수술정확순서

수학적 수술 이론에서 수술의 정확한 순서는 치수 $>4$ > $[\$ 디스플레이 $스타일 >4}$ 의 콤팩트 다지관의 수술 구조 세트를 계산하는 주요 기술적 도구다 $>4$ 콤팩트 $n$ $n$ -차원 $n$ $매니폴드$ X ${\displaystyle$ $X$ $}$ 의 ${\mathcal {S}}(X)$ 수술 구조 세트 ${\mathcal {S}}(X)$ ${\displaystyle {S}(X)$ 는 $X$ ${\displaystyle$ X $X$ 의 호모토피 유형 내에서 n ${\displaystystyle n}$ -dgate를 $n$ 분류하는 뾰족한 세트다 $X$ .

${\mathcal {S}}(X)$ 인 생각은 S ${\mathcal {S}}(X)$ ( X ${\mathcal {S}}(X)$ ) ${\mathcal{S}(X)$ 을(를) 계산하기 위해서는 일반적으로 ${\mathcal {S}}(X)$ 결정하기 쉬운 시퀀스의 다른 용어들을 이해하기에 충분하다는 것이다.이것들은 한 편으로는 일반화된 동족학 그룹을 형성하는 정상적인 불변제들이며, 따라서 적어도 원칙적으로는 그것들을 계산하기 위해 대수 위상의 표준 도구를 사용할 수 있다.반면에, 2차적 형태 또는 2차적 구조를 가진 체인 복합체 측면에서 대수적으로 정의되는 L-그룹도 있다.이 그룹들에 대해 많은 것이 알려져 있다.이 시퀀스의 또 다른 부분은 정상 불변기에서 L-그룹에 이르는 수술 방해 지도다.이러한 맵의 경우 특정 특성 클래스 수식이 있으며, 경우에 따라 이를 계산할 수 있다.이 세 가지 구성 요소, 즉 정상 지도, L-그룹 및 수술 방해 지도에 대한 지식은 구조 세트(최소한 연장 문제까지)를 결정하기에 충분하다.

실제로 각 매니폴드 ${\mathcal {}}X$ ${\mathcal{}X$ 에 대해 수술 순서를 정확하게 결정하는 것은 ${\mathcal {}}X$ 고유한 작업이며, 아래 예제를 참조하십시오.또한 우리가 함께 작업하는 다지관의 범주에 따라 수술 순서의 버전이 있다는 점에 유의하십시오. 매끄러운 $($ DIFF), PL 또는 위상학적 다지관, 그리고 Whitehead torsion을 고려하는지 여부(변형 $s$ {\ $h$ s} $또는$ h {\displaysty $h}).$

단순 연결 호모토피 타입 내의 다지관의 존재와 고유성에 관한 Browder와 Novikov의 1962년 원작은 수술의 정확한 순서로 설리번에 의해 개정되었다.1970년에 월은 비간단한 수술 이론과 임의의 기본 집단을 가진 다지관들에 대한 정확한 수술 순서를 개발했다.

정의

수술의 정확한 순서는 다음과 같이 정의된다.

\cdots \to {\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)\to L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))

여기서:

${\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)$ N ${\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)$ ${\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)$ I ${\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)$ ) ${\mathcal {N}_{\partial }(X\time I)$ 및 ${\mathcal {N}}(X)$ ${\mathcal{N}(X)$ 은 정규 불변수의 아벨 그룹이다 ${\mathcal {N}}(X)$ .

the entries ${\mathcal {}}L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ and ${\mathcal {}}L_{n}(\pi _{1}(X))$ are the L-groups associated to the group ring $\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]$ ,

the maps $\theta \colon {\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)\to L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ and $\theta \colon {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))$ are the surgery obstruction maps,

the arrows $\partial \colon L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)$ and $\eta \colon {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)$ will be explained below.

버전

정확한 수술 순서는 다양한 버전이 있다.다지관의 세 가지 범주, 즉 차별성(매끄러움), PL, 위상학적 범주에서 작업할 수 있다.또 다른 가능성은 장식 $s$ $s$ 또는 $s$ $h$ $h$ 을(를) 사용하는 것이다 $h$

출품작들

정상불변제

A degree one normal map $(f,b)\colon M\to X$ consists of the following data: an $n$ -dimensional oriented closed manifold $M$ , a map $f$ which is of degree one (that means $f_{*}([M])=[X]$ ),and a bundle map $b\colon TM\oplus \varepsilon ^{k}\to \xi$ from the stable tangent bundle of $M$ to some bundle $\xi$ over $X$ . Two such maps are equivalent if there exists a normal bordism between them (that means a bordism of the적절한 번들 데이터로 적용되는 출처).정도 1 정상 맵의 등가 등급을 정상 불변성이라고 한다.

When defined like this the normal invariants ${\mathcal {N}}(X)$ are just a pointed set, with the base point given by $(id,id)$ . However the Pontrjagin-Thom construction gives ${\mathcal {N}}(X)$ a structure of an abelian group.사실 우리는 자연적이지 않은 편견을 가지고 있다.

{\mathcal{N}(X)\cong [X, G/O]

여기서 $G/O$ / $G/O$ $G/O$ 는 지도 $J\colon BO\to BG$ : $J\colon BO\to BG$ $J\colon BO\to BG$ → $J\colon BO\to BG$ $J\colon BO\to BG$ ${\displaystyle J\colon BO\to BG$ 의 호모토피섬유를 의미하며 $G/O$ , 이는 무한 루프 공간이며, 따라서 그 안에 있는 지도는 일반화된 동호몰로지 이론을 정의한다.PL-매니폴드 작업 시 [X $[X,G/PL]$ , $[X,G/PL]$ G $[X,G/PL]$ / $[X,G/PL]$ $[X,G/PL]$ $[X,G/PL]$ ${\디스플레이$ 스타일 $[X, G/PL]$ 및 위상 다지관 작업 $[X,G/TOP]$ 시 $[X,G/TOP]$ [ $[X,G/TOP]$ $[X,G/TOP]$ O $[X,G/TOP]$ $[X,G/TOP]$ ${\디스플레이$ 스타일 $[X, G/TOP]$ 과 일치하는 식별이 있다.

L-그룹

$L$ $L$ - 그룹은 $L$ 2차 형태 또는 2차 구조를 가진 체인 복합체 측면에서 대수적으로 정의된다.자세한 내용은 기본 문서를 참조하십시오.여기서는 아래에 설명된 L-그룹 속성만 중요할 것이다.

수술방해지도

The map $\theta \colon {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))$ is in the first instance a set-theoretic map (that means not necessarily a homomorphism) with the following property (when $n\geq 5$ :

A degree one normal map $(f,b)\colon M\to X$ is normally cobordant to a homotopy equivalence if and only if the image $\theta (f,b)=0$ in $L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])$ .

정상 불변제 화살표 $\eta \colon {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)$ : $\eta \colon {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)$ ( $\eta \colon {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)$ ) $\eta \colon {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)$ → N $\eta \colon {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)$ ( $\eta \colon {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)$ ) $\eta \colon {\mathcal {S}(X)\to {\mathcal{N}(X)}$

$f\colon M\to X$ 호모토피 $f\colon M\to X$ f $f\colon M\to X$ : $f\colon M\to X$ M → $f\colon M\to X$ $f\colon M\to X$ 은 1도 정상지도를 정의한다 $f\colon M\to X$ .

수술방해 화살표 $\partial \colon L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)$ : L $\partial \colon L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)$ + $\partial \colon L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)$ ( $\partial \colon L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)$ $\partial \colon L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)$ ( $\partial \colon L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)$ ) $\partial \colon L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)$ → $\partial \colon L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)$ ( X ) $\partial \colon L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)$ → S ) $displaystyle \partial \colon L_{n+1$ }(\ $pi _{$ 1}( $X)\to {\mathcal$ {S $}(X)}$

이 화살표는 사실 단순한 $L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ 가 아닌 ${\mathcal {S}}(X)$ $L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ 세트 ${\mathcal {S}}(X)$ ( $L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ $){\displaystyle$ $L_{n+1}(\pi _$ ${1}(X))$ 그룹의 동작을 $L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ 한다 $L_{{n+1}}(\pi _{1}(X))$ .이 정의는 $L$ 과 같이 읽는 L $L$ - 그룹의 $L$ 요소에 대한 실현 정리에 기초한다.

Let $M$ be an $n$ -dimensional manifold with $\pi _{1}(M)\cong \pi _{1}(X)$ and let $x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ .그리고 경계가 있는 다지관의 정상 지도가 1도 있다.

[\displaystyle (F,B)\colon (W,M,M')\to (M\time I,M\time 0,M\time 1)}

다음 속성을 가진:

1. $\theta (F,B)=x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ ( $\theta (F,B)=x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ , B $\theta (F,B)=x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ ) $\theta (F,B)=x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ = $\theta (F,B)=x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ $\theta (F,B)=x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ $\theta (F,B)=x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ $\theta (F,B)=x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ + 1 $\theta (F,B)=x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ ( $\theta (F,B)=x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ $\theta (F,B)=x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ ( $\theta (F,B)=x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ ) {\ $displaystyle \theta$ ( $F,B)=x\in L_{$ n+ $1}(\pi _$ {1}(X $)})}$

2. $F_{0}\colon M\to M\times 0$ $F_{0}\colon M\to M\times 0$ : M $F_{0}\colon M\to M\times 0$ → $F_{0}\colon M\to M\times 0$ $F_{0}\colon M\to M\times 0$ 0 ${\displaystyle F_{0}\colon M\to M\time$ 0 $}$ 은 차이점형이다 $F_{0}\colon M\to M\times 0$ .

3. $F_{1}\colon M'\to M\times 1$ 1 $F_{1}\colon M'\to M\times 1$ : $F_{1}\colon M'\to M\times 1$ $F_{1}\colon M'\to M\times 1$ → $F_{1}\colon M'\to M\times 1$ $F_{1}\colon M'\to M\times 1$ 1 $F_{1}\colon M'\to M\time 1$ 은 폐쇄 $F_{1}\colon M'\to M\times 1$ 다지관의 호모토피 동등함

Let $f\colon M\to X$ : $f\colon M\to X$ → $f\colon M\to X$ ${\displaystyle f\colon M\to$ X $}$ 은(는 $x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ ${\mathcal {S}}(X)$ ( $){\displaystyle {\mathcal{S}}}}}$ 의 요소를 나타내고 $f\colon M\to X$ ${\mathcal {S}}(X)$ , $x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ $x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ + $x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ ( $x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ (는) {\ $displaystystyle x\in L_{n+1}(X)$ 로 한다 $x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ 그러면 $\partial (f,x)$ ∂ $\partial (f,x)$ ( $\partial (f,x)$ , x $\partial (f,x)$ ) $\partial (f,x)$ 은(는) $f\circ F_{1}\colon M'\to X$ f $f\circ F_{1}\colon M'\to X$ 1 $f\circ F_{1}\colon M'\to X$ : $f\circ F_{1}\colon M'\to X$ $f\circ F_{1}\colon M'\to X$ → $f\circ F_{1}\colon M'\to X$ ${\displaystyle f\circle F_{1}\colon$ M $'\to X}$ 로 정의된다 $\partial (f,x)$ $f\circ F_{1}\colon M'\to X$

정확성

수술 구조 세트가 뾰족한 세트일 뿐이고 수술 방해 지도 $\theta}$ 이(가) 동형성이 아닐 수 있음을 $\theta$ 상기하라.따라서 "정확한 순서"에 대해 말할 때 무엇을 의미하는지 설명할 필요가 있다.그래서 수술의 정확한 순서는 다음과 같은 의미에서 정확한 순서가 된다.

For a normal invariant $z\in {\mathcal {N}}(X)$ we have $z\in \mathrm {Im} (\eta )$ if and only if $\theta (z)=0$ . For two manifold structures $x_{1},x_{2}\in {\mathcal {S}}(X)$ we have $\eta (x_{1})=\eta (x_{2})$ if and only if there exists $u\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ such that $\partial (u,x_{1})=x_{2}$ . For an element ${\displaystyle$ $u$ $u\in \mathrm {Im} (\theta )$ $in L_{n+1}(\pi _{1}(X)})$ $\partial (u,\mathrm {id} )=\mathrm {id}$ $\partial (u,\mathrm {id} )=\mathrm {id}$ $\partial (u,\mathrm {id} )=\mathrm {id}$ ) $\partial (u,\mathrm {id} )=\mathrm {id}$ = $\partial (u,\mathrm {id} )=\mathrm {id}$ $\partial (u,\mathrm {id} )=\mathrm {id}$ ${\$ 디스플레이style $\partial($ $u\in \mathrm {Im} (\theta )$ ,\ $mathrm$ {id $}$ $)=\$ $mathrm$ { $im$ $}(\$ $displaysty u\in \mathrmit$

다시 방문한 버전

위상학 범주에서 수술 방해 지도가 동형성으로 만들어질 수 있다.이것은 여기서 설명한 정상적인 불변제 위에 대안적인 아벨 그룹 구조를 놓음으로써 달성된다.더욱이 수술의 정확한 순서는 정의상 아벨 그룹들의 정확한 순서인 라니키의 대수적 수술의 정확한 순서와 구별할 수 있다.이것은 구조 세트 ${\mathcal {S}}(X)$ ( $){\displaystyle {\mathcal {S}(X)}$ 아벨리아 그룹의 구조를 ${\mathcal {S}}(X)$ 제공한다.그러나 이 아벨 그룹 구조에 대한 만족스러운 기하학적 설명은 현재까지 존재하지 않는다는 점에 유의한다.

다지관 분류

수술 이론의 조직적인 질문에 대한 답은 수술의 정확한 순서에 따라 공식화될 수 있다.두 경우 모두 2단계 방해 이론의 형태로 해답을 제시한다.

존재의 문제. $X$ $X$ 을(를) 유한한 푸앵카레 콤플렉스가 되게 $X$ 하라.다음 두 조건이 충족되는 경우에만 다지관과 동등한 호모토피다.첫째, $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 은(는) Spivak 일반 진동의 벡터 번들을 줄여야 한다 $X$ .이 조건은 정상 불변제 ${\mathcal {N}}(X)$ ( $){\displaystyle {\mathcal{{N}(X)}$ 의 집합이 ${\mathcal {N}}(X)$ 비어 있지 않다고 말하는 것으로도 공식화할 수 있다.Secondly, there must be a normal invariant $x\in {\mathcal {N}}(X)$ such that $\theta (x)=0$ . Equivalently, the surgery obstruction map $\theta \colon {\mathcal {N}}(X)\rightarrow L_{n}(\pi _{1}(X))$ hits $0\in L_{n}(\pi _{1}(X))$ $0\in L_{n}(\pi _{1}(X))$ $0\in L_{n}(\pi _{1}(X))$ $0\in L_{n}(\pi _{1}(X))$ ( $0\in L_{n}(\pi _{1}(X))$ $0\in L_{n}(\pi _{1}(X))$ ( X $0\in L_{n}(\pi _{1}(X))$ ) $0\in L_{n}(\pi _{1}(X)})$ .

유니크한 질문. $f\colon M\to X$ f $f\colon M\to X$ : $f\colon M\to X$ → X ${\displaystyle f\colon M\to$ X $}$ 및 $f\colon M\to X$ $f'\colon M'\to X$ $f'\colon M'\to X$ : $f'\colon M'\to X$ $f'\colon M'\to X$ → X ${\displaystyle$ f $'\colon$ M $'\to$ X $}$ 은 ${\mathcal {S}}(X)$ 구조 세트 S ( $){\displaystystyle {\S}(X)$ 의 두 요소를 나타낸다 $f'\colon M'\to X$ ${\mathcal {S}}(X)$ 그것들이 같은 요소를 나타내는가 하는 문제는 다음과 같이 두 단계로 나누어 답할 수 있다.First there must be a normal cobordism between the degree one normal maps induced by ${\mathcal {}}f$ and ${\mathcal {}}f'$ , this means ${\mathcal {}}\eta (f)=\eta (f')$ in ${\mathcal {N}}(X)$ . Denote the normal cobordism $(F,B)\colon (W,M,M')\to (X\times I,X\times 0,X\times 1)$ . If the surgery obstruction ${\mathcal {}}\theta (F,B)$ in ${\mathcal {}}L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ to make경계에 상대적인 h-선행성(또는 s-선행성)에 대한 이러한 정상적 교보주의는 ${\mathcal {}}f$ f ${\displaystyle{\mathcal{}f}$ 와 ${\mathcal {}}f$ ${\mathcal {}}f'$ ${\mathcal {}}f'$ ${\$ 는 ${\mathcal {}}f'$ 실제로 수술 구조 세트에서 동일한 요소를 나타낸다.

퀸 수술 진동

프랭크 퀸은 브라우더의 지도 아래 작성한 논문에서 긴 수술의 정확한 순서가 호모토피 그룹에 유도된 순서가 되도록 섬유질 시퀀스를 도입했다.^[1]

예

1. 호모토피 구

이것은 부드러운 범주 n $n\geq 5$ $n\geq 5$ 의 예다 $n\geq 5$

수술의 정확한 순서에 대한 생각은 이미 호모토피 구들의 그룹에 관한 케르베어와 밀노르의 원문에 암묵적으로 나타나 있다.현재의 용어로는

{\mathcal{S}^{DIFF}(S^{n})=\테타 ^{n}

${\mathcal {N}}^{DIFF}(S^{n})=\Omega _{n}^{alm}$ the cobordism group of almost framed $n$ manifolds, ${\mathcal {N}}_{\partial }^{DIFF}(S^{n}\times I)=\Omega _{n+1}^{alm}$

$L_{n}(1)=\mathbb {Z} ,0,\mathbb {Z} _{2},0$ where $n\equiv 0,1,2,3$ mod $4$ (recall the $4$ -periodicity of the L-groups)

이 경우 수술의 정확한 순서는 아벨 그룹들의 정확한 순서다.위와 같은 신분증 외에 우리가 가지고 있는 것은

$bP^{n+1}=\mathrm {ker}(\eta \colon {\mathcal {S}^{DIFF})(S^{n})에 {\mathcal {N}{DIFF}(S^{n})로)=\mathrm {coker}(\theta \colon {\mathcal {N}_{\partial }^{DIFF}(S^{n}\time I)\to L_{n+1}(1)$

홀수차원 L 그룹은 사소한 것이기 때문에 다음과 같은 정확한 순서를 얻는다.

\displaystyle 0\to \to \to \to \Theta ^{4i}\to \Oba _{4i}\to 0} \p^{4i}\to 0}

\displaystyle 0\to \to \to \theta ^{4i-2}\to \mathb {Z} /2\to bP^{4i-2}\to 0}

0\to bP^{2j}\to \to \theta ^{2j-1}\to \Oomega_{2j-1}^{alm}\to 0

케르베어와 밀노르의 결과는 처음 두 시퀀스의 중간 지도를 연구하고 그룹 $\Omega _{i}^{alm}$ i $\Omega _{i}^{alm}$ l $\Omega _{i}^{alm}$ ${\$ 을 안정적인 호모토피 이론에 $\Omega _{i}^{alm}$ 연관시켜 얻는다.

2. 위상학구

차원 $n$ $n$ 에서 일반화된 푸앵카레 추측은 ${\mathcal {S}}^{TOP}(S^{n})=0$ T ${\mathcal {S}}^{TOP}(S^{n})=0$ ${\mathcal {S}}^{TOP}(S^{n})=0$ n ${\mathcal {S}}^{TOP}(S^{n})=0$ ) ${\mathcal {S}}^{TOP}(S^{n})=0$ = 0 ${\mathcal{S}^{TOP}(S^{n})=0$ 라고 말하는 것으로 표현할 $n$ 수 있다 ${\mathcal {S}}^{TOP}(S^{n})=0$ smale, Freedman, Perel의 연구로 어떤 $n$ n ${\disstysty$ n}에 $대해서도$ 입증되었다.위상학 $n\geq 5$ 에서 $n\geq 5$ $S^{n}$ $n\geq 5$ ${\$ $displaystyle S$ $^{n$ $}$ 에 대한 $S^{n}$ 정확한 수술 순서로부터 우리는 다음을 확인할 수 있다 $.$

\theta \colon {\mathcal{N}^{TOP}(S^{n})\to L_{n}(1)

이소모르프다.(사실 일부 애드호크 방법에 의해 $n\geq 1$ $n\geq 1$ $n\geq 1$ $n\geq 1$ ${\displaystyle n\geq$ 1 $}$ 까지 확장할 수 있다.)

3. 위상학 범주에서 복잡한 투영 공간

The complex projective space $\mathbb {C} P^{n}$ is a $(2n)$ -dimensional topological manifold with $\pi _{1}(\mathbb {C} P^{n})=1$ . In addition it is known that in the case $\pi _{1}(X)=1$ in the위상학적 범주. 수술 방해 지도 $\theta$ $\theta$ 은(는) 항상 굴절적이다 $\theta$ .그래서 우리는

0\to {\mathcal {S}^{TOP}(\mathb {C}P^{n})\\mathcal {N}^{TOP}(\mathb {C}P^{n})\to L_{2n(1)~0

설리반의 작업으로 계산해 보면

{\mathcal {N}}(\mathbb {C} P^{n})\cong \oplus _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }\mathbb {Z} \oplus \oplus _{i=1}^{\lfloor (n+1)/2\rfloor }\mathbb {Z} _{2}

and hence

{\mathcal {S}}(\mathbb {C} P^{n})\cong \oplus _{i=1}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\mathbb {Z} \oplus \oplus _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }\mathbb {Z} _{2}

{\mathcal {S}}(\mathbb {C} P^{n})\cong \oplus _{i=1}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\mathbb {Z} \oplus \oplus _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }\mathbb {Z} _{2}

4. 위상학 범주 내 비구상 다지관

An aspherical $n$ -dimensional manifold $X$ is an $n$ -manifold such that $\pi _{i}(X)=0$ for $i\geq 2$ . Hence the only non-trivial homotopy group is $\pi _{1}(X)$

보렐 추측을 진술하는 한 가지 방법은 $그러한$ X $Wh(\pi _{1}(X))$ $X$ $Wh(\pi _{1}(X))$ 에 $X$ 대해 Whitehead 그룹 $Wh(\pi _{1}(X))$ $Wh(\pi _{1}(X))$ (1 ( X ) ${\displaysty Wh$ (\ $pi$ _{ $1}($ 는 사소한 것이며 $Wh(\pi _{1}(X))$ 다음과 같이 말하는 것이다.

{\mathcal{S}(X)=0

이러한 추측은 많은 특별한 경우에서 입증되었다. 예를 들어 $\pi _{1}(X)$ $\pi _{1}(X)$ ( $\pi _{1}(X)$ X $\pi _{1}(X)$ ) ${\displaystyle$ $\$ $pi _{1}(X)}$ 이 $\pi _{1}(X)$ (가) $\mathbb {Z} ^{n}$ n ${\$ \ $mathb{Z}$ 이 음극 곡선 다지체의 기본 그룹이거나 단어-hyperb 그룹인 경우.

이 진술은 수술구조 세트 오른쪽의 수술방해 지도가 주입식이고 수술구조 세트 왼쪽의 수술방해 지도가 처절하다는 것을 보여주는 것과 맞먹는다.위에서 언급한 결과의 증명 대부분은 이러한 지도를 연구하거나, 그 결과를 확인할 수 있는 조립 지도를 연구함으로써 이루어진다.자세한 내용은 보렐 추측, 패럴 존스 추측에서 확인하십시오.

참조

^ Quinn, Frank (1971), A geomeric formulation of surgery (PDF), Topology of Manifolds, Proc. Univ. Georgia 1969, 500-511 (1971)

Browder, William (1972), Surgery on simply-connected manifolds, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0358813
Lück, Wolfgang (2002), A basic introduction to surgery theory (PDF), ICTP Lecture Notes Series 9, Band 1, of the school "High-dimensional manifold theory" in Trieste, May/June 2001, Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics, Trieste 1-224
Ranicki, Andrew (1992), Algebraic L-theory and topological manifolds (PDF), Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 102, Cambridge University Press
Ranicki, Andrew (2002), Algebraic and Geometric Surgery (PDF), Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0, MR 2061749
Wall, C. T. C. (1999), Surgery on compact manifolds, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 69 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0942-6, MR 1687388

[1] Quinn, Frank (1971), A geomeric formulation of surgery (PDF), Topology of Manifolds, Proc. Univ. Georgia 1969, 500-511 (1971)

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