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6..