자체 밀도

일반적인 위상에서는 위상학적 공간의 부분집합 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 자체^[1][2] 밀도가 높거나 A ${\displaystyle A}$에 고립된 지점이 없는$$ 경우 혼잡하다고^[3][4] 한다.Equivalently, ${\displaystyle A}$ is dense-in-itself if every point of ${\displaystyle A}$ is a limit point of ${\displaystyle A}$. Thus ${\displaystyle A}$ is dense-in-itself if and only if ${\displaystyle A\subseteq A'}$, where ${\displaystyle A'}$ is the derived set of ${\displa$$ystyle A}$.

자체 밀도가 높은 클로즈드 세트를 퍼펙트 세트(즉, 퍼펙트 세트는 고립된 포인트가 없는 클로즈드 세트)라고 부른다.

밀도 집합의 개념은 밀도 자체와는 무관하다."X는 X로 밀도가 높다"(항상 참)는 "X는 스스로 밀도가 높다"(격리된 지점이 없음)와 같지 않기 때문에 이는 때때로 혼란스러울 수 있다.

예

밀도가 높지만 닫히지 않는 집합(따라서 완벽한 집합은 아님)의 간단한 예는 비합리적인 수의 부분 집합(실수의 부분 집합으로 간주됨)이다.이 세트는 $비합리적$인$$숫자 x {\$displaystyle$ x$}$의 모든 이웃에 적어도 하나의 비합리적인 $숫자{\displaystyle }$ y${\displaystyle x}$ x ${\displaysty y\neq$x}가$$ 있기 때문에 그 자체가 밀도 높은 것이다$.$ 반면에 모든 이성적인 숫자들이 그것의 폐쇄에 있기 때문에 비합리적인 숫자 세트는 닫히지 않는다.이와 비슷한 이유로 합리적 숫자의 집합(실수의 부분집합으로도 간주됨)도 밀도가 높지만 닫히지 않는다.

The above examples, the irrationals and the rationals, are also dense sets in their topological space, namely ${\displaystyle \mathbb {R} }$. As an example that is dense-in-itself but not dense in its topological space, consider ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$. This set is not dense in ${\displaysty$$\mathb {R} }$은(는) 있지만 자체 밀도가 높다.

특성.

• 공간 X의 밀도-인-인-인-인-인-인-인-인-인-인 하위 집합의 모든 가족의 결합은 ^[5]밀도-인-인-인-인-인-인-인-인-인
• 밀도가 높은 공간의 모든 부분 집합은 밀도가 높다.^[6]
• 밀도가 높은 T공간의₁ 모든 부분집합은 밀도가 높다.^[7]이를 위해서는 공간이 T가₁ 되어야 한다는 점에 유의하십시오. 예를 들어, $공간{\displaystyle }$X${\displaystyle }$= { ${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$}$${\$displaystyle$ X$=\{a,b\}}$에서, 세트 A${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ $a$} ${\displaystyle A=\{a\}}}$은(는$$) ${\displaystyle \mathrm{밀도}}$가 높지만 자체 밀도가 높지 않다.
• 위상학적 공간에서 밀도 높은 it자체 세트의 폐쇄는 완벽한 세트다.^[8]

참고 항목

• 노점 조밀 세트
• 위상 용어집
• 밀도순서

메모들

참조

• Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4.
• Kuratowski, K. (1966). Topology Vol. I. Academic Press. ISBN 012429202X.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446.

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