디리클레트의 산술 진행 정리

수 이론에서 디리클레 프라임 수 정리라고도 불리는 디리클레의 정리에는 어떤 두 개의 양성복사 정수 a와 d의 경우, a+nd 형태의 소수점이 무한히 많으며, 여기서 n도 양의 정수라고 명시되어 있다. 다시 말해, 모듈로 d에 합치되는 프리임이 무한히 많다. a + nd 형식의 숫자 및 산술 연속형

\daystyle a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d,\\\}

그리고 디리클레트의 정리에는 이 수열이 무한히 많은 소수들을 포함하고 있다고 명시되어 있다. 피터 구스타프 르주네 디리클레트의 이름을 딴 이 정리는 유클리드(유클리드)의 정리를 확장시켜 주는데, 유클리드(유클리드)는 소수들이 무한히 많다는 것이다. 더 강한 형태의 디리클레 정리에서는 그러한 산술적 진행에 대해, 진행 변화에서 소수들의 왕복수의 합과 같은 계수를 가진 다른 산술적 진행은 대략 같은 비율의 소수임을 명시한다. 균등하게, 프리타임은 a의 coprime to d를 포함하는 조합 클래스 modulo d 사이에서 균등하게 분포한다(비교적으로).

예

4n + 3 형식의 소수점은 (OEIS에서 순차 A002145)이다.

3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283, ...

이 값은 n의 다음 값에 해당된다. (OEIS의 순서 A095278)

0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95, ...

디리클레트의 정리의 강한 형태는 다음을 함축하고 있다.

{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{47}}+{\frac {1}{59}}+{\frac {1}{67}}+\cdots

서로 다른 시리즈야

n = 0으로 시작한다면, 홀수 d를 가진 시퀀스 dn + a는 절반의 숫자가 짝수이고 나머지 절반은 2d를 가진 시퀀스와 같은 숫자이기 때문에 종종 무시된다. 예를 들어, 6n + 1은 3n + 1과 동일한 프리마임을 생성하는 반면, 6n + 5는 짝수 프라임 2를 제외하고 3n + 2와 동일한 프리마임을 생성한다. 다음 표에는 소수점 이하가 무한히 많은 몇 개의 산술 진행과 그 각각에서 처음 몇 개의 진행 과정이 나열되어 있다.


산술 진행시키다	무한히 많은 프라임의 처음 10개	OEIS 시퀀스
2n + 1	3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …	A065091
4n + 1	5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, …	A002144
4n + 3	3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, …	A002145
6n + 1	7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, …	A002476
6n + 5	5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, …	A007528
8n + 1	17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193, 233, 241, …	A007519
8n + 3	3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107, 131, 139, …	A007520
8n + 5	5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149, 157, …	A007521
8n + 7	7, 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151, 167, …	A007522
10n + 1	11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, …	A030430
10n + 3	3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, 103, 113, 163, …	A030431
10n + 7	7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157, …	A030432
10n + 9	19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, …	A030433
12n + 1	13, 37, 61, 73, 97, 109, 157, 181, 193, 229, ...	A068228
12n + 5	5, 17, 29, 41, 53, 89, 101, 113, 137, 149, ...	A040117
12n + 7	7, 19, 31, 43, 67, 79, 103, 127, 139, 151, ...	A068229
12n + 11	11, 23, 47, 59, 71, 83, 107, 131, 167, 179, ...	A068231

분배

프라임은 평균적으로 프라임 수 정리에 따라 얇아지기 때문에, 산술 진행의 프라임도 마찬가지여야 한다. 주어진 d 값에 대한 다양한 산술 진행률 사이에 소수들이 공유되는 방식에 대해 질문하는 것은 당연하다(기본적으로 거의 모든 조건을 공유하는 두 진행률을 구분하지 않으면 d가 있다). 답은 이 형식에서 주어진다: 실행 가능한 진행률 modulo d - a와 d가 공통 인자 1을 가지고 있지 않은 진행률 modulo d - 는 오일러의 총함수에 의해 주어진다.

\d 디스플레이 스타일 \varphi(d).\ }

또한, 각각의 프라임의 비율은 다음과 같은 것이다.

{\frac {1}{\varphi(d)}}.\

예를 들어, d가 prime number q인 경우, 각 Q - 1 진행

q+1,2q+1,3q+1\properties \

q+2,2q+2,3q+2\properties \

\displaystyle \cHB \ }

q+q-1,2q+q-1,3q+q-1\properties \

( $q,2q,3q,\dots \$ , $q,2q,3q,\dots \$ $q,2q,3q,\dots \$ , $q,2q,3q,\dots \$ $q,2q,3q,\dots \$ , $q,2q,3q,\dots \$ … ${\$ 제외 $q,2q,3q,\dots \$

프리임의 1/(q - 1)을 포함한다.

서로 비교했을 때, 2차 비재배 잔여물이 있는 진행률은 일반적으로 2차 잔류물이 있는 진행률(체비셰프의 치우침)보다 약간 더 많은 원소를 갖는다.

역사

1737년 오일러는 프라임 숫자의 연구를 리만 제타 함수로 알려진 것과 연관시켰다. $\zeta (1)$ ( $\zeta (1)$ ) ${\displaystyle \zeta ($ 1 $)$ 값은 모든 프라임 p에 대해 π p / π (p–1)라는 두 가지 무한 제품의 비율로 감소하고 $\zeta (1)$ 그 비율은 무한하다는 것을 보여주었다.^[1]^[2] 1775년에 오일러는 a = 1인 + nd의 경우에 대한 정리를 기술했다.^[3] 디리클레트의 정리의 이 특별한 경우는 사이클로토믹 다항식을 사용하여 증명할 수 있다.^[4] 이 정리의 일반적인 형태는 가우스가 그의 디스퀴지스 산수화에서^[6] 지적한 바와 같이, 레전드르에 의해 처음으로 그의 시도에서 실패한 2차 상호주의^[5] 증명에서 추측되었지만 디리클레 (1837)에 의해 디리클레 L 시리즈로 증명되었다. 이 증거는 오일러의 초기 연구를 바탕으로 리만 제타 기능과 프라임 분포에 관한 것을 본떠서 만든 것이다. 그 정리는 엄격한 분석수 이론의 시작을 나타낸다.

Atle Selberg(1949)는 기초적인 증거를 제시했다.

증명

디리클레의 정리는 1에서 디리클레 L-함수(비종교적 성격의)의 값이 0이 아니라는 것을 보여줌으로써 증명된다. 이 진술의 증명에는 약간의 미적분학 및 분석적 숫자 이론이 필요하다(세레 1973). 특히 a = 1(즉, 1 modulo 일부 n에 해당하는 prime에 관한 것)은 미적분학을 사용하지 않고 사이클로토모틱 확장 시 primes의 분할 동작을 분석하여 증명할 수 있다(Neukirch 1999, §VII.6).

일반화

부냐코프스키의 추측은 디리클레트의 정리를 상위 다항식으로 일반화한다. x² + 1과 같은 단순한 2차 다항식(Landau의 네 번째 문제에서 알 수 있음)도 무한히 많은 프라임 값을 얻는지 여부는 중요한 개방적인 문제다.

딕슨의 추측은 디리클레트의 정리를 둘 이상의 다항식으로 일반화한다.

Schinzel의 가설 H는 이 두 가지 추측을 일반화한다. 즉, 한 개 이상의 다항식으로 일반화한다.

대수적 수 이론에서 디리클레트의 정리는 체보타레프의 밀도 정리로 일반화된다.

린닉의 정리(1944)는 주어진 산술적 진행에서 가장 작은 프라임의 크기에 관한 것이다. Linnik는 진행 a + nd (n이 양의 정수를 통과하는 범위로서)가 절대 상수 c와 L에 대한 최대 cd의^L 크기 원수를 포함하고 있음을 증명했다. 후속 연구자들은 L을 5로 줄였다.

디리클레의 정리의 아날로그는 역동적인 시스템(T. Sunada와 A)의 틀에 들어 있다. 카츠다, 1990년).

시우는 디리클레의 정리 가설을 만족시키는 산술적 추이라면 사실상 임의로 긴 연속 소수들의 연속적인 연속적인 연속적인 런을 포함할 것이라는 것을 보여주었다.^[7]

참고 항목

메모들

^ Euler, Leonhard (1737). "Variae observationes circa series infinitas" [Various observations about infinite series]. Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 9: 160–188. ; 구체적으로, 172-174페이지의 이론 7.
^ 샌디퍼, C. 에드워드, 레온하르트 오일러의 초기 수학 (워싱턴 D.C.: 미국 수학 협회, 2007), 페이지 253.
^ Leonhard Euler, "De summa seriei ex numeris primis formatae 1/3 - 1/5 + 1/7 + 1/11 - 1/13 - 1/17 + 1/19 + 1/23 - 1/29 + 1/31 etc. ubi numeri primi formae 4n – 1 habent signum positivum, formae autem 4n + 1 signum negativum" (On the sum of series [composed] of prime numbers arranged 1/3 - 1/5 + 1/7 + 1/11 - 1/13 - 1/17 + 1/19 + 1/23 - 1/29 + 1/31 etc. 여기서 4n – 1 형식의 소수에는 양의 부호가 있는 반면, 4n + 1 형식의 소수에는 음의 부호가 있는 경우: Leonhard Euler, Opuscula Analytica(St. 러시아 페테르부르크: 제국과학원, 1785), 제2, 페이지 240–256; 페이지 241 참조. From p. 241: "Quoniam porro numeri primi praeter binarium quasi a natura in duas classes distinguuntur, prouti fuerint vel formae 4n + 1, vel formae 4n - 1, dum priores omnes sunt summae duorum quadratorum, posteriores vero ab hac proprietate penitus excluduntur: series reciprocae ex utraque classes formatae, scillicet: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + 등 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + 등 암바에 에르문트 파리터 infinitae, id quod etiam de 옴니버스 스펙티버스 숫자 primorum est tenendum. Ita si ex numeris primis ii tantum excerpantur, qui sunt formae 100n + 1, cuiusmodi sunt 101, 401, 601, 701, etc., non solum multitudo eorum est infinita, sed etiam summa huius seriei ex illis formatae, scillicet: 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + etc. 에스티엄 에스트 인피니타."(더 나아가서, 2보다 큰 소수들은 마치 자연에 의해 4n + 1형식이나 4n - 1형식 중 하나였던 것처럼 마치 2개 등급으로 나뉘는데, 첫 번째 숫자는 모두 2개의 제곱의 합이지만, 후자는 완전히 이 속성에서 제외된다: 두 등급에서 형성된 상호계열: 1/5 + + + + 1이다. 1/13 + 1/17 + 1/29 + 등 및 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + 등 두 가지 모두 똑같이 무한할 것이며, 이는 모든 종류의 프라임 수에서 얻을 수 있는 것이다. Thus, if there be chosen from the prime numbers only those that are of the form 100n + 1, of which kind are 101, 401, 601, 701, etc., not only the set of these is infinite, but likewise the sum of the series formed from that [set], namely: 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + etc. 마찬가지로 무한하다.)
^ Neukirch(1999), §I.10, 연습 1.
^
참조:
- Le Gendre(1785) "Recherches d'analyse indéterminée"(중간 분석의 연구), Histoire de l'Academique et strategy, avec les mémoire de mathématique et stritality, 페이지 465–559; 특히 p.552를 참조. 552쪽부터: "34. 레마케.위원장 seroit peut-être nécessaire 드 démontrer rigoureusement une을 선택했다 께nous avons supposée dans plusieurs endroits 드 cet 기사, savoir, qu'il yune infinité 드 nombres 총리 compris danstous 추이 arithmétique고, 이, 이유 sont 총리, entr'eux 프리미어 terme 및 르 해석,ce기revient 에 même, dans 라formule 2mx+μ, lorsque.2m & μnont point de communiser. Cett 명제 esst assez difficile a demonetrer, peut s'assurer qu'elle est vraie, en comparant la 진행 arithmétique don't sagit, ab la 진행 orquinire 1, 3, 5, 7, &c.Siprendun 웅장하세요 de termes 드ces 진행에, 르même dans도 deux,&qu'on 그리고 처리, 예컨대, verraqu'en omettant에 드 manière que 르 플러스 그랜드 terme,égal 및 soit 아 라même 곳 일부&d'autre, 드 드chaque côté 그리고 배수 드 3,5,7,&cjusqu'àun 특정 놈브르 총리 p, ildoit 레스터(deux côtés. 르même하세요 de termes, ou meme en restera moins dans la progress 1, 3, 5, 7, &c. Mais comme dans celle-ci, Il reste nécurement des nombres premier, Il doit rester aussi dans l'autre."(34) 말하다. 2m와 μ에 com이 없는 2mx + μs 공식에 초기와 공통의 차이가 있는 모든 산술 진행에 포함된 소수 정수의 부정도가 있다는 것, 즉 2mx + μs에 포함된다는 것을 이 글의 여러 곳에서 가정한 것을 엄격하게 증명하는 것이 아마도 필요할 것이다.천하무적 이 명제는 다소 증명하기 어렵지만, 그것이 사실이라고 확신할 수 있는 것은 고려되는 산술적 추이를 보통 진행 1, 3, 5, 7 등과 비교하는 것이다. 만일 한 사람이 이러한 진보를 두 가지 면에서 모두 같은 [수]의 용어를 많이 취한다면, 그리고 예를 들어, 가장 큰 항이 동일한 방식으로, 그리고 두 항 모두에서 같은 위치에 배열한다면, 각각 3, 5, 7 등의 배수를 생략함으로써 특정 소수 p까지 동일한 n에 있어야 한다는 것을 알게 될 것이다.불확실한 용어 또는 심지어 진행 1, 3, 5, 7 등에서 더 적은 수의 용어들이 남아 있을 것이다. 그러나 이 [세트]에서와 같이 소수만이 남아 있어야 하며, 다른 [세트]에서도 일부 남아 있어야 한다.
- A. M. Legendre, Essai sur la Théory des Nombres(프랑스 파리: Duprat, 1798), 소개 페이지 9-16. 12페이지부터: "XIX. … En général, unnombre donné doelconque, tout nombre는 peut étre reprsenté par la formule 4ax ± b, Dans laquelle b et moindre que 2a. Si parmi tous les valeurs possibles de b on retranche celles qui ont un commun diviseur avec a, les formes restantes 4ax ± b comprendront tous les nombres premiers partagé, … " (XIX. … In general, a being any given number, all odd numbers can be represented by the formula 4ax ± b, in which b is odd and less than 2a. 만약 b의 가능한 모든 값들 중에서 a와 함께 공통의 구분자를 갖는 값들을 제거한다면, 나머지 공식 4ax ± b는 그들 사이의 모든 소수들을 포함한다. … )
- A. M. Legendre, Essai sur la Théory des Nombres, 2부작(프랑스 파리: 쿠르시어, 1808), 페이지 404. 페이지의 주부터 404:– Cquelconque"Soit donnéeune 추이 arithmétique, 2A– C, 3A – C등, dans laquelle 여타 Csont 총리 entre eux, soit donnée aussiune 스위트 룸 θ, λ,μ. 깨지ψ, ω, composée 드 k nombres 총리 인지,pris 아 volontéappelle 앙 무대 감독 π(z)에(disposés dans 주문 quelconque, 시 르zième terme 드 라 suite naturelle 데. nombr에스 총리 3,5,7,11, 등,je 경멸하다 que 제공하는 π(k-1)termes consécutifs 드 라 추이 proposée, il y무늬의 분위기 에 moins는지 나타나기ne 혈청 가분 파 aucun 데 nombres 총리 θ, λ,μ. 깨지ψ, ω."(자가 제공 받게 된 연산 수열 A– C, 2A– C, 3A – C등에서 A, C공히 총리 사이에서 자신[즉, coprime],자 거기에 있을 풋풋하다.nals아 시리즈 θ, λ,μ. 깨지ψ, ω 구성돼 k이상한 소수, 찍은 사진에서 의지와 준비에 어떤 순서 하나 부르는 것에서 일반 π(z)은zth 용어의 자연 시리즈의 숫자 3,5,7,11, 등, 나는 주장한다는 사이의 π(k-1)연속 조건의 제안된 추이가 있을 것이다 적어도 한명의 그들 부족한 것이 되게 나눌으로 갖기그는 총리 n탯줄 θ, μ, … …, Ω). 이 주장은 1858년 안타나세 루이 뒤프레(1808-1869)에 의해 거짓으로 판명되었다. 참조:
- 뒤프레, A. (1859) 아서펜 던 제안 드 레전드르 친척 아 라 트로리 데 노름 [숫자 이론에 관한 레전드르 명제의 검토] (프랑스 파리: 말레 바첼리에르, 1859년)
- 나르키에비치, 브와디스와프, 프라임 수 이론의 발전: 유클리드로부터 하디와 리틀우드로 (베를린: 스프링거, 2000); 특히 페이지 50을 참조한다.
^ 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss, Discquisitiones accountae, Leipzig, (독일): Gerhard Fleischer, 1801년), 섹션 297, 페이지 507–508. 507–508페이지부터: "Ill. Le Gendre ipse fatetur, demonstrationem theorematis, sub tali forma kt + l, designantibus k, l numeros inter se primos datos, t indefinitum, certo contineri numeros primos, satis difficilem videri, methodumque obiter addigitat, quae forsan illuc conducere possit; multae vero disquisitiones praeliminares necessariae nobis videntur, antequam hacce quidem via ad demonstrationem rigorosam pervenire liceat." (The illustrious Le Gendre himself admits [that] the proof of the theorem — [namely, that] among [integers of] the form kt + l, [where] k and l denote given integers [that are] prime among themselves [i.e., coprime] [and] t denotes a variable, surely prime numbers are contained — seems diff충분히, 그리고 우연하게도, 그는 그것을 야기시킬 수 있는 방법을 지적한다. 그러나, 많은 예비적이고 필요한 조사들이 이 [추측]이 실제로 엄격한 증거의 길에 도달하기 전에 우리에 의해 [예] 목격된다.)
^ Shiu, D. K. L. (2000). "Strings of congruent primes". J. London Math. Soc. 61 (2): 359–373. doi:10.1112/s0024610799007863.

참조

Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
Weisstein, Eric W. "Dirichlet's Theorem". MathWorld.
Chris Caldwell, Prime Pages의 "Dirichlet's Organization in Mathical Progressions".
Dirichlet, P. G. L. (1837), "Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält" [Proof of the theorem that every unbounded arithmetic progression, whose first term and common difference are integers without common factors, contains infinitely many prime numbers], Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 48: 45–71
Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic number theory. Translated from the 1992 German original and with a note by Norbert Schappacher, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-65399-6, MR 1697859, Zbl 0956.11021.
Selberg, Atle (1949), "An elementary proof of Dirichlet's theorem about primes in an arithmetic progression", Annals of Mathematics, 50 (2): 297–304, doi:10.2307/1969454, JSTOR 1969454, Zbl 0036.30603.
Serre, Jean-Pierre (1973), A course in arithmetic, Graduate Texts in Mathematics, vol. 7, New York; Heidelberg; Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90040-3, Zbl 0256.12001.
Sunada, Toshikazu; Katsuda, Atsushi (1990), "Closed orbits in homology classes", Publ. Math. IHES, 71: 5–32, doi:10.1007/BF02699875, S2CID 26251216.

외부 링크

독일어 원서 스캔
디리클레: arXiv에서 원서 번역본의 초기와 차이와 함께 모든 산술 진보에는 무한히 많은 프라임 숫자가 있다.
Jay Wrendorff에 의한 Dirichlet's Organization, Wolfram 데모 프로젝트.

[1] Euler, Leonhard (1737). "Variae observationes circa series infinitas" [Various observations about infinite series]. Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 9: 160–188. ; 구체적으로, 172-174페이지의 이론 7.

[2] 샌디퍼, C. 에드워드, 레온하르트 오일러의 초기 수학 (워싱턴 D.C.: 미국 수학 협회, 2007), 페이지 253.

[3] Leonhard Euler, "De summa seriei ex numeris primis formatae 1/3 - 1/5 + 1/7 + 1/11 - 1/13 - 1/17 + 1/19 + 1/23 - 1/29 + 1/31 etc. ubi numeri primi formae 4n – 1 habent signum positivum, formae autem 4n + 1 signum negativum" (On the sum of series [composed] of prime numbers arranged 1/3 - 1/5 + 1/7 + 1/11 - 1/13 - 1/17 + 1/19 + 1/23 - 1/29 + 1/31 etc. 여기서 4n – 1 형식의 소수에는 양의 부호가 있는 반면, 4n + 1 형식의 소수에는 음의 부호가 있는 경우: Leonhard Euler, Opuscula Analytica(St. 러시아 페테르부르크: 제국과학원, 1785), 제2, 페이지 240–256; 페이지 241 참조. From p. 241: "Quoniam porro numeri primi praeter binarium quasi a natura in duas classes distinguuntur, prouti fuerint vel formae 4n + 1, vel formae 4n - 1, dum priores omnes sunt summae duorum quadratorum, posteriores vero ab hac proprietate penitus excluduntur: series reciprocae ex utraque classes formatae, scillicet: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + 등 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + 등 암바에 에르문트 파리터 infinitae, id quod etiam de 옴니버스 스펙티버스 숫자 primorum est tenendum. Ita si ex numeris primis ii tantum excerpantur, qui sunt formae 100n + 1, cuiusmodi sunt 101, 401, 601, 701, etc., non solum multitudo eorum est infinita, sed etiam summa huius seriei ex illis formatae, scillicet: 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + etc. 에스티엄 에스트 인피니타."(더 나아가서, 2보다 큰 소수들은 마치 자연에 의해 4n + 1형식이나 4n - 1형식 중 하나였던 것처럼 마치 2개 등급으로 나뉘는데, 첫 번째 숫자는 모두 2개의 제곱의 합이지만, 후자는 완전히 이 속성에서 제외된다: 두 등급에서 형성된 상호계열: 1/5 + + + + 1이다. 1/13 + 1/17 + 1/29 + 등 및 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + 등 두 가지 모두 똑같이 무한할 것이며, 이는 모든 종류의 프라임 수에서 얻을 수 있는 것이다. Thus, if there be chosen from the prime numbers only those that are of the form 100n + 1, of which kind are 101, 401, 601, 701, etc., not only the set of these is infinite, but likewise the sum of the series formed from that [set], namely: 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + etc. 마찬가지로 무한하다.)

[FOOTNOTENeukirch1999§I.10,_Exercise_1-4] Neukirch(1999), §I.10, 연습 1.

[5] 참조:
Le Gendre(1785) "Recherches d'analyse indéterminée"(중간 분석의 연구), Histoire de l'Academique et strategy, avec les mémoire de mathématique et stritality, 페이지 465–559; 특히 p.552를 참조. 552쪽부터: "34. 레마케.위원장 seroit peut-être nécessaire 드 démontrer rigoureusement une을 선택했다 께nous avons supposée dans plusieurs endroits 드 cet 기사, savoir, qu'il yune infinité 드 nombres 총리 compris danstous 추이 arithmétique고, 이, 이유 sont 총리, entr'eux 프리미어 terme 및 르 해석,ce기revient 에 même, dans 라formule 2mx+μ, lorsque.2m & μnont point de communiser. Cett 명제 esst assez difficile a demonetrer, peut s'assurer qu'elle est vraie, en comparant la 진행 arithmétique don't sagit, ab la 진행 orquinire 1, 3, 5, 7, &c.Siprendun 웅장하세요 de termes 드ces 진행에, 르même dans도 deux,&qu'on 그리고 처리, 예컨대, verraqu'en omettant에 드 manière que 르 플러스 그랜드 terme,égal 및 soit 아 라même 곳 일부&d'autre, 드 드chaque côté 그리고 배수 드 3,5,7,&cjusqu'àun 특정 놈브르 총리 p, ildoit 레스터(deux côtés. 르même하세요 de termes, ou meme en restera moins dans la progress 1, 3, 5, 7, &c. Mais comme dans celle-ci, Il reste nécurement des nombres premier, Il doit rester aussi dans l'autre."(34) 말하다. 2m와 μ에 com이 없는 2mx + μs 공식에 초기와 공통의 차이가 있는 모든 산술 진행에 포함된 소수 정수의 부정도가 있다는 것, 즉 2mx + μs에 포함된다는 것을 이 글의 여러 곳에서 가정한 것을 엄격하게 증명하는 것이 아마도 필요할 것이다.천하무적 이 명제는 다소 증명하기 어렵지만, 그것이 사실이라고 확신할 수 있는 것은 고려되는 산술적 추이를 보통 진행 1, 3, 5, 7 등과 비교하는 것이다. 만일 한 사람이 이러한 진보를 두 가지 면에서 모두 같은 [수]의 용어를 많이 취한다면, 그리고 예를 들어, 가장 큰 항이 동일한 방식으로, 그리고 두 항 모두에서 같은 위치에 배열한다면, 각각 3, 5, 7 등의 배수를 생략함으로써 특정 소수 p까지 동일한 n에 있어야 한다는 것을 알게 될 것이다.불확실한 용어 또는 심지어 진행 1, 3, 5, 7 등에서 더 적은 수의 용어들이 남아 있을 것이다. 그러나 이 [세트]에서와 같이 소수만이 남아 있어야 하며, 다른 [세트]에서도 일부 남아 있어야 한다.

A. M. Legendre, Essai sur la Théory des Nombres(프랑스 파리: Duprat, 1798), 소개 페이지 9-16. 12페이지부터: "XIX. … En général, unnombre donné doelconque, tout nombre는 peut étre reprsenté par la formule 4ax ± b, Dans laquelle b et moindre que 2a. Si parmi tous les valeurs possibles de b on retranche celles qui ont un commun diviseur avec a, les formes restantes 4ax ± b comprendront tous les nombres premiers partagé, … " (XIX. … In general, a being any given number, all odd numbers can be represented by the formula 4ax ± b, in which b is odd and less than 2a. 만약 b의 가능한 모든 값들 중에서 a와 함께 공통의 구분자를 갖는 값들을 제거한다면, 나머지 공식 4ax ± b는 그들 사이의 모든 소수들을 포함한다. … )

A. M. Legendre, Essai sur la Théory des Nombres, 2부작(프랑스 파리: 쿠르시어, 1808), 페이지 404. 페이지의 주부터 404:– Cquelconque"Soit donnéeune 추이 arithmétique, 2A– C, 3A – C등, dans laquelle 여타 Csont 총리 entre eux, soit donnée aussiune 스위트 룸 θ, λ,μ. 깨지ψ, ω, composée 드 k nombres 총리 인지,pris 아 volontéappelle 앙 무대 감독 π(z)에(disposés dans 주문 quelconque, 시 르zième terme 드 라 suite naturelle 데. nombr에스 총리 3,5,7,11, 등,je 경멸하다 que 제공하는 π(k-1)termes consécutifs 드 라 추이 proposée, il y무늬의 분위기 에 moins는지 나타나기ne 혈청 가분 파 aucun 데 nombres 총리 θ, λ,μ. 깨지ψ, ω."(자가 제공 받게 된 연산 수열 A– C, 2A– C, 3A – C등에서 A, C공히 총리 사이에서 자신[즉, coprime],자 거기에 있을 풋풋하다.nals아 시리즈 θ, λ,μ. 깨지ψ, ω 구성돼 k이상한 소수, 찍은 사진에서 의지와 준비에 어떤 순서 하나 부르는 것에서 일반 π(z)은zth 용어의 자연 시리즈의 숫자 3,5,7,11, 등, 나는 주장한다는 사이의 π(k-1)연속 조건의 제안된 추이가 있을 것이다 적어도 한명의 그들 부족한 것이 되게 나눌으로 갖기그는 총리 n탯줄 θ, μ, … …, Ω). 이 주장은 1858년 안타나세 루이 뒤프레(1808-1869)에 의해 거짓으로 판명되었다. 참조:

뒤프레, A. (1859) 아서펜 던 제안 드 레전드르 친척 아 라 트로리 데 노름 [숫자 이론에 관한 레전드르 명제의 검토] (프랑스 파리: 말레 바첼리에르, 1859년)

나르키에비치, 브와디스와프, 프라임 수 이론의 발전: 유클리드로부터 하디와 리틀우드로 (베를린: 스프링거, 2000); 특히 페이지 50을 참조한다.

[6] Le Gendre(1785) "Recherches d'analyse indéterminée"(중간 분석의 연구), Histoire de l'Academique et strategy, avec les mémoire de mathématique et stritality, 페이지 465–559; 특히 p.552를 참조. 552쪽부터: "34. 레마케.위원장 seroit peut-être nécessaire 드 démontrer rigoureusement une을 선택했다 께nous avons supposée dans plusieurs endroits 드 cet 기사, savoir, qu'il yune infinité 드 nombres 총리 compris danstous 추이 arithmétique고, 이, 이유 sont 총리, entr'eux 프리미어 terme 및 르 해석,ce기revient 에 même, dans 라formule 2mx+μ, lorsque.2m & μnont point de communiser. Cett 명제 esst assez difficile a demonetrer, peut s'assurer qu'elle est vraie, en comparant la 진행 arithmétique don't sagit, ab la 진행 orquinire 1, 3, 5, 7, &c.Siprendun 웅장하세요 de termes 드ces 진행에, 르même dans도 deux,&qu'on 그리고 처리, 예컨대, verraqu'en omettant에 드 manière que 르 플러스 그랜드 terme,égal 및 soit 아 라même 곳 일부&d'autre, 드 드chaque côté 그리고 배수 드 3,5,7,&cjusqu'àun 특정 놈브르 총리 p, ildoit 레스터(deux côtés. 르même하세요 de termes, ou meme en restera moins dans la progress 1, 3, 5, 7, &c. Mais comme dans celle-ci, Il reste nécurement des nombres premier, Il doit rester aussi dans l'autre."(34) 말하다. 2m와 μ에 com이 없는 2mx + μs 공식에 초기와 공통의 차이가 있는 모든 산술 진행에 포함된 소수 정수의 부정도가 있다는 것, 즉 2mx + μs에 포함된다는 것을 이 글의 여러 곳에서 가정한 것을 엄격하게 증명하는 것이 아마도 필요할 것이다.천하무적 이 명제는 다소 증명하기 어렵지만, 그것이 사실이라고 확신할 수 있는 것은 고려되는 산술적 추이를 보통 진행 1, 3, 5, 7 등과 비교하는 것이다. 만일 한 사람이 이러한 진보를 두 가지 면에서 모두 같은 [수]의 용어를 많이 취한다면, 그리고 예를 들어, 가장 큰 항이 동일한 방식으로, 그리고 두 항 모두에서 같은 위치에 배열한다면, 각각 3, 5, 7 등의 배수를 생략함으로써 특정 소수 p까지 동일한 n에 있어야 한다는 것을 알게 될 것이다.불확실한 용어 또는 심지어 진행 1, 3, 5, 7 등에서 더 적은 수의 용어들이 남아 있을 것이다. 그러나 이 [세트]에서와 같이 소수만이 남아 있어야 하며, 다른 [세트]에서도 일부 남아 있어야 한다.

[7] A. M. Legendre, Essai sur la Théory des Nombres(프랑스 파리: Duprat, 1798), 소개 페이지 9-16. 12페이지부터: "XIX. … En général, unnombre donné doelconque, tout nombre는 peut étre reprsenté par la formule 4ax ± b, Dans laquelle b et moindre que 2a. Si parmi tous les valeurs possibles de b on retranche celles qui ont un commun diviseur avec a, les formes restantes 4ax ± b comprendront tous les nombres premiers partagé, … " (XIX. … In general, a being any given number, all odd numbers can be represented by the formula 4ax ± b, in which b is odd and less than 2a. 만약 b의 가능한 모든 값들 중에서 a와 함께 공통의 구분자를 갖는 값들을 제거한다면, 나머지 공식 4ax ± b는 그들 사이의 모든 소수들을 포함한다. … )

[8] A. M. Legendre, Essai sur la Théory des Nombres, 2부작(프랑스 파리: 쿠르시어, 1808), 페이지 404. 페이지의 주부터 404:– Cquelconque"Soit donnéeune 추이 arithmétique, 2A– C, 3A – C등, dans laquelle 여타 Csont 총리 entre eux, soit donnée aussiune 스위트 룸 θ, λ,μ. 깨지ψ, ω, composée 드 k nombres 총리 인지,pris 아 volontéappelle 앙 무대 감독 π(z)에(disposés dans 주문 quelconque, 시 르zième terme 드 라 suite naturelle 데. nombr에스 총리 3,5,7,11, 등,je 경멸하다 que 제공하는 π(k-1)termes consécutifs 드 라 추이 proposée, il y무늬의 분위기 에 moins는지 나타나기ne 혈청 가분 파 aucun 데 nombres 총리 θ, λ,μ. 깨지ψ, ω."(자가 제공 받게 된 연산 수열 A– C, 2A– C, 3A – C등에서 A, C공히 총리 사이에서 자신[즉, coprime],자 거기에 있을 풋풋하다.nals아 시리즈 θ, λ,μ. 깨지ψ, ω 구성돼 k이상한 소수, 찍은 사진에서 의지와 준비에 어떤 순서 하나 부르는 것에서 일반 π(z)은zth 용어의 자연 시리즈의 숫자 3,5,7,11, 등, 나는 주장한다는 사이의 π(k-1)연속 조건의 제안된 추이가 있을 것이다 적어도 한명의 그들 부족한 것이 되게 나눌으로 갖기그는 총리 n탯줄 θ, μ, … …, Ω). 이 주장은 1858년 안타나세 루이 뒤프레(1808-1869)에 의해 거짓으로 판명되었다. 참조:

[9] 뒤프레, A. (1859) 아서펜 던 제안 드 레전드르 친척 아 라 트로리 데 노름 [숫자 이론에 관한 레전드르 명제의 검토] (프랑스 파리: 말레 바첼리에르, 1859년)

[10] 나르키에비치, 브와디스와프, 프라임 수 이론의 발전: 유클리드로부터 하디와 리틀우드로 (베를린: 스프링거, 2000); 특히 페이지 50을 참조한다.

[6] 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss, Discquisitiones accountae, Leipzig, (독일): Gerhard Fleischer, 1801년), 섹션 297, 페이지 507–508. 507–508페이지부터: "Ill. Le Gendre ipse fatetur, demonstrationem theorematis, sub tali forma kt + l, designantibus k, l numeros inter se primos datos, t indefinitum, certo contineri numeros primos, satis difficilem videri, methodumque obiter addigitat, quae forsan illuc conducere possit; multae vero disquisitiones praeliminares necessariae nobis videntur, antequam hacce quidem via ad demonstrationem rigorosam pervenire liceat." (The illustrious Le Gendre himself admits [that] the proof of the theorem — [namely, that] among [integers of] the form kt + l, [where] k and l denote given integers [that are] prime among themselves [i.e., coprime] [and] t denotes a variable, surely prime numbers are contained — seems diff충분히, 그리고 우연하게도, 그는 그것을 야기시킬 수 있는 방법을 지적한다. 그러나, 많은 예비적이고 필요한 조사들이 이 [추측]이 실제로 엄격한 증거의 길에 도달하기 전에 우리에 의해 [예] 목격된다.)

[7] Shiu, D. K. L. (2000). "Strings of congruent primes". J. London Math. Soc. 61 (2): 359–373. doi:10.1112/s0024610799007863.

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