로커스(수학)

기하학에서 로쿠스(placual: loci) ("place", "location"을 나타내는 라틴어)는 모든 점(일반적으로, 선, 선 세그먼트, 곡선 또는 표면)의 집합으로, 위치는 하나 이상의 지정된 조건에 의해 충족되거나 결정된다.^[1][2]

즉, 어떤 속성을 만족시키는 점의 집합을 흔히 이 속성을 만족시키는 점의 위치라고 한다. 이 공식에서 단수를 사용한 것은 19세기 말까지 수학자들이 무한 집합을 고려하지 않았다는 것을 보여주는 증거다. 선과 곡선을 점 집합으로 보는 대신 점이 위치하거나 이동할 수 있는 장소로 보았다.

역사와 철학

20세기 초까지 기하학적 형태(예: 곡선)는 점의 무한 집합으로 간주되지 않고, 오히려 점이 위치하거나 움직이는 실체로 간주되었다. 따라서 유클리드 평면의 원은 원의 중심인 고정점의 주어진 거리에 있는 점의 중심점으로 정의되었다. 현대 수학에서, 유사한 개념들은 도형을 집합으로 묘사함으로써 더 자주 재구성된다. 예를 들어, 원은 중심에서 주어진 거리에 있는 점들의 집합이라고 말한다.^[3]

세트이론적 견해와 대조적으로, 구식 제형은 실제 무한함을 피하는 것이 초기 수학자들의 중요한 철학적 위치였기 때문에 무한 수집을 고려하는 것을 피한다.^[4][5]

일단 정해진 이론이 수학 전체가 성립되는 보편적인 기초가 되자,^[6] locus라는 용어는 다소 구식이 되었다.^[7] 그럼에도 불구하고, 이 단어는 여전히 널리 사용되고 있는데, 예를 들면 다음과 같은 간결한 공식에 주로 사용된다.

• 다른 기능의 임계점 집합인 임계 위치.
• 값이 0을 차지한다는 점에서 함수가 소멸되는 지점의 집합인 제로 로커스 또는 소멸 로쿠스.
• 단수 로쿠스, 대수적 다양성의 단수 점들의 집합이다.
• 연결성 위치, 함수의 줄리아 집합이 연결되는 합리적인 함수 계열의 매개변수 집합의 하위 집합이다.

더 최근에는 계략 이론과 같은 기법, 수학의 기초를 주기 위해 정해진 이론 대신 카테고리 이론의 사용과 같은 기법들이 점 집합이라기보다는 그 자체로 하나의 대상으로서의 중심축의 본래의 정의에 가까운 개념으로 되돌아왔다.^[5]

평면 지오메트리 예제

평면 기하학의 예는 다음과 같다.

• 두 점으로부터 등거리점 세트는 두 점을 연결하는 선 세그먼트와 수직 이등분선이다.^[8]
• 교차하는 두 선으로부터 등거리의 점 집합은 각도 이등분선이다.
• 모든 원뿔 섹션은 로키:^[9]
  • 원: 단일 점으로부터의 거리가 일정한 점 집합(반경)
  • 포물선: 고정점(초점)과 선(직렬)에서 등거리점 집합.
  • 하이퍼볼라: 주어진 두 포커 사이의 거리의 차이에 대한 절대값이 상수인 각 점의 집합이다.
  • 타원: 주어진 두 포커스까지의 거리의 합이 상수인 각 점의 집합

다른 loci의 예는 수학의 다양한 영역에 나타난다. 예를 들어, 복잡한 역학에서 만델브로트 집합은 다항식 지도 계열의 연결성 위치로서 특징지을 수 있는 복잡한 평면의 하위 집합이다.

위치 확인

기하학적 모양이 주어진 조건 집합에 대한 정확한 위치임을 증명하기 위해, 일반적으로 증거를 두 단계로 나눈다.^[10]

• 조건을 만족시키는 모든 포인트가 주어진 모양에 있다는 증거.
• 주어진 모양에 있는 모든 점이 조건을 만족한다는 증거.

예

첫 번째 예

지정된 거리 k = d₁/d₂ 대 두 점의 비율을 갖는 점 P의 위치를 찾는다.

이 예에서는 k = 3, A(1, 0), B(0, 2)를 고정점으로 선택한다.

P(x, y)는 위치의 한 지점이다.

${\displaystyle \좌우 이동 PA =3PB }$

${\displaystyle \Leftrightarrow PA ^{2}=9PB ^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+1)^{2}+(y-0)^{2}=9(x-0)^{2}+9(y-2)^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 8(x^{2}+y^{2})-2x-36y+35=0}$

${\displaystyle \왼쪽(x-{\frac {1}{8}\오른쪽)^{2}+\왼쪽(y-{\frac {9}{4}\오른쪽)^{2}={\frac {45}{64}}.}$

이 방정식은 중심(1/8, 9/4)과 반지름 3 ${\displaystyle 8\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{5}{}}$ ${\$8}{\$sqrt{5}}}}$을 가진 원을 나타내며$,$ 이러한 k, A, B 값으로 정의한 아폴로니우스의 원이다.

두 번째 예

ABC 삼각형은 길이가 c인 고정면[AB]을 가지고 있다. A와 C의 중위수가 직교하도록 세 번째 꼭지점 C의 위치를 결정한다.

A(-c/2, 0), B(c/2, 0), C(x, y)가 변수 세 번째 꼭지점인 정형 좌표계를 선택하십시오. [BC]의 중심은 M(2x + c)/4, y/2)이다. C의 중앙값에는 y/x 기울기가 있다. 중앙값 AM은 2y/(2x + 3c)의 기울기를 가진다.

C(x, y)는 위치의 한 지점이다.

${\displaystyle \iff }$ ${\displaystyle \왼쪽$ 화살표 $}$A 및 C의 중위수가$$ 직교함

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {y}{x}}\cdot {\frac {2y}{2x+3c}=-1}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2y^{2}+2x^{2}+3cx=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+(3c/2)x=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+3c/4)^{2}+y^{2}=9c^{2}/16.}$

꼭지점 C의 중심은 중심(-3c/4, 0)과 반지름 3c/4가 있는 원이다.

세 번째 예

한 개의 공통 파라미터에 따라 두 개의 관련 곡선으로도 위치를 정의할 수 있다. 모수가 변동하는 경우, 관련 곡선의 교차점은 로커스를 설명한다.

그림에서 점 K와 L은 주어진 선 m의 고정점이다. 선 k는 K를 통과하는 가변 선이다. L에서 L까지의 선은 k에 수직이다. k와 m 사이의$$ 각도 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 매개 변수다. k와 l는 공통 매개 변수에 따라 연결된 선이다. k와 l의 가변 교차점 S는 원을 설명한다. 이 원은 연관된 두 선의 교차점의 중심점이다.

네 번째 예

점의 중심은 1차원(원, 선 등)일 필요는 없다. 예를 들어,^[1] 2x + 3y – 6 < 0의 부등식의 중심은 2x + 3y – 6 = 0 등식의 선 아래에 있는 평면의 부분이다.

참고 항목

• 대수적 품종
• 곡선
• 선(지오메트리)
• 지역(지오메트리)
• 형상(지오메트리)

참조