계산

Counting
음악에 대한 적용은 카운트(음악)를 참조하십시오.

계수란 유한한 개체 집합의 요소 수, 즉 집합의 크기를 결정하는 과정입니다.기존의 카운트 방법은 (멘탈 또는 음성) 카운터를 세트의 모든 요소에 대해 단위 단위로 지속적으로 증가시키는 것으로 구성되어 있습니다.또, 마크가 붙어 있지 않은 요소가 없어질 때까지, 이러한 요소를 마크(또는 치환)하는 것으로 합니다.카운터가 첫 번째 오브젝트 후에1 개로 설정되어 있는 경우는, 값 a.최종 객체를 방문하면 원하는 수의 요소가 제공됩니다.관련 용어 열거는 각 요소에 숫자를 할당하여 유한 집합 또는 무한 집합의 요소를 고유하게 식별하는 것을 말합니다.

계산에는 1 이외의 숫자가 포함되는 경우가 있습니다.예를 들어, 화폐를 계산할 때, 거스름돈의 카운트 아웃, "2로 카운트"(2, 4, 6, 8, 10, 12, ...), "5로 카운트"(5, 10, 15, 20, 25, ...) 등이 있습니다.

인류가 적어도 5만 [1]년 동안 셈을 해왔다는 고고학적 증거가 있다.셈은 주로 고대 문화권에서 집단 구성원, 먹이 동물, 재산 또는 부채와 같은 사회적, 경제적 데이터를 추적하기 위해 사용되었습니다.남아프리카의 국경 동굴에서도 칼집이 있는 뼈가 발견되었는데, 이는 숫자를 세는 개념이 기원전 [2]44,000년 이전까지 사람들에게 알려졌음을 암시할 수 있다.셈의 발달은 수학 표기법, 숫자 체계, 그리고 쓰기의 발전을 이끌었다.

셈의 형태

하나카피아이 해변의 집계표 사용
상세 정보:선사시대 숫자와 숫자

카운트는 다양한 형태로 발생할 수 있습니다.

숫자를 세는 것은 구두일 수 있습니다.즉, 진행 상황을 파악하기 위해 모든 숫자를 큰 소리로 말하는 것입니다.이는 시간이 지남에 따라 다양한 것을 세는 대신 이미 존재하는 개체를 세는 데 자주 사용됩니다.

또한 카운트는 각 번호에 대한 마크를 표시한 다음 집계가 완료되면 모든 마크를 카운트하는 집계 마크의 형태를 취할 수 있습니다.이것은 하루 동안 발생한 횟수 등 시간 경과에 따른 개체 수를 셀 때 유용합니다.집계는 베이스 1 카운트이며, 통상은 베이스 10에서 카운트됩니다.컴퓨터는 Boolean 대수라고도 하는 2진수(0과 1s)를 사용합니다.

세기는 특히 작은 숫자를 셀 때 손가락 수를 세는 형태일 수도 있습니다.이것은 계산과 간단한 수학적 연산을 용이하게 하기 위해 어린이들에 의해 종종 사용된다.손가락 세기는 단항 표기법(한 손가락 = 한 단위)을 사용하므로 발가락으로 시작하지 않는 한 10으로 제한됩니다.이전의 손가락 세기는 숫자 [3]12를 세기 위해 네 손가락과 각 손가락에 있는 세 개의 뼈를 사용했습니다.다른 손 제스처 시스템도 사용되고 있는데, 예를 들어 한 손 제스처만으로 10까지 셀 수 있는 중국 시스템이다.핑거 바이너리(기본값 2 카운트)를 사용하면 핑거 카운트를 최대 1023 = 210 - 1까지 유지할 수 있습니다.

또한 핸드 집계 카운터 및 아바서스와 같은 다양한 장치를 사용하여 계산을 용이하게 할 수 있습니다.

포함계수

로마 달력과 [4]로망스 언어로 시간을 다룰 때 일반적으로 포함 카운트가 발생합니다."포괄적으로" 계산하면 일요일(시작일)은 1일째가 되므로 다음 일요일은 8일째가 됩니다.예를 들어, "fortnight"에 대한 프랑스어 표현은 quinzaine (15일)이고, 비슷한 단어들이 그리스어, 스페인어, 포르투갈어 (quinzena)에 있다.이와는 대조적으로, 영어 단어 "fort-night" 자체는 "14-night"에서 유래한 것으로, 고어 "sennight"가 "7-night"에서 유래한 것으로, 영어 단어들은 포괄적 계산의 예가 아니다.영어 등 단독 집계 언어에서는 '일요일부터' 8일을 세면 월요일은 1일째, 화요일은 2일째,[citation needed] 다음 월요일은 8일째가 된다.수년 동안 "from a date"라는 문구가 "from a date"를 의미하는 것은 영국 법에서 표준적인 관행이었다: 이 관습은 [5]오해의 위험이 높기 때문에 지금은 폐지되었다.

로마 달력에서 '9'을 뜻하는 '논'은 12일 [4]전이고, 기독교 달력에서 '퀸콰지시마'는 부활절 일요일 49일 전이다.

음악 용어는 또한 표준 음계의 음 사이의 음정의 포함 계수를 사용한다: 한 음이 올라가는 것은 두 번째 음정이고, 두 음이 올라가는 것은 세 번째 음정이고, 일곱 음이 올라가는 것은 옥타브이다.

교육과 개발

주요 기사: 수학 전 스킬

세는 법을 배우는 것은 세계 대부분의 문화에서 중요한 교육/발달 이정표입니다.세는 법을 배우는 것은 수학의 첫걸음이며, 그 학문의 가장 기본적인 개념을 구성한다.하지만, 아마존과 호주 아웃백의 일부 문화는 중요하지 않고,[6][7] 그들의 언어에는 숫자 단어가 없습니다.

2세밖에 되지 않은 많은 어린이들이 카운트 리스트를 읽는 기술을 가지고 있습니다(즉, "하나, 둘, 셋, ...").그들은 또한 작은 숫자에 대한 정규성의 질문에 대답할 수 있다. 예를 들어, "3 뒤에 오는 것은 무엇인가?"그들은 심지어 세트의 각각의 물체를 가리키고 단어들을 차례로 암송하는 데 능숙할 수 있다.이것은 많은 부모들과 교육자들이 아이가 [8]세트의 크기를 결정하기 위해 숫자를 세는 방법을 알고 있다는 결론으로 이끈다.연구 결과에 따르면 아이가 이러한 기술을 배운 후, 그것이 무엇을 의미하는지, 왜 시술이 이루어지는지를 이해하는 데 약 1년이 걸린다고 한다.[9][10]한편, 아이들은 그들이 승화시킬 수 있는 추기경들의 이름을 짓는 법을 배운다.

수학에서의 계수

주요 기사:조합
다음 항목도 참조하십시오.카운트 가능 집합

수학에서 집합을 세고 결과 n을 찾는 것의 본질은 양의 정수 {1, 2, ..., n}의 부분집합과 집합의 일대일 대응(또는 분사)을 확립하는 것이다. 수학적 귀납에 의해 증명될 수 있는 근본적인 사실은 {1, 2, ..., n}과 {1, n} 사이에 분사가 존재할 수 없다는 것이다. m; 이 사실(두 개의 분사를 구성해 다른 분사를 줄 수 있다는 사실과 함께)은 동일한 집합을 다른 방식으로 카운트하는 것이 결코 다른 수가 될 수 없음을 보장합니다(오차가 발생하지 않는 한).이것은 카운팅의 목적을 나타내는 기본적인 수학 정리입니다.어떤 집합을 세더라도 답은 같습니다.더 넓은 맥락에서, 정리는 (유한) 조합론의 수학 분야에서의 정리의 한 예이다. 따라서 (유한) 조합론은 때때로 "계수의 수학"이라고 불린다.

수학에서 발생하는 많은 집합은 자연수 n에 대해 {1, 2, ..., n}과(와) 함께 분사를 설정할 수 없습니다. 이러한 집합을 무한 집합이라고 하며, 이러한 분사가 존재하는 집합을 유한 집합이라고 합니다(일부 n에 대해).무한 집합은 일반적인 의미에서 셀 수 없습니다. 한 가지 예로, 유한 집합의 이 일반적인 의미의 기초가 되는 수학적 정리는 무한 집합의 경우 거짓입니다.더욱이, 이러한 정리가 언급된 개념의 다른 정의는 유한 집합과 동등하지만, 무한 집합의 맥락에서 불평등하다.

계수 개념은 잘 알려진 집합과 함께 분사를 확립(존재)한다는 의미에서 그들에게까지 확장될 수 있다.예를 들어, 집합이 모든 자연수의 집합과 함께 분사를 할 수 있다면, 그것은 "계수적으로 무한"이라고 불립니다.이러한 종류의 계수는 유한 집합의 계수와는 근본적으로 다르다. 즉, 원래 집합과의 분사의 가능성이 배제되지 않기 때문에 집합에 새로운 요소를 추가하는 것이 반드시 크기를 증가시키는 것은 아니다.예를 들어, 모든 정수의 집합(음수 포함)은 자연수의 집합과 함께 분사될 수 있으며, 유리수의 모든 유한 수열의 집합과 같이 겉으로 보기에 훨씬 더 큰 집합도 여전히 셀 수 있을 정도로 무한하다.그럼에도 불구하고, 실수의 집합과 같이 자연수와의 분사를 허용하기에는 "너무 크다"고 보여질 수 있는 집합이 있으며, 이러한 집합을 "산할 수 없다"라고 한다.이들 사이에 바이젝션이 존재하는 세트는 같은 카디널리티를 갖는다고 하며, 가장 일반적인 의미에서 세트 카운트는 카디널리티를 결정하는 것으로 간주할 수 있다.각각의 자연수에 의해 주어진 기수를 넘어, 비록 그러한 기수는 일반 수학에서 거의 발생하지 않지만 무한 기수의 무한 계층이 존재한다.

대부분 유한 집합인 셈은 수학에서 다양한 응용 분야를 가지고 있다.한 가지 중요한 원리는 두 집합 X와 Y가 유한한 수의 원소를 가지고 있고 함수 f: X → Y가 주입형인 것으로 알려져 있다면, 그것은 또한 주관적이며, 그 반대도 마찬가지라는 것이다.A관련 사실로 만약 finjective은, 만약 X와 Yn을과 요소 n과 m의 한정된 숫자 2명이 있다:m, f:X는 지도 → Y 아니다injective(그래서 X의 두 별개의 요소들은 fY의 같은 요소에 파견하고 있는 존재);이 전 원칙이, 그때 i. 것 명시한 칸 원리'으로 알려진이익m개의 요소를 가진 X의 엄격한 부분집합 S에 대한 제한은 S 외부의 X에 대해 f(x)가 제한의 이미지에 있을 수 없다는 사실과 모순되며, 그러면 제한은 투영적일 수 있다.유사한 카운트 인수는 명시적으로 예를 제시하지 않고 특정 객체의 존재를 증명할 수 있습니다.무한 집합의 경우 예를 [citation needed]들어줄 수 없는 상황에도 적용할 수 있습니다.

열거적 조합론의 영역은 유한 집합의 요소 수를 실제로 세지 않고 계산하는 것을 다룬다. 유한 집합의 무한 패밀리는 자연수 n에 대한 {1, 2, ..., n}의 순열 집합과 같이 한 번에 고려되기 때문에 보통 후자는 불가능하다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ Howard Eves(1990)의 수학사개론 (제6판) 9쪽
  2. ^ "Early Human Counting Tools". Math Timeline. Retrieved 2018-04-26.
  3. ^ Macey, Samuel L. (1989). The Dynamics of Progress: Time, Method, and Measure. Atlanta, Georgia: University of Georgia Press. p. 92. ISBN 978-0-8203-3796-8.
  4. ^ a b Evans, James (1998). "4". The History and Practice of Ancient Astronomy. Oxford University Press. p. 164. ISBN 019987445X.
  5. ^ "Drafting bills for Parliament". gov.uk. Office of the Parliamentary Counsel. 표제 8을 참조해 주세요.
  6. ^ 버터워스, B., R. 리브, 레이놀즈, F. 및 로이드, D. (2008)말이 있든 없든 수치적 사고: 호주 원주민 아이들의 증거입니다.국립과학아카데미, 105(35), 13179–13184.
  7. ^ 고든, P. (2004)단어 없는 수치 인식: 아마조니아로부터의 증거.과학, 306, 496-499.
  8. ^ K.C. 퓨슨(1988년)아이들의 숫자 세기와 숫자 개념.뉴욕: Springer-Verlag.
  9. ^ 르 코레, M. & Carey, S. (2007)하나, 둘, 셋, 넷, 그 이상도 이하도 아니다.구두 계산 원칙의 개념적 출처에 대한 조사.인지, 105, 395–438.
  10. ^ Le Corre, M., Van de Walle, G., Brannon, E.M., Carey, S. (2006)계수 원칙 획득 시 역량/성능 토론 재방문인지심리학, 52(2), 130-169.