선형시간변동계통

결정론적 연속 시간 SISO 시스템의 중첩 원리와 시간 불변성을 나타내는 블록 다이어그램. The system satisfies the superposition principle and is time-invariant if and only if

y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t-t_{0})+a_{2}\,y_{2}(t-t_{0})

for all time

t

, for all real constants

a_{1}

,

a_{2}

{\

}}

a_{2}

및

t_{0}

0

{\

x_{1}(t)

{0},

그리고

t_{0}

모든 입력 x

x_{1}(t)

( t

x_{1}(t)

)

{\displaystyle x_{1}(

x_{2}(t)

)

및

x_{1}(t)

x_{2}(t)

2

x_{2}(t)

( t

x_{2}(t)

)

{\displaystystyle x_{2}(t

^[1] 확장하려면 이미지를 클릭하십시오.

시스템 분석에서, 다른 연구 분야 중에서, 선형 시간 변이 시스템(LTI 시스템)은 선형성과 시간 변동의 제약조건에 따라 입력 신호로부터 출력 신호를 생성하는 시스템이다. 이 용어들은 아래에 간략하게 정의되어 있다. 이러한 속성은 많은 중요한 물리적 시스템에 (정확히 또는 근사적으로) 적용되는데, 이 경우 임의 입력 x(t)에 대한 시스템의 응답 y(t)를 콘볼루션으로 직접 찾을 수 있다: y(t) = x(t) h(t) ( h(t) 여기서 h(t)를 시스템의 충동 응답이라고 하고 ∗은 콘볼루션(자유인 것처럼 곱과 혼동하지 않음)을 나타낸다.컴퓨터 언어에서 기호에 의해 적절히 사용됨). 더욱이, 그러한 시스템을 해결하기 위한 체계적인 방법(결정 h(t)이 있는 반면, 두 속성을 모두 충족하지 못하는 시스템은 일반적으로 분석적으로 해결하기가 더 어렵다(또는 불가능하다). LTI 시스템의 좋은 예로는 저항기, 캐패시터, 인덕터 및 선형 증폭기로 구성된 모든 전기 회로가 있다.^[2]

선형 시간 변이성 시스템 이론은 시스템이 시간적 차원 대신 또는 시간적 차원 이외에 공간적 차원을 갖는 이미지 처리에도 사용된다. 이러한 시스템은 용어에 가장 일반적인 도달 범위를 제공하기 위해 선형 변환 가변성(linear transline translation-invariant. 일반적인 이산 시간(즉, 샘플링된) 시스템의 경우, 선형 시프트-인바리안트가 해당 항이다. 응용 수학의 전기 회로 분석과 설계에 직접 응용 연구 체계 이론 있는 지역, 신호 처리 및 필터 설계, 제어 이론, 기계 공학, 이미지 프로세싱과 많은 종류, NMRspectroscopy[표창 필요한], 시스템 많은 다른 기술적 지역의 측정 기기에 대한 설계.평범한 dif의원주 방정식이 나타나다

개요

모든 LTI 시스템의 정의 특성은 선형성과 시간 불변성이다.

선형성은 $y(t)$ 둘 $x(t)$ 로 $x(t)$ 간주되는 $x(t)$ 입력 x ( t ) {\ $displaystyle$ x( $y(t)$ 과 $y(t)$ 출력 y ( t ) {\ $displaystyle$ y $(t)}$ 사이의 관계가 선형 매핑임을 의미한다. If $a$ is a constant then the system output to $ax(t)$ is $ay(t)$ ; if $x'(t)$ is a further input with system output $y'(t)$ then the output of the system to ${\displa$ $ystyle x($ $y(t)+y'(t)$ $)+$ $y(t)+y'(t)$ $(t)}$ 는 y $y(t)+y'(t)$ ( t $y(t)+y'(t)$ ) $y(t)+y'(t)$ + y $y(t)+y'(t)$ ( $y(t)+y'(t)$ ) ${\displaystyle$ $y$ $(t)+y''(t)}$ 이며 $x(t)+x'(t)$ $y(t)+y'(t)$ $a$ 는 ${\displaystyle$ a $a$ $x(t)$ $x'(t)$ $x(t)$ ${\$ $displaystyle x(t$ $)},$ x $x(t)$ $)}$ 의 모든 선택에 적용된다 $x'(t)$ 후자의 조건은 흔히 중첩 원리로 언급된다.
시간 불변성은 우리가 지금 시스템에 입력을 적용하든, 지금부터 T초 후에 입력을 적용하든, T초의 시간 지연을 제외하고 출력은 동일하다는 것을 의미한다. That is, if the output due to input $x(t)$ is $y(t)$ , then the output due to input $x(t-T)$ is $y(t-T)$ . Hence, the system is time invariant because the output does not depend on the particular time the input is applied.

LTI 시스템 이론의 근본적인 결과는 어떤 LTI 시스템도 전적으로 시스템의 충동 반응이라고 불리는 단일 함수로 특징지어질 수 있다는 것이다. 시스템 $y(t)$ ( t $y(t)$ ) ${\displaystyle$ y $(t)}$ 의 출력은 단순히 $y(t)$ 시스템의 임펄스 $h(t)$ h $h(t)$ ( $x(t)$ $h(t)$ ) ${\displaystyle$ $x$ $(t$ 에 $x(t)$ 대한 입력의 $x(t)$ 일 $x(t)$ 이다 $.$ 이것을 연속 시간 체계라고 한다. 마찬가지로 이산 시간 선형 시차변환(또는 더 일반적으로 "shift-invariant") 시스템은 $y_{i}=x_{i}*h_{i}$ 시간에서 동작하는 것으로 정의된다 $y_{i}=x_{i}*h_{i}$ . $y_{i}=x_{i}*h_{i}$ = $y_{i}=x_{i}*h_{i}$ $y_{i}=x_{i}*h_{i}$ $y_{i}=x_{i}*h_{i}$ $y_{i}=x_{i}*h_{i}$ i {\ $displaysty y_{i}=x_*h_{i$ }}}{i $}}}}}}}$ 여기서 y, x 및 h는 시퀀스이고 이산 시간에서는 합성물을 사용한다.

시간 영역과 주파수 영역 사이의 관계

LTI 시스템은 시스템의 전달 기능에 의해 주파수 영역에서도 특성화할 수 있는데, 이것은 시스템의 충동 응답(또는 이산 시간 시스템의 경우 Z 변환)의 라플라스 변환이다. 이러한 변환의 속성의 결과, 주파수 영역의 시스템 출력은 전송함수의 산물이며 입력의 변환이다. 즉, 시간 영역의 콘볼루션은 주파수 영역의 곱셈과 동등하다.

모든 LTI 시스템에서 고유 기능 및 변환의 기본 함수는 복합 지수다. 즉, 시스템에 대한 입력이 일부 복잡한 진폭 A $A_{s}$ ${\$ 및 복잡한 $A_{s}$ $주파수$ s $s$ 에 $A_{s}e^{st}$ 대한 복합 파형 A $A_{s}e^{st}$ $A_{s}e^{st}$ $A_{s}e^{st}$ ${\$ displaystyle A_{ $s}e^{st}}$ 인 경우 출력은 입력에 몇 배 복잡한 상수가 된다 $s$ 예를 $B_{s}e^{st}$ 들어 $B_{s}e^{st}$ s $B_{s}e^{st}$ s $B_{s}e^{st}$ s ${\$ 일부 새로운 복합 진폭 $B_{s}$ $B_{s}$ ${\$ 비율 $B_{s}/A_{s}$ $B_{s}/A_{s}$ / $B_{s}/A_{s}$ s ${\$ 은(는) $주파수$ s $s$ 의 전송 함수다 $B_{s}/A_{s}$ $s$

사인파란 복잡한 콘주문 주파수를 가진 복잡한 지수들의 합이기 때문에, 만일 시스템에 대한 입력이 사인파라면, 시스템의 출력도 사인파일 것이다. 아마도 진폭과 위상은 다르지만, 정상 상태에 도달할 때 항상 같은 주파수를 갖는 것일 것이다. LTI 시스템은 입력에 없는 주파수 성분을 생성할 수 없다.

LTI 시스템 이론은 많은 중요한 시스템을 잘 묘사한다. 대부분의 LTI 시스템은 최소한 시간 간격 및/또는 비선형 사례와 비교하여 분석하기 "쉬운" 것으로 간주된다. 계수가 일정한 선형 미분 방정식으로 모델링할 수 있는 모든 시스템은 LTI 시스템이다. 그러한 시스템의 예로는 저항기, 인덕터 및 캐패시터(RLC 회로)로 구성된 전기 회로가 있다. 이상적인 스프링-질량-손상 시스템도 LTI 시스템이며 수학적으로 RLC 회로와 동일하다.

대부분의 LTI 시스템 개념은 연속 시간과 이산 시간(선형 시프트 인바리어트) 사례 간에 유사하다. 영상 처리에서 시간 변수는 두 개의 공간 변수로 대체되며, 시간 불변성의 개념은 2차원 시프트 불변성으로 대체된다. 필터 뱅크와 MIMO 시스템을 분석할 때 신호 벡터를 고려하는 것이 유용한 경우가 많다.

시간에 구애받지 않는 선형 시스템은 녹색 함수 방식과 같은 다른 방법을 사용하여 해결할 수 있다.

연속시간제

임펄스 반응과 경련

입력 신호 x(t)와 출력 신호 y(t)를 갖는 선형 연속 시간 변화 시스템의 동작은 콘볼루션 적분으로 설명된다.^[3]

y(t)=(x*h)(t)

\mathrel {\stackrel {\mathrm {def}{=}\int \infit _{-\infit }^{\x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\mathrm {d}\tau }}

=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau ,

=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau ,

-

=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau ,

=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau ,

x (

=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau ,

)

=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau ,

h

=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau ,

-

=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau ,

) d

=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau ,

,

{\displaystyle =\int \int

\

infit _{-\x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\math

{

d

}

\tau ,}(

콤시티 사용)

여기서 ${\textstyle h(t)}$ ( ${\textstyle h(t)}$ ) ${\textstyle h(t)}$ 은(는) 임펄스에 대한 시스템 응답이다 ${\textstyle h(t)}$ : ${\textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$ ( ${\textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$ ) ${\textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$ = ${\textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$ ( ) ${\textstyle$ x $(\tau )=\tu (\$ $tau$ ) ${\textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$ . ${\textstyle y(t)}$ ( ${\textstyle y(t)}$ ) ${\textstyle$ ${\textstyle y(t)}$ y $($ $t)}$ 은 입력함수 ${\textstyle x(\tau )}$ ( ${\textstyle x(\tau )}$ x ${\textstyle x(\tau )}$ )의 가중 $평균$ 에 비례한다 ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle x(\tau )}$ 가중치 함수는 ${\textstyle h(-\tau )}$ ( - ${\textstyle h(-\tau )}$ ) ${\textstyle h(-\tau )}$ 이며 ${\textstyle h(-\tau )}$ 단순히 양 ${\textstyle t}$ ${\textstyle t}$ 에 의해 이동된다 ${\textstyle t}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle t}$ 이 ${\textstyle t}$ 변화함에 따라 가중치 함수는 입력 함수의 다른 부분을 강조한다. ${\textstyle h(\tau )}$ ( ${\textstyle h(\tau )}$ ) ${\textstyle h(\$ ${\textstyle y(t)}$ $)}$ 이(가) 모든 음의 ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle \tau$ ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle y(t)}$ ( t ${\textstyle y(t)}$ ) ${\textstyle y(t)}$ 에 대해 0이면 ${\textstyle h(\tau )}$ ${\textstyle t}$ t ${\textstyle t$ 이전의 ${\textstyle x}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle x}$ 값에만 의존하며 ${\textstyle y(t)}$ 시스템은 인과 관련이 있다고 한다.

To understand why the convolution produces the output of an LTI system, let the notation ${\textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}$ represent the function ${\textstyle x(u-\tau )}$ with variable ${\textstyle u}$ and constant ${\textstyle \tau }$ . And let the shorter notation ${\textsty$ $\{x\}$ 는 {x( ${\textstyle \{x(u);\ u\}}$ ); ${\textstyle \{x(u);\$ u\}}을 $($ 를) 나타낸다 ${\textstyle \{x\}}$ ${\textstyle \{x(u);\ u\}}$ 그런 다음 연속 ${\textstyle \{x\},}$ 시스템은 입력 기능인 { x ${\textstyle \{x\},}$ ${\textstyle \{x\}}$ 을(를) 출력 기능인 ${\textstyle \{y\}}$ { ${\textstyle \{y\}}$ ${\textstyle \{y\}}$ ${\textstyle \{y$ 로 ${\textstyle \{x\},}$ 변환하며, 일반적으로 출력의 모든 값은 입력의 모든 값에 따라 달라질 수 있다. 이 개념은 다음과 같이 표현된다.

y(t)\mathrel {\stackrel {\def}{def}}{{t}\{x\}}

여기서

{\textstyle O_{t}}

{\textstyle O_{t}}

{\

는

{\textstyle t}

t

{\textstyle t}

에 대한 변환 연산자다

{\textstyle t}

일반적인

{\textstyle y(t)}

에서

{\textstyle y(t)}

( t

{\textstyle y(t)}

)

{\textstyle y(t)

는 시간 t

{\textstyle

t

}

에 가까운 시간에 발생한

{\textstyle x}

{\textstyle x}

{\textstyle

x

}

의 값에 가장 크게 의존한다

{\textstyle y(t)}

{\textstyle t}

변환 자체가

{\textstyle t}

{\tyt}

로 변경되지 않는 한, 아웃

{\textstyle t}

put 기능은 그저 일정하고, 시스템은 흥미가 없다.

선형 시스템의 경우 ${\textstyle O}$ ${\textstyle O}$ 이(가) Eq.1을 충족해야 한다 ${\textstyle O}$ .

O_{t}\left\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ x_{\tau }(u)\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ \underbrace {y_{\tau }(t)} _{O_{t}\{x_{\tau }\}}\,\mathrm {d} \tau .

(Eq.2)

그리고 시간 간격 요구사항은 다음과 같다.

{\reasoned}O_{t}\{x(u-\tau );\u\}&\mathrel {\quad }{}}}Y(t-\tau )\\\\\\mathrel {\\stackrel {\text{def}}{=} O_{t-\x\},\ended{aigned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

(Eq.3)

이 표기법에서는 임펄스 응답을 ${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$ ${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$ ) ${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$ = ${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$ ${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$ ${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$ { ${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$ ); ${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$ u ${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$ ${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\def}{=}} O_{t}\delta(u);\ u\\\}$ 로 쓸 수 있다. $}$

이와 유사하게:

$h(t-\tau )$	$\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=} O_{t-\tau }\delta (u);\ u\\\\}$
	$=O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.$ $=O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.$ $=O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.$ { $=O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.$ - $=O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.$ $=O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.$ $=O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.$ . ${\displaystyle =O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}}}($ Eq.3 사용)

이 결과를 콘볼루션 적분으로 대체하는 방법:

{\begin{aligned}(x*h)(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\mathrm {d} \tau ,\,\end{aligned}}

사례 ${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$ ${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$ = ${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$ ( ${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$ ) ${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$ 및 ${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$ ${\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$ ${\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$ ) = ${\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$ - ${\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$ ) ${\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$ . ${\textstyle x_{\tau(u)=\delta(u-tau).$ $}$

그러면 Eq.2는 다음과 같은 계속을 허용한다.

{\displaysty}(x*h)(t)&=O_{t}\left\{\int_{-\int_{-\infit }^{\not }x(\tau )\cdot \dau(u-\tau )\,\mathrm {d} \tau\ \\right\}\[4pt]&.=O_{t}\좌측\{x(u);\ u\\\\\\\mathrel {\stackrel {\text{def}}}{=}}Y(t)\,\end{aigned}

요약하면 입력함수인 { ${\textstyle \{x\}}$ ${\textstyle \{x\}}$ ${\textstyle \{x\}}$ 은 ${\textstyle \{x\}}$ 는) Eq.1과 같이 "선형으로" 결합한 시간변형 임펄스 함수의 연속체로 나타낼 수 있다. 시스템의 선형성 속성은 시스템의 반응을 같은 방식으로 결합하여 그에 상응하는 충동 반응의 연속체로 나타낼 수 있게 한다. 그리고 시간-invariance 속성은 그러한 조합을 콘볼루션 적분으로 나타낼 수 있도록 한다.

위의 수학적 연산은 간단한 그래픽 시뮬레이션을 가지고 있다.^[4]

고유 기능으로 지수

고유함수는 연산자의 출력이 동일한 함수의 축척 버전인 함수다. 그것은

{\mathcal{H}f=\lambda f,

여기서 f는 고유함수이고

\lambda

\lambda

은

\lambda

상수인 고유값이다.

지수함수 $Ae^{st}$ $Ae^{st}$ $Ae^{st}$ $Ae^{st}$ ${\$ 여기서 $A,s\in \mathbb {C}$ , s $A,s\in \mathbb {C}$ C ${\$ 는 선형 시간 내 변이 연산자의 고유 기능이다. 간단한 증거가 이 개념을 보여준다. 입력이 $x(t)=Ae^{st}$ ( $x(t)=Ae^{st}$ ) $x(t)=Ae^{st}$ = $x(t)=Ae^{st}$ $x(t)=Ae^{st}$ $x(t)=Ae^{st}$ t ${\$ 라고 가정합시다. $Ae^{{st}}}$ . 그러면 임펄스 $h(t)$ h $h(t)$ ( $h(t)$ ) $h(t)$ 이(가) 있는 시스템의 출력이 다음과 $h(t)$ 같이 된다.

{\daystyle \int _{-\infit _{-\infit }^{h(t-\tau )Ae^{s\tau }\\mathrm {d}\tau }}

콘볼루션의 상호 작용 특성에 의해

{\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\mathrm {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=Ae^{st}\int _{-\infit }^{\\nft }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau\\\\\tau\\\\d}\tau&=\\coverbrace{Ae^{st}}}}{{{{\next}}}}}입력}} ^{f}\overbrace {\underbrace {H} _{\text{Scalar}} ^{\lambda }\\\ended{aligned}}}}}

가장 중요한 곳에

H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{}}}\int _{-\infit }^{-\h(t)e^{-st}\,\mathrm {d}t} t

매개 변수 s에만 의존한다.

그래서 시스템의 대응은 입력의 축소판이다. In particular, for any $A,s\in \mathbb {C}$ , the system output is the product of the input $Ae^{st}$ and the constant $H(s)$ . Hence, $Ae^{st}$ is an eigenfunction of an LTI system, and the corresponding eigenvalue is $H(s)$ ( $H(s)$ ) $H(s)$ .

직접증거

LTI 시스템의 고유 기능으로서 복잡한 지수들을 직접 도출하는 것도 가능하다.

$v(t)=e^{i\omega t}$ ( $v(t)=e^{i\omega t}$ ) $v(t)=e^{i\omega t}$ = $v(t)=e^{i\omega t}$ $v(t)=e^{i\omega t}$ $v(t)=e^{i\omega t}$ ${\$ t $}}$ 어떤 $v(t)=e^{i\omega t}$ 복잡한 지수화, v $v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}$ ( $v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}$ ) $v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}$ = e $v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}$ ( $v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}$ + $v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}$ ${\$ 를 $v_{a}(t)=e^{{i\omega (t+a)}}$ 시간변형 버전으로 설정하자.

$H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)$ [ $H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)$ $H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)$ $H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)$ ( t $H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)$ ) $H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)$ = $H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)$ $H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)$ a $H$ $H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)$ [ $H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)$ $H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)$ ( t $H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)$ ) ${\displaystyle H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[$ $v](t$ 상수 $H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)$ $e^{i\omega a}$ $e^{i\omega a}$ $a$ Ω에 대한 $선형성$ .

${\displaystyle H[v_{a}](t)=$ $H$ $H$ 의 시간 불변으로 $H[v](t+a$ $H$

그래서 $H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)$ [ $H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)$ $H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)$ ( $H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)$ + a $H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)$ ) $H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)$ = $H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)$ $H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)$ $H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)$ $H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)$ [ $H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)$ $H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)$ ( t ) ${\displaystyle H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t$ 설정 $t=0$ = $t=0$ ${\displaysty t=0}$ 과 이름 $t=0$ 변경:

H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)

즉, 입력으로

e^{i\omega \tau }

복합 지수

e^{i\omega \tau }

e^{i\omega \tau }

{\

e

^{i\omega \tau }}}

이(가) 출력과 동일한 주파수의 복잡한 지수화를 제공한다는 것이다.

푸리에와 라플라스 변환

지수들의 고유함수 속성은 LTI 시스템에 대한 분석과 통찰력 모두에 매우 유용하다. 단측 라플라스 변환

H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{\\mathcal {L}\{h(t)\\\mathrel {\\\stickrel {\text{def}}}}\int _{0}^{0}h(t)^{-st},\mathrmathrmatmatmathrmet}t}t}t}t

임펄스 반응에서 고유값을 얻는 방법이 바로 그것이다. 특히 관심 있는 것은 순수한 사인오이드(

e^{j\omega t}

,

\omega \in \mathbb {R}

e^{j\omega t}

e^{j\omega t}

t {\

displaystyle

e^{

j\omega

t

})

이다

\omega \in \mathbb {R}

여기서

e^{j\omega t}

\omega \in \mathbb {R}

R {\

displaystyle \omega \in \mathb{R}}

및

\omega \in \mathbb {R}

j\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\sqrt {-1}}

=

j\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\sqrt {-1}}

-

j\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\sqrt {-1}}

{\

j

\matrel{\striel}{\def}{\cript}}}}}}}}{\

sqrt}}}}}}{\

sqrt

}}}{\sqrt

}}}}

푸리에 변환

H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}

H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}

)

H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}

= F

H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}

{

H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}

(

H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}

H(j\omega )={\mathcal{F}\{h(t)\}}}}}}}

은 순수 복합 사인온에 대한 고유값을 제공한다

H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}

.

H(s)

(

H(s)

)

H(s)

과

H(s)

H(j\omega )

H(j\omega )

H(j\omega)

둘 다 시스템 함수, 시스템 응답 또는 전송 함수로 불린다

H(j\omega )

.

라플라스 변환은 일반적으로 단측 신호, 즉 일부 값보다 작은 모든 값에 대해 0인 신호의 맥락에서 사용된다. 일반적으로, 이 "시작 시간"은 편의상, 일반성의 손실 없이 0으로 설정되며, 변환 적분은 0에서 무한대로 가져간다(위 그림의 음의 무한대의 통합 하한을 가진 변환은 공식적으로 쌍방향 라플라스 변환으로 알려져 있다).

푸리에 변환은 사각형 통합이 불가능한 입출력 신호에 직접 적용할 수 없더라도 변조된 사인파 등 무한정 범위의 신호를 처리하는 시스템을 분석하는 데 사용된다. 라플라스 변환은 사각형 통합이 가능하지 않더라도 시작 시간 전에 0이면 이러한 신호에 대해 직접 작용하여 안정적인 시스템을 제공한다. 푸리에 변환은 퓨리에 변환이 존재하지 않더라도 위너-킨친 정리를 통해 무한 신호의 스펙트럼에 적용되는 경우가 많다.

이 두 변환의 콘볼루션 특성 때문에 변환이 존재하는 신호에 따라 시스템의 출력을 제공하는 콘볼루션은 변환 영역의 곱셈으로 변환될 수 있다.

y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}.

라플라스 변환을 사용하는 시스템에서 특정 주파수 구성요소가 어떻게 처리되는지 결정하기 위해 시스템 응답을 직접 사용할 수 있다. 복잡한 주파수 s = Ω, 여기서 Ω = 2πf에서 시스템 응답(충동 응답의 래플라스 변환)을 평가하면 주파수 f에 대한 시스템 이득인 H(s)를 얻는다. 해당 주파수 성분에 대한 출력과 입력 사이의 상대 위상 편차도 arg(H)에 의해 주어진다.

예

LTI 사업자의 간단한 예는 파생상품이다.
- ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right)=c_{1}x'_{1}(t)+c_{2}x'_{2}(t)$ (i.e., it is linear)
- ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )$ ( ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )$ - ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )$ ) ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )$ = ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )$ ( t ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )$ - ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )$ ) ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}{\d} t}x(t-\tau )=x'(t-\tau )}($ 즉, 시간 불변)
파생상품의 라플라스 변환을 취하면, 라플라스 변수에 의한 단순한 곱셈으로 변한다.
${\mathcal {L}\왼쪽\{\frac {\mathrm {d}{\mathrm {d} t}x(t)\right\}=sX$
${\mathcal {L}}\left\{{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)\right\}=sX(s)$

파생상품이 그러한 간단한 라플라스 변환을 가지고 있다는 것은 부분적으로 변환의 효용성을 설명한다.
또 다른 간단한 LTI 연산자는 평균 연산자다. ${\mathcal {A}\좌측\{x(t)\우측\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}}}\int_{t-a}x(\lambda )\mathrm {da}\lambda.$ 통합의 선형성에 의해 ${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\{c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\}&=\int _{t-a}^{t+a}(c_{1}x_{1}(\lambda )+c_{2}x_{2}(\lambda ))\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_{1}\int _{t-a}^{t+a}x_{1}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +c_{2}\int _{t-a}^{t+a}x_{2}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_{1}{\mathcal {A}}\{x_{1}(t)\}+c_{2}}{\mathcal{A}\{x_{2}(t)\},\end{aigned}}}$ 그것은 선형이다. 게다가, 왜냐하면 ${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x(t-\tau )\right\}&=\int _{t-a}^{t+a}x(\lambda -\tau )\,\mathrm {d} \lambda \\&=\int _{(t-\tau )-a}^{(t-\tau )+a}x(\xi )\,\mathrm {d} \xi \\&={\mathcal {A}}\{x\}(t-\tau ),\end{aligned}}$ 그것은 시간 불변이다. 실제로 ${\mathcal {A}}$ ${\$ 은(는) 박스카 함수 $\Pi (t)$ ) $\Pi(t)$ 을(를) 가진 콘볼루션으로 쓸 수 있다 ${\mathcal {A}}$ $\Pi (t)$ 즉, ${\dmathstyle {\mathcal {A}\{x(t)\right\}=\int _{-\inflit }^{\\inflit }\Pi \lefrac({\lambda -t}{2a}}\lambda )\,\mathrm {d}\lambda}\lambda ,}\lambda}, \lambda},}, \lambda ,}$ 박스카가 기능하는 곳 $\Pi(t)\mathrel {\stackrel {\dext{def}}{\begin{case}1&{\text}}}}}}} t <{\frac {1}{2}},\0&{\text}}}}}}}.\end{case}}$

중요한 시스템 속성

시스템의 가장 중요한 특성들 중 일부는 인과관계와 안정성이다. 인과관계는 독립 변수가 시간인 물리적 시스템의 필수 사항이지만, 영상 처리와 같은 다른 경우에는 이 제한이 존재하지 않는다.

인과성

출력이 현재와 과거에만 의존하지만 미래 입력에 의존하지 않는다면 시스템은 인과적이다. 인과관계의 필요하고도 충분한 조건은 다음과 같다.

h(t)=0\flash \forall t<0,

여기서 $h(t)$ ( $h(t)$ ) $h(t)$ 은 $h(t)$ (는) 임펄스 반응이다. 일반적으로 양면 라플라스 변환에서 인과관계를 판별하는 것은 불가능하다. 그러나 시간 영역에서 작업할 때는 일반적으로 인과관계가 필요한 단측 라플라스 변환을 사용한다.

안정성

시스템은 경계 입력, 경계 출력 안정(BIBO 안정적)이며, 만약 모든 경계 입력에 대해 출력이 유한하다면, 모든 입력이 만족스러운 경우 수학적으로

\displaystyle \ \x(t)\ _{\fty }<\infully }

생산량을 만족시키다.

\displaystyle \ \ y(t)\ _{\fty }<\infully }

(즉, $x(t)$ 한 $x(t)$ 절대값 x $x(t)$ (t ) {\ $displaystyle$ x (t)}은 $y(t)$ ( $y(t)$ ) $y(t)$ 의 유한한 최대 절대값을 의미하며 $x(t)$ , $y(t)$ 그러면 시스템이 안정적이다. 필요하고도 충분한 조건은 충격 반응인 $h(t)$ ( $h(t)$ ) $h(t)$ 이(가) L¹ (L¹ 규범이 유한한 경우):

\ h(t)\ _{1}=\int_{-\nft }^{\\nft }h(t) \,\mathrm {d}t<\ft.

주파수 영역에서 수렴 영역은 상상의 $s=j\omega$ s $s=j\omega$ = $s=j\omega$ $s=j\omega$ $s=j\omega$ 을(를) 포함해야 한다 $s=j\omega$

예를 들어, sinc 함수와 동일한 충격 반응을 가진 이상적인 저역 통과 필터는, sinc 함수가 유한 L¹ 규범을 가지지 않기 때문에, 비보가 안정적이지 않다. 따라서 어떤 경계 입력의 경우 이상적인 저역 통과 필터의 출력은 제한되지 않는다. 특히, $t<0$ 이 $t<0$ t < $t<0$ > 0 $t<0$ 의 경우 0이고 $t<0$ , $t>0$ > 0 $t>0$ {\ $displaystyle t>0$ 의 컷오프 주파수에서 사인파이와 같으면, 0 교차를 제외한 모든 시간 동안 출력이 제한되지 않는다.^{[dubious – discuss]}

이산 시간 시스템

연속 시간 시스템의 거의 모든 것은 이산 시간 시스템의 상대적인 것을 가지고 있다.

연속 시간 시스템의 이산 시간 시스템

많은 맥락에서 이산 시간(DT) 시스템은 실제로 더 큰 연속 시간(CT) 시스템의 일부분이다. 예를 들어, 디지털 녹음 시스템은 아날로그 소리를 취하여 디지털화하고, 디지털 신호를 처리할 수 있으며, 사람들이 들을 수 있도록 아날로그 소리를 재생한다.

실제 시스템에서 얻은 DT 신호는 대개 CT 신호의 균일하게 샘플링된다. $x(t)$ ( $x(t)$ ) $x(t)$ 이 $x(t)$ (가) CT 신호인 경우 아날로그-디지털 변환기 전에 사용된 샘플링 회로가 DT 신호로 변환됨:

x_{n}\mathrel {\stackrel {\def}}{}}}}x(nT)}\qquad \forall \,n\in \mathb {Z},

여기서 T는 샘플링 기간이다. 샘플링 전에 입력 신호는 일반적으로 "접히는 주파수" 1/(2T) 이상의 주파수를 제거하는 소위 나이키스트 필터를 통해 실행된다. 이는 필터링된 신호의 정보가 손실되지 않음을 보장한다. DT 신호는 접힘 주파수보다 낮은 주파수 성분만 지원할 수 있기 때문에 필터링 없이 접힘 주파수(또는 나이키스트 주파수) 위의 주파수 성분은 다른 주파수(원래 신호를 왜곡하는 것)로 별칭된다.

임펄스 반응과 경련

$\{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.$ $\{x[m-k];\ m\}$ [ $\{x[m-k];\ m\}$ - $\{x[m-k];\ m\}$ $\{x[m-k];\ m\}$ $\{x[m-k];\ m\}$ $\{x[m-k];\m\$ 의 $\{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.$ { $\{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.$ [ $m$ - $\{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.$ $\{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.$ ; 시퀀스 $\{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.$ {x $x]$ 를 나타내도록 $\{x[m-k];\ m\}$ 두십시오 $.$ $}}m\}의 모든 정수 값에 대해 {\text{.$ $}$

$\{x\}$ 더 짧은 표기법 $\{x\}$ { x $\{x\}$ $\{x\$ 이 $\{x[m];\ m\}.$ 가) { $\{x[m];\ m\}.$ [ $m$ $\{x[m];\ m\}.$ 을(를) 나타내도록 $\{x\}$ 한다 $.$ $}$

이산형 시스템은 입력 시퀀스 $\{x\}$ { $\{x\}$ $\{x\}$ $\{x\}$ 을(를) 출력 $\{x\}$ 시퀀스 $\{y\}.$ { y $\{y\}.$ $\{y\}}$ 일반적으로 출력의 모든 요소는 $\{y\}.$ 입력의 모든 요소에 따라 달라질 수 있다. $변환$ 연산자를 O {\ $displaystyle O}$ 로 나타내면 다음과 같이 쓸 수 있다 $O$

y[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{x\}.

변환 자체가 n으로 변경되지 않는 한 출력 시퀀스는 일정하며, 시스템은 흥미가 없다는 점에 유의하십시오(첨자, n). 일반적인 시스템에서 y[n]는 지수가 n에 가까운 x의 요소에 가장 크게 의존한다.

크로네커 델타 함수의 특별한 경우, $x[m]=\delta [m],$ [ $x[m]=\delta [m],$ $x[m]=\delta [m],$ = $x[m]=\delta [m],$ [ $x[m]=\delta [m],$ , $x[m]=\delta [m],$ 출력 $x[m]=\delta [m],$ 시퀀스는 임펄스 응답이다.

h[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=} O_{n}\\delta [m];\m\}.

선형 시스템의 경우 $O$ $O$ 이(가) 다음을 충족해야 한다 $O$ .

O_{n}\왼쪽\{\sum _{k=-\infit }^{k_}\c_{k}\cdot x_{k}[m];\m\right\}=\sum _{k=-\infty }^{c_{x_{k}}}.

(Eq.4)

그리고 시간 간격 요구사항은 다음과 같다.

{\reasoned}O_{n}\{x[m-k];\m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{}}}}}Y[n-k]\&\\mathrel {\\\dext{def}}}}}}}}}O_{n-k}\,\end{ligrigned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

(Eq.5)

그러한 시스템에서는 임펄스 응답 $\{h\}$ { $\{h\}$ $\{h\}$ $\{h\}}$ 이 $\{h\}$ 가) 시스템을 완전히 특징짓는다. 즉, 어떤 입력 시퀀스에 대해서도 출력 시퀀스는 입력과 임펄스 응답의 측면에서 계산할 수 있다. 이 작업이 어떻게 수행되는지 확인하려면 ID를 고려하십시오.

x[m]\equiv \sum _{k=-\infit }^{\infit }x[k]\cdot \infit [m-k],

가중 델타 함수의 합을 기준으로 $\{x\}$ { $\{x\}$ $\{x\}$ $\{x\}$ 을(를) 표현한다.

따라서 다음과 같다.

{\display}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k];\ m\},\,\end{aligned}}

여기서 사례 $c_{k}=x[k]$ = x $c_{k}=x[k]$ [ $c_{k}=x[k]$ $c_{k}=x[k]$ $c_{k}=x[k]$ 및 $c_{k}=x[k]$ $x_{k}[m]=\delta [m-k]$ $x_{k}[m]=\delta [m-k]$ = $x_{k}[m]=\delta [m-k]$ [ $x_{k}[m]=\delta [m-k]$ - $x_{k}[m]=\delta [m-k]$ $x_{k}[m]=\delta [m-k]$ {\ $displaystyle x_{k}[m]=\delta [m-k]}$ 에 대해 Eq.4를 호출했다 $x_{k}[m]=\delta [m-k]$

그리고 Eq.5 때문에 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\reasoned}O_{n}\{n}\\delta [m-k];\m\}&\matrixel {\stackrel {\quad }{}}}\\delta [m];\m\\\\\\dext{def}}}}}}}}}}}}}}{\dela h[n-k].\end{정렬}}

따라서 다음과 같다.

y[n]

=\sum _{k=-\infit }^{\infit }x[k]\cdot h[n-k]

=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],

=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],

=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],

= -

=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],

x

=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],

[

=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],

- k

=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],

=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],

=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],

[

=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],

=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],

,

{\displaystyle =\sum _{k=-\inforty }^{\infit }x[n-k]\cdot

h[

k],},}(

공약도)

익숙한 이산 콘볼루션 공식이지 따라서 연산자 $O_{n}$ ${\$ 는 함수 x[k]의 가중 평균에 비례하는 것으로 해석할 수 있다 $O_{n}$ . 가중치 함수는 h[-k]로, 단순히 양 n으로 이동한다. n이 변화함에 따라 가중치 함수는 입력함수의 다른 부분을 강조한다. 동등하게, n=0에서 임펄스에 대한 시스템의 반응은 부동가중함수의 "시간" 역복사본이다. 모든 음의 k에 대해 h[k]가 0일 때, 그 계통은 인과적이라고 한다.

고유 기능으로 지수

고유함수는 연산자의 출력이 동일한 함수로서 일정한 비율로 스케일링되는 함수다. 기호로는

{\mathcal{H}f=\lambda f,

여기서 f는 고유함수이고 $\lambda$ $\lambda$ 은 $\lambda$ 상수인 고유값이다.

지수 함수 z $z^{n}=e^{sTn}$ = e $z^{n}=e^{sTn}$ $z^{n}=e^{sTn}$ n ${\$ z $^{n}=e^{s$ $tn$ $n\in \mathbb {Z}$ 서 n $n\in \mathbb {Z}$ Z ${\$ $n\in \mathbb {Z}$ 은(는) 선형 시간 변이 연산자의 고유 기능이다. $T\in \mathbb {R}$ $T\in \mathbb {R}$ $T\in \mathbb {R}$ ${\$ $z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C}$ $}}$ 은(는) 샘플링 간격이며 $T\in \mathbb {R}$ , $z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C}$ = e $z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C}$ $z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C}$ z $z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C}$ $z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C}$ $z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C}$ C ${\$ 이 개념을 보여주는 간단한 증거가 있다.

입력이 $x[n]=z^{n}$ [ $x[n]=z^{n}$ $x[n]=z^{n}$ = $x[n]=z^{n}$ $x[n]=z^{n}$ ${\$ 라고 가정합시다 $x[n]=z^{n}$ 그러면 임펄스 응답 $h[n]$ [ $h[n]$ $h[n]$ $h[n]$ 이(가) 있는 시스템의 출력이 된다 $h[n]$ .

\sum _{m=-\nflt }^{\nft }h[n-m]\,z^{m}}}

그것은 콘볼루션의 상호 작용 속성에 의해 다음과 같다.

\sum \}^{m=-\n(n-m)^{}h[m]\,z^{m=\n}\sum_{m=-\n}^{m=z^{n}H(z)

어디에

H(z)\mathrel {\stackrel {\text{def}{=}}\sum _{m=-\infit }^{\h[m]z^{-m}}}}}}}

매개 변수 z에만 의존한다.

$z^{n}$ z n ${\$ z $^{n}}$ 은(는) 시스템 응답이 상수 $H(z)$ ( $){\displaystyle H(z)}$ 의 입력 횟수와 같기 때문에 LTI 시스템의 고유 기능이다 $z^n$ $H(z)$

Z 및 이산 시간 푸리에 변환

지수들의 고유함수 속성은 LTI 시스템에 대한 분석과 통찰력 모두에 매우 유용하다. Z 변환

H(z)={\mathcal {Z}\{h[n]\}}=\sum _{n=-\n=\n=}^{n=-\n=\n=}^{n=-\n=}\n={n=\n=\n=\n=\n=}}}}}}}}}}}}}

임펄스 반응에서 고유값을 얻는 방법이 바로 그것이다.^{[clarification needed]} Of particular interest are pure sinusoids; i.e. exponentials of the form $e^{j\omega n}$ , where $\omega \in \mathbb {R}$ . These can also be written as $z^{n}$ with $z=e^{j\omega }$ ^{[clarification needed]}. 이산 시간 푸리에 변환(DTFT) $H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}$ $H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}$ ) $H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}$ = $H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}$ { h $H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}$ [ $H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}$ $H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}$ } $H(e^{j\omega }}={\mathcal {F}\{h[n]\}}}}}}}}}}$ 은(는) 순수 사인체의^{[clarification needed]} 고유값을 제공한다 $H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}$ . $H(z)$ ( $H(z)$ ) $H(z)$ 과 $H(z)$ $H(e^{j\omega })$ $H(e^{j\omega })$ $H(e^{j\omega })$ $H(e^{j\omega }}$ 모두 시스템 함수, 시스템 응답 또는 전송 함수라고 한다 $H(e^{j\omega })$ .

단측 라플라스 변환과 마찬가지로 Z 변환은 일반적으로 단측 신호, 즉 t<0의 경우 0인 신호의 맥락에서 사용된다. 주기적 신호 분석에 이산 시간 푸리에 변환 푸리에 시리즈를 사용할 수 있다.

이 두 변환의 콘볼루션 특성 때문에, 시스템의 출력을 주는 콘볼루션은 변환 영역의 곱셈으로 변환될 수 있다. 그것은

y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infit }^{m=n-m]x[m]={\mathcal{Z}^{-1}\{H(z)X(z)\}.

연속 시간 시스템 분석에서 라플라스 변환 전송 기능과 마찬가지로, Z 변환은 시스템을 보다 쉽게 분석하고 이들의 행동에 대한 통찰력을 얻을 수 있게 해준다.

예

LTI 연산자의 간단한 예는 지연 $D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]$ D $D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]$ { $D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]$ [ $D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]$ $D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]$ $D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]$ = $D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]$ x $D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]$ [ $D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]$ - $D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]$ $D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]$ $D\{x[n]\}\mathrel {\\stackrel{def}}}}}}{=} x[n-1]}}$ 이다 $D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]$
- $D\left(c_{1}\cdot x_{1}[n]+c_{2}\cdot x_{2}[n]\right)=c_{1}\cdot x_{1}[n-1]+c_{2}\cdot x_{2}[n-1]=c_{1}\cdot Dx_{1}[n]+c_{2}\cdot Dx_{2}[n]$ (i.e., it는 선형)
- ${\displaystyle D\\n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]==$ $D\{x\}[n-m]}($ 즉, 시간 불변)
지연 연산자의 Z 변환은 z에⁻¹ 의한 단순한 곱셈이다. 그것은

${\mathcal {Z}\왼쪽\{Dx[n]\right\}=z^{-1}X(z)$
${\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=z^{-1}X(z).$
또 다른 간단한 LTI 연산자는 평균 연산자다. ${\mathcal {A}\{x[n]\right\}\\mathrel {\stackrel {\text{def}}}}}}}}}\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k].$ 합계의 선형성 때문에 ${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)\\&=c_{1}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{2}}}[k]\\&=c_{1}{\mathcal {A}\좌측\{x_{1}[n]\우측\}+c_{2}}}{\mathcal{A}\왼쪽\{x_{2}[n]\right\},\end{arged}}}$ 그래서 그것은 선형이다. 왜냐하면, ${\begin{ligned}{\mathcal {A}\왼쪽\{x[n-m]\right\}=\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k-m]\\\&=\sum _{k'=(n-m)-a}^{(n-m)+a}x[k']\\&={\mathcal{A}\왼쪽\{x\오른쪽\}[n-m],\end{arged}}$ 그것은 또한 시간 불변이다.

중요한 시스템 속성

이산 시간 LTI 시스템의 입력-출력 특성은 충격 응답 h $h[n]$ [ $h[n]$ $h[n]$ $h[n]$ 에 의해 완전히 설명된다 $h[n]$ 시스템의 가장 중요한 두 가지 특성은 인과성과 안정성이다. 비주의(시간 내) 시스템은 위와 같이 정의·분석할 수 있지만, 실시간으로 실현될 수는 없다. 불안정한 시스템도 분석 및 구축이 가능하지만, 전체적인 전송 기능이 안정적인 대형 시스템의 일부로서만 유용하다.

인과성

이산 시간 LTI 시스템은 출력의 전류 값이 입력의 전류 값과 과거 값에만 의존하는 경우에 인과적이다.^[5] 인과관계의 필요하고도 충분한 조건은 다음과 같다.

h[n]=0\ \forall n<0,

여기서

h[n]

[

h[n]

h[n]

h[n]

은

h[n]

(는) 임펄스 반응이다. 역변환이 고유하지^{[dubious – discuss]} 않기 때문에 일반적으로 Z변환에서 인과관계를 판별하는 것은 불가능하다. 수렴 영역을 지정하면 인과관계를 파악할 수 있다.

안정성

시스템은 경계 입력, 경계 출력 안정(BIBO 안정적)이며, 만약 모든 경계 입력에 대해 출력이 유한한 경우. 수학적으로, 만약

\\displaystyle \x[n]\{\fty }}

라는 뜻을 내포함하다

\displaystyle \ y[n]\ _{\fty }<\fty }

(즉, 경계 입력이 경계 출력을 의미한다면 $,$ $x[n]$ [ $x[n]$ [ $n]$ 과 $y[n]$ [ $]$ 의 최대 절대값이 유한하다는 $y[n]$ 의미에서), 시스템은 안정적이다 $.$ 필요하고도 충분한 조건은 충격 반응인 $h[n]$ [ $h[n]$ $h[n]$ $h[n]$ 을(를) 만족하는 것이다.

\h[n]\{1}\mathrel {\stackrel {\def}{def}}}}\sum _{n=-\infit }^{\n]

주파수 영역에서 수렴 영역은 단위 원(즉, $|z|=1$ z의 경우 $|z|=1$ z $|z|=1$ = $|z|=1$ ${\displaystyle$ z $=1}$ 을 만족하는 위치)을 포함해야 한다.

메모들

^ Bessai, Horst J. (2005). MIMO Signals and Systems. Springer. pp. 27–28. ISBN 0-387-23488-8.
^ 헤스파냐 2009년 페이지 78.
^ 크러치필드, 페이지 1. 환영한다!
^ 크러치필드, 페이지 1. 운동
^ 필립스 2007, 페이지 508.

참고 항목

참조

Phillips, C.l., Parr, J.M., & Riskin, E.A (2007). Signals, systems and Transforms. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-041207-2.{{cite book}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)
Hespanha, J.P. (2009). Linear System Theory. Princeton university press. ISBN 978-0-691-14021-6.
Crutchfield, Steve (October 12, 2010), "The Joy of Convolution", Johns Hopkins University, retrieved November 21, 2010
Vaidyanathan, P. P.; Chen, T. (May 1995). "Role of anticausal inverses in multirate filter banks — Part I: system theoretic fundamentals" (PDF). IEEE Trans. Signal Process. 43 (6): 1090. Bibcode:1995ITSP...43.1090V. doi:10.1109/78.382395.

추가 읽기

Porat, Boaz (1997). A Course in Digital Signal Processing. New York: John Wiley. ISBN 978-0-471-14961-3.
Vaidyanathan, P. P.; Chen, T. (May 1995). "Role of anticausal inverses in multirate filter banks — Part I: system theoretic fundamentals" (PDF). IEEE Trans. Signal Process. 43 (5): 1090. Bibcode:1995ITSP...43.1090V. doi:10.1109/78.382395.

외부 링크

ECE 209: LTI 시스템으로서의 회로 검토 – (전기) LTI 시스템의 수학적 분석에 대한 짧은 프라이머.
ECE 209: 위상 시프트의 출처 – 두 개의 공통 전기 LTI 시스템에서 위상 시프트의 출처에 대한 직관적인 설명 제공.
JHU 520.214 신호 및 시스템 코스 노트 LTI 시스템 이론에 대한 캡슐화된 과정. 자기 교육에 적합하다.
LTI 시스템 예: RC 로우패스 필터. 진폭 및 위상 응답.

[Bessai_2005-1] Bessai, Horst J. (2005). MIMO Signals and Systems. Springer. pp. 27–28. ISBN 0-387-23488-8.

[2] 헤스파냐 2009년 페이지 78.

[3] 크러치필드, 페이지 1. 환영한다!

[4] 크러치필드, 페이지 1. 운동

[5] 필립스 2007, 페이지 508.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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개요

연속시간제

임펄스 반응과 경련

고유 기능으로 지수

직접증거

푸리에와 라플라스 변환

예

중요한 시스템 속성

인과성

안정성

이산 시간 시스템

연속 시간 시스템의 이산 시간 시스템

임펄스 반응과 경련

고유 기능으로 지수

Z 및 이산 시간 푸리에 변환

예

중요한 시스템 속성

인과성

안정성

메모들

참고 항목

참조

추가 읽기

외부 링크