반사관계

수학에서, 집합 X의 동질적인 이항 관계 R은 X의 모든 원소를 그 자체와 연관시킨다면 반사적이다.^[1][2]

반사적 관계의 예로는 모든 실수는 그 자체와 같기 때문에 실수의 집합에서 "같다"는 관계를 들 수 있다. 반사적 관계는 반사적 성질을 가지거나 반사적 성질을 갖는다고 한다. 대칭성, 전이성과 함께 반사성은 동등성 관계를 정의하는 세 가지 속성 중 하나이다.

정의들

Let ${\displaystyle R}$ be a binary relation on a set ${\displaystyle X}$, which by definition is just a subset of ${\displaystyle X\times X.}$ For any ${\displaystyle x,y\in X,}$ the notation ${\displaystyle xRy}$ means that ${\displaystyle (x,y)\in R}$ while "not $$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xRy}$ $"$는 (${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \notin }$ ${\displaystyle R}$. ${\displaystyle (x,y)\in R.}$을(를) 의미하지 않음

The relation ${\displaystyle R}$ is called reflexive if ${\displaystyle xRx}$ for every ${\displaystyle x\in X}$ or equivalently, if ${\displaystyle \operatorname {I} _{X}\subseteq R}$ where ${\displaystyle \operatorname {I} _{X}:=\{(x,x)~:~x\in X\}}$ denotes the identity relation on ${\displaystyle X.}$ The reflexive closure of ${\displaystyle R}$ is the union ${\displaystyle R\cup \operatorname {I} _{X},}$ which can equivalently be defined as the smallest (with respect to ${\displaystyle \,\subseteq }$) reflexive relation on ${\displaystyle X}$$$ $R{\displaystyle .}$ ${\displaystyle R.}$ 관계$$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은(는) 반사적 폐쇄와 동일한 경우에만 반사적이다$$.

The reflexive reduction or irreflexive kernel of ${\displaystyle R}$ is the smallest (with respect to ${\displaystyle \,\subseteq }$) relation on ${\displaystyle X}$ that has the same reflexive closure as ${\displaystyle R.}$ It is equal to ${\displaystyle R\setmi$$nus \operatorname {I} _{X}=\{(x,y)\in R~:~x\neq y\}}$R{R\displaystyle}의 재귀적이지 않은 커널, 어떤 의미에서, R.{R.\displaystyle}의 반사적 폐쇄성의 예를 들어 그"반대"건설, 같은 엄격한 불평등의 반사적 폐쇄한 것;reals R{\displaystyle \mathbb{R}에{\displaystyle \,<, \,}}은 볼 수 있다.우리ual 비표시 부등식 ${\displaystyle \le }$ ${\$$leq$$\}$의 반사적 감소는$$ <.. ${\displaystyle \,<.}$

관련 정의

반사적 속성과 관련된 몇 가지 정의가 있다. $관계{\displaystyle }$ R$${\$displaystyle R$}을$$(를) 다음과 같이 부른다.

불연성, 반반복성 또는 알리레아제^[3]

그것이 그 자체와 어떤 요소도 연관시키지 않는 경우$,$ 즉, 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in X}$에 대해$$$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x}$ ${\$$displaystyle x\$$in$ $X.}$관계는$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$의 보수가 반사적일$$ 경우에만 불변한다. 비대칭적 관계는 반드시 회복 불능이다. 전이적·불가역적 관계는 반드시 비대칭이다.

좌측 준반복성

$x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ x$,y\in X}$이(가) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle xRy,}$과(와$)$ 같을 때마다$$ $반드시{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ R${\displaystyle x}$ .$${\$displaystyle xRx$.$}$^[4]

우측 준반복성

${\displaystyle x}$, y ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ x$,y\in X}$이(가) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle xRy,}$과(와) 같을 때마다 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$. ${\displaystyle yRy$,}이$$(가) 반드시 y$.$ {\displaystystyle yRy).$}$

준반복성

만약 어떤 원소와 관련된 모든 원소가 그 자체와도 관련이 있다면. Explicitly, this means that whenever ${\displaystyle x,y\in X}$ are such that ${\displaystyle xRy,}$ then necessarily ${\displaystyle xRx}$ and ${\displaystyle yRy.}$ Equivalently, a binary relation is quasi-reflexive if and only if it is both left quasi-reflexive and right quasi-reflexive. 관계 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은(는) 대칭 폐쇄 $R{\displaystyle }$∪ ${\displaystyle {R\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$이(가) 좌측(또는 우측)의 준반반반반복성인 경우에만 준반복적이다$$.

비대칭

$x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle$ x$,$${\displaystyle y}$$\in X}$이(가$)$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 및y}$ $x$$,$ {\displaystyle $xRy{\text{}$및$}yRx,}$인 경우 ${\displaystyle \mathrm{반드시}}$ x =${\displaystyle }$y${\displaystyle }$. ${\displaysty$ x$=y$.$}$

코어플렉스

$x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle$ x$,y\in X}$이(가) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle xRy$${\displaystyle ,\}}$과(와) 같을${\displaystyle 때}$마다$$반드시 x = y$.$ {\$displaystyle$ x$=y$.$}$ 관계$$^[5] $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은(는) 대칭이 대칭인 경우에만 중심축적이다$$.

A reflexive relation on a nonempty set ${\displaystyle X}$ can neither be irreflexive, nor asymmetric (${\displaystyle R}$ is called asymmetric if ${\displaystyle xRy}$ implies not ${\displaystyle yRx}$), nor antitransitive (${\displaystyle R}$ is antitransitive if ${\displays$$tyle xRy{\text{$및$}yRz}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle xRz}$이(가) 아님을$$ 암시한다.$$

예

반사 관계의 예는 다음과 같다.

• "같음" (계속)
• "subset of"(포함 설정 포함)
• "divid"(분할성)
• "보다 크거나 같음"
• "보다 작거나 같음"

회복 불가능한 관계의 예는 다음과 같다.

• "과 같지 않음"
• "coprime to"(정수> ,${\displaystyle >$1$,$1은 그 자체에 대한 coprime이기 때문에)
• "의 적절한 부분 집합"
• "보다 큼"
• "보다 작음"

그 어떤 요소도 그 자체와 연관시키지 않는다는 의미의 불손한 관계의 예는 실수의 "보다 큰" 관계(> ${\displaystyle$x$>y$이다. 반사적이지 않은 모든 관계가 회복 불가능한 것은 아니다; 어떤 요소들은 자신과 연관되어 있지만 다른 요소들은 관련이 없는 관계를 정의할 수 있다. 예를 들어 "$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$과 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$의 곱은 짝수"는 짝수 집합에 반사적이고 홀수 집합에는 불변하며 자연수 집합에는 반사적이지도 불변하지도 않는다.

준반복적 관계 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 예로는 실수의 순서에 "한계와 동일한 한계"가$$ 있다. 즉, 모든 순서에 한계가 있는 것은 아니며, 따라서 관계도 반사적이지 않지만, 순서에 어떤 순서와 동일한 한계가 있으면 그 자체와 동일한 한계가 있다. 왼쪽 준반복 관계의 예로는 왼쪽 유클리드 관계가 있는데, 이 유클리드 관계는 항상 준반복적이지만 오른쪽 반반복은 아니므로 반드시 준반복성은 아니다.

핵심관계의 예로는 각 홀수들이 자신과 연관되어 있고 다른 관계가 없는 정수에 대한 관계를 들 수 있다. 평등관계는 반사적 관계와 핵심적 유연성 관계의 유일한 예이며, 핵심적 관계는 정체성 관계의 하위 집합이다. 동일한 집합에서 코어 유연 관계와 전이적 관계의 결합은 항상 전이적이다.

반사관계수

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -element$$ 세트의 반사 관계 수는 ${\displaystyle {{2n\mathrm{}}^{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle n^{}}$ . ${\displaystyle 2^{n^{2}-n}$이다.$}$^[6]

다른 유형의 n-element 이진 관계 수

엘레멘츠	아무거나	타동사	반사적	대칭	프리오더	부분순서	총예약자	총순번	등가관계
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65,536	3,994	4,096	1,024	355	219	75	24	15
n	2n2		2n2−n	2n(n+1)/2			${\textstyle \sum _{k=0}^{n}k!S(n,k)}$	n!	${\textstyle \sum _{k=0}^{n}S(n,k)}$
OEIS	A002416	A006905	A053763	A006125	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

S(n, k)는 두 번째 종류의 스털링 숫자를 가리킨다는 점에 유의한다.

철학 논리학

철학적 논리의 작가들은 종종 다른 용어를 사용한다. 수학적 의미에서의 반사적 관계를 철학적 논리에서는 완전히 반사적 관계라고 하고, 준반복적 관계를 반사적 관계라고 한다.^[7][8]

메모들

참조

• 레비, A. (1979) 기본 집합 이론, 수학 논리에서의 관점, 스프링거-베를랙. 2002년 재판이야, 도버 ISBN 0-486-42079-5
• Lidl, R., Pilz, G. (1998년) 응용 추상대수학, 수학의 학부교과, 스프링거-베를랙. ISBN 0-387-98290-6
• 퀴네, W. V. (1951) 수리논리학, 개정판. 2003년, 하버드 대학 출판부에서 다시 출판되었다. ISBN 0-674-55451-5
• 건터 슈미트, 2010년 관계 수학. 케임브리지 대학 출판부, ISBN 978-0-521-76268-7.

외부 링크

• "Reflexivity", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]