켈빈의 순환 정리

유체역학에서는 켈빈의 순환 정리(William Thomson, 1869년에 그것을 발표한 제1대 켈빈 남작의 이름을 딴 것)에 보수적인 체력을 가진 바롯이방성 이상유체에서는 유체와 함께 움직이는 폐쇄곡선 주위의 순환(동일한 유체 원소를 둘러싸는 것)은 시간에 따라 일정하게 유지된다.^[1][2] 수학적으로 다음과 같이 기술된다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}=0}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \$${\displaystyle \mathrm{Gamma}}$$}$은 재료 윤곽선 $C{\displaystyle }$( t$){\displaystyle C(t)}$을 둘러싼 순환이다$.$ 이 정리에서는 한 사람이 한 순간에 닫힌 윤곽선을 관찰하고 시간 경과에 따른 윤곽선을 따른다면(모든 유동 원소의 움직임에 따라) 이 두 위치에 걸친 순환이 설명된다. 등고선이 같다

이 정리는 점성응력, 비보수적인 신체 힘(예: 코리올리 힘) 또는 비봉방성 압력밀도 관계를 가진 경우에는 보유하지 않는다.

수학적 증명

$폐쇄$ 재료 등고선 $C{\displaystyle }$(${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle$ C(t)} 주위의 순환 circulation {\$displaystyle$ \Gamma$}$은(는$)$ 다음에 의해 정의된다$$.

${\displaystyle \Gamma(t)=\point _{C}{\boldsymbol {u}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}$

여기서 u는 속도 벡터, ds는 닫힌 윤곽선을 따라가는 요소다.

보수적인 체력을 가진 비실시 유체의 지배 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac{\mathmbol {u}}{\mathmbol{D}}{\frac {1}{\rho}}{\\\boldsymbol{\p+{\boldsymbol{\nabla}}}}{\bla}}}}}}$

여기서 D/Dt는 대류 유도체, ρ은 유체 밀도, p는 압력, φ은 체력의 잠재력이다. 이것들은 체력을 가진 오일러 방정식이다.

barotropic성의 조건은 밀도가 압력, 즉 $\rho {\displaystyle }$= ${\displaystyle \rho }$($){\displaystyle \rho =\rho (p)}$의 함수임을 의미한다$.$

순환의 대류파생물을 섭취하는 것은

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}.}$

첫 번째 학기에는 지배 방정식에서 대체한 다음 스톡스의 정리를 적용하므로 다음과 같다.

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}{\frac {1}{\rho ^{2}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }p\right)\cdot {\boldsymbol {n}\mathrm {d}S=0.}$

${\displaystyle 최종}$ 평등은 바otropicity로 ${\displaystyle \mathrm{인해}}$${\displaystyle \mathbf{}}$× ${\displaystyle \times \mathbf{}=}$ ${\displaystyle p}$ =$$0 {\$displaystyle${\$boldsymbol${\$nabla$}\$rho \time${\$boldsymbol${\\\$nabla }$p=$0}$ 이후 발생한다. 우리는 또한 어떤 구배도 $반드시$ 0$,$ 또는 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times \mathbf{}}$ ∇ ${\displaystyle \mathrm{f}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\$$displaystyle$ ${\boldsymbol {\nabla }}\time {\boldsymbol{\nabla$$}}}}}}$라는 사실을 이용했다$.$

두 번째 학기에서는 재료 선 요소의 진화가 다음에 의해 주어진다는 점에 주목한다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d}{\boldsymbol {d}}}}\folds}\cdot {\boldsymbol {\nabla }\right){\boldsymbol {u}.}$

그러므로

${\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\frac {1}{2}}\oint _{C}{\boldsymbol {\nabla }}\left( {\boldsymbol {u}} ^{2}\right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {{s}=0.}$

구배 정리를 적용하여 마지막 평등을 얻는다.

두 항이 모두 0이므로, 우리는 결과를 얻는다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}=0.}$

푸앵카레-브제르크네스 순환 정리

양을 보존하는 유사한 원리는 1893년과^[3][4] 1898년에 불변제를 도출한 앙리 푸앵카레와 빌헬름 비에르크네스의 이름을 딴 푸앵카레-비에르크네스 정리라고도 알려져 있다.^[5][6] 이 정리는 변형된 순환을 위해$$벡터$\Omega {\displaystyle \mathbf{}}$ {\$displaystyle {\boldsymbol {\Oomega}}$에 의해 주어진 일정한 각도로 회전하는 회전 프레임에 적용할 수 있다.

${\displaystyle \Gamma(t)=\point _{C}({\boldsymbol{u}+{\boldsymbol{\Oomega}}}}}\time {\boldsymbol}\cdot \mathrmart {d}{\bmbol{s}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $r{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$은(는) 유체 영역의 위치다. 스톡스의 정리에서 보면 다음과 같다.

${\displaystyle \Gamma (t)=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}+2{\boldsymbol {\Omega }})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S}$

유체 역학에서 속도 영역의 Vorticity는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\\symbol {\omega}={\\symbol {\bla }\propersymbol {u}}}}$

다음:

${\displaystyle \Gamma(t)=\int_{A}({\boldsymbol {\omega }}+2+{\\boldsymbol {\\Oomega }})\cdot {\boldsymbol {n}\,\mathrmp}S}$

참고 항목

• 베르누이의 원리
• 오일러 방정식(유체 역학)
• 헬름홀츠의 정리
• 열자성대류

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