연관된 범례 다항식

수학에서 관련 레전드르 다항식은 일반 레전드르 방정식의 표준적 해법이다.

${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)-2x{\frac {d}{dx}}$$P_{{\ell }^{m}(x)+\왼쪽[\ell(\ell +1)-{\frac {m^{2}}-x^{2}}:}\오른쪽]$$P_{\ell }^{m}(x)=0$

또는 동등하게

${\displaystyle {\d}{dx}}\좌측[1-x^{d$$$$P_{{\ell }^{m}(x)\오른쪽]+\왼쪽[\ell(\ell +1)-{\frac {m^{1}:{1-x^{2}}\오른쪽]$$P_{\ell }^{m}(x)=0$

여기서 지수 ℓ과 m(정수)을 각각 관련 범례 다항식의 정도와 순서라고 한다. 이 방정식은 ℓ과 m이 0 ≤ m with의 정수이거나 사소한 등가 음의 값을 갖는 경우에만 [-1, 1]에 비정규적인 용액을 가진다. 추가 m이 짝수일 때 함수는 다항식이다. m이 0과 ℓ 정수일 때, 이러한 함수는 레전드르 다항식과 동일하다. 일반적으로 ℓ과 m이 정수일 때, m이 홀수일 때는 다항식이 아님에도 불구하고, 정규 용액을 "관련된 레전드르 다항식"이라고 부르기도 한다. 임의의 실제 값이나 ℓ과 m의 복잡한 값을 갖는 함수의 완전한 일반 등급은 레전드르 함수다. 이 경우 매개변수는 대개 그리스 문자로 라벨을 표시한다.

Legendre 보통 미분 방정식은 물리학과 다른 기술 분야에서 자주 접하게 된다. 특히 라플레이스의 방정식(및 관련 부분 미분 방정식)을 구형 좌표에서 풀 때 발생한다. 관련 레전드르 다항식들은 구형 고조파 정의에서 중요한 역할을 한다.

음수가 아닌 정수 매개변수 ℓ 및 m에 대한 정의

이러한 함수는 $P{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \ell }$ m${\displaystyle {}_{}^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)}$로 표시되며$,$ 여기서 위첨자는 P의 힘이 아니라 순서를 나타낸다. 이들의 가장 직접적인 정의는 일반 레전드르 다항식(m terms 0)의 파생상품에 관한 것이다.

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(P_{\ell }(x)\right)}$,

이 공식의 (-^m1) 인자를 콘돈-이라고 한다.쇼트리 단계. 일부 저자들은 그것을 생략한다. 이 방정식에 의해 기술된 함수는 P에_ℓ 대한 레전드르 방정식의 m 곱을 분화함으로써 다음과 같은 매개변수 ℓ과 m의 표시된 값으로 일반 레전드르 미분 방정식을 만족시킨다.^[1]

${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d^{2}}{dx^{2}}P_{\nell }-{dx)-2x{\frac {d}{dx}}}}}}P_{\ell }(x)+\ell(\ell +1)P_{\ell }(x)=0.}$

게다가 로드리게스의 공식에 의하면

${\displaystyle P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell!}\\\\frac {d^{\ell }}}}{dx^{\ell }}}}}\왼쪽[(x^{2}-1)^{\ell }\right],}}}}}$

P는^m
_ℓ 양식으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)={\frac{\l(-1)^{{m}}}{2^{\n1}{m/2}}(1-x^{2})^{d^{d^{\m}}{d^{d^{\}}}}}(x^{2}-1}-1}}).$

이 방정식은 m의 범위를 다음과 같이 확장할 수 있다: - to ≤ m ≤. ±m의 대체에 의한 이 표현에서 비롯되는 P의_ℓ^±m 정의는 비례한다. 실제로, 좌우에 있는 동등한 힘의 계수를 동일시한다.

${\displaystyle {\frac {d^{\ell -m}}{dx^{\ell -m}}}(x^{2}-1)^{\ell }=c_{lm}(1-x^{2})^{m}{\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell },}$

그 다음으로는 비례 상수가

${\displaystyle c_{lm}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{{(\ell +m)!}},}$

하도록

${\displaystyle P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{\frac {(\ell -m)!}{{(\ell +m)!}}}}{{\ell }^{m}(x)}$

대체 표기

문헌에는 다음과 같은 대체 표기법이 사용된다.^[2]

${\displaystyle P_{\ell m}(x)=(-1)^{m}P_{\ell }^{m}(x)}$

닫힌 양식

관련 범례 다항식도 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle P_{l}^{m}^(x)=(-1)^{m}\cdot 2^{l}\cdot (1-x^{2})^{m/2}^{k=m}^{\frac {k!}{k-m!}!}}}\cdot x^{k-m}\cdot {\binom {l}{k}}{{k}}{\binom {\binom {\l+k-1}{2}}:{l}}}}}}$

단순한 단항계수와 일반화된 형태의 이항계수를 갖는 것.

직교성

연관된 범례 다항식은 일반적으로 상호 직교하지 않는다. 예를 들어 $P{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$1}^{$1}:{$1}은$$(는) $P{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\$에$$직교하지 않지만, 일부 하위 집합은 직교한다. 0 ≤ m ≤ ℓ이라고 가정할 때, 고정 m에 대한 직교성 조건을 만족한다.

${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{k}^{m_{\ell }^{m}dx={\frac {2(\ell +m)!}{{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\\ \ _{k,\ell}}}$

여기서 Δ는_{k, ℓ} 크로네커 삼각주 입니다.

또한 고정 ℓ에 대한 직교 조건도 만족한다.

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m_{\n}}}{1-x^{2}}:dx={\begin}0&{\mbox{{}if }m\neqn\{(ell +m)!}{{m(\ell -m)!}}&{\mbox{{}m=n\neq 0\\\puty &{\mbox{{}m=n=0\case}}}}$

음수 m 및/또는 음수 ℓ

미분방정식은 m의 기호가 바뀌어도 분명히 불변한다.

음의 m에 대한 함수는 위와 같이 양의 m에 비례하는 것으로 나타났다.

${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{{(\ell +m)!}}}{{\ell}^{m}}}}}$

(이것은 로드리게스의 공식 정의에 따른 것이다. 이 정의는 또한 다양한 반복 공식이 양 또는 음의 m에 대해 작동하도록 만든다.)

${\displaystyle {\textrm}\quad {\mid}{\mid }}\ell \,\qad \mathrm {ten}\quad P_{\ell }^{m}=0.\,}$

미분방정식은 1에서 -ℓ - 1로 변경되는 경우에도 불변성이며, 음의 ℓ에 대한 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle P_{-\ell }^{m}=$$P_{\\ell -1}^{m},\(\ell =1,\,2,\,...)}$.

패리티

이들의 정의에서, 관련 범례 함수가 다음과 같이 짝수 또는 홀수인지 확인할 수 있다.

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(-x)=(-1)^{\ell +m}P_{\ell }^{m}(x)}$

처음 몇 가지 연관된 Legendre 함수

m의 음수 값에 대한 함수를 포함하여 처음 몇 가지 연관된 Legendre 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle P_{0}^{0}(x)=1}$

${\displaystyle P_{1}^{-1(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{1}:{2}}\end{matrix}}}}P_{1}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{1}^{0}(x)=x}$

${\displaystyle P_{1}^{1}^{1}(x)=-(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{2}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{24}}\end{matrix}}}}P_{2}^{2}(x)}$

${\displaystyle P_{2}^{-1(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{6}\end{matrix}}}P_{2}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{2}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{1}:{1}:{1}{1}:{1}:{1}:{1}{1}:{1}\end{matrix}}}(3x^{2}-1)}$

${\displaystyle P_{2}^{1}(x)=-3x(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{2}^{2}^{2}(x)=3(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{3}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{720}}\end{matrix}}}}}P_{3}^{3}(x)}$

${\displaystyle P_{3}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac{1}{120}}\end{matrix}}}}}P_{3}^{2}(x)}$

${\displaystyle P_{3}^{-1(x)=-{\begin{matrix}{\frac{1}{12}}\end{matrix}}}}P_{3}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{3}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{1}:{1}{2}}\end{matrix}}}(5x^{3}-3x)}}}}$

${\displaystyle P_{3}^{1}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}}(5x^{2}-1)(1-x^{2}^{1/2}}:$

${\displaystyle P_{3}^{2}(x)=15x(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{3}^{3}^{3}(x)=-15(1-x^{2})^{3/2}}$

${\displaystyle P_{4}^{-4}^(x)={\begin{matrix}{1}{40320}}\end{matrix}P_{4}^{4}(x)}}$

${\displaystyle P_{4}^{-3}^(x)=-{\begin{matrix}{1}{1}{5040}}\end{matrix}}P_{4}^{3}(x)}$

${\displaystyle P_{4}^{-2}(x)={\begin{matrix}{1}{160}}\end{matrix}P_{4}^{2}(x)}$

${\displaystyle P_{4}^{-1(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{20}\end{matrix}P_{4}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{4}^{0}(x)={\begin{matrix}{{1}{8}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}}$

${\displaystyle P_{4}^{1}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{5}{2}}\end{matrix}}(7x^{3}-3x)(1-x^{1}:{1/2}}$

${\displaystyle P_{4}^{2}(x)={\begin{matrix}{15}{2}}\end{matrix}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{4}^{3}(x)=-105x(1-x^{2})^{3/2}}$

${\displaystyle P_{4}^{4}^{4}(x)=105(1-x^{2})^{2}}$

재발식

이러한 함수에는 다음과 같은 여러 가지 반복 속성이 있다.

$(\displaystyle(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)=(2\ell +1)xP_{\ell }^{m}-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$

${\displaystyle 2mxP_{\ell }^{m}(x)=-{\\sqrt{1-x^{2}}:\[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell -m+1)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)\오른쪽]}$

${\displaystyle {\frac{1}{\sqrt {1-x^{2}}P_{{\ell }^{m}}={\frac {-1}{2m}\좌측[P_{\ell -1}^{m+1}+(x)+(\ +m)\(ell +m)\m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]$

${\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}P_{{\ell }^{m}}={\frac {-1}{2m}\좌측[P_{\ell +1}^{m+1}+1}+(\ell -m+1)+(ell -m+2)\ell -m+2]P_{\ell +1}^{m-1}(x)\오른쪽]}$

${\displaystyle {\sqrt{1-x^{2}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}\좌측[\ell -m+1)(\ell -m+2)(\ell -m+2))P_{\ell +1}^{m-1(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]$

${\displaystyle {\sqrt{1-x^{2}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2\ell +1}}\왼쪽[P_{m+1}(x)-P_{\ell -1}{m+1}{m+1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\sqrt{1-x^{2}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)xP_{\ell }^{m}-(x)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$

${\displaystyle {\sqrt{1-x^{2}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)-(\ell +m+1)xP_{\ell }^{m}(x)}$

${\displaystyle {\sqrt{1-x^{2}}:{\frac {d}{dx}}{dx}}{{dx}}}{{dx}}}}P_{\ell }^{m}^{m(x)={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)\right]}$

${\displaystyle(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}{dx}}{{dx}}{{dx}}P_{\ell }^{m(x)}={\frac {1}{2\ell +1}\왼쪽[(\ell +1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)-\ell(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)\오른쪽]}$

${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{dx}}{{dx}}}{{dx}}P_{\ell }^{m(x)}={\ell }xP_{\ell }^{m}-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$

${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{dx}}{{dx}}}{{dx}}P_{\ell }^{m}^{m}=-(\ell +1)xP_{\ell }^{m}+(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)}$

${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{dx}}{{dx}}}{{dx}}P_{\ell }^{m^}}}{\sqrt{1-x^{2}}P_{{\ell }^{m+1}(x)+mxP_{\ell }^{m}(x)}$

${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{dx}}{{dx}}}{{dx}}P_{\ell }^{m}^{m}=-(\ell +m)(\ell -m+1){\sqrt {1-x^{2}}P_{\ell }^{m-1}(x)-mxP_{\ell }{}^{m}{m}(x)}$

유용한 ID(첫 번째 재귀에 대한 초기 값):

${\displaystyle P_{\ell +1}^{\1}^{\1}(x)=-(2\ell +1){\sqrt{1-x^{2}}P_{\ell }^{}\ell }}}{}(x)}$

${\displaystyle P_{\ell }^{}^{}(x)=(-1)^{{\ell }}{{1}@(1-x^{2})^{(\ell /2)}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)}$

!! 이중요인으로.

가운트의 공식

세 개의 관련 레전드르 다항식 제품(아래와 일치하는 주문 포함) 위에 있는 적분은 레전드르 다항식의 제품을 레전드르 다항식의 시리즈 선형으로 개발할 때 필요한 성분이다. 예를 들어, 이것은 Hartree-의 원자 계산을 할 때 필요한 것으로 밝혀졌다.쿨롱 오퍼레이터의 매트릭스 요소가 필요한 포크 버라이어티. 이걸 위해 건트 공식은

이 공식은 다음과 같은 가정에 따라 사용해야 한다.

1. 도수는 음이 아닌 정수 $l{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle l,m,n\geq$ 0$}$이다.
2. 세 가지 주문 모두 음이 아닌 정수 $u{\displaystyle }$, ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle u,v,w\geq$ 0$}$이다.
3. $[\displaystyle u]$는 세 가지 주문 중 가장 큰 주문이다.
4. 주문 합계가 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle v}$+ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle u=v+w}$
5. 도수는 $m{\displaystyle }$ $n을 따른다.$

공식에 나타나는 다른 수량은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \ 2s=l+m+n}$

${\displaystyle \p=\max(0,\,n-m-u)}$

${\displaystyle \q=\min(m+n-u,\,l-u,\,n-w)}$

만약 그렇지 않으면 적분은 0이다.

1. $도수$의$$합은 s {\$displaystyle$ s}이$$(가$)$ 정수인 것과 같다.
2. 삼각형 조건이 $m{\displaystyle }$+ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle m}$- ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m+n\geq l\geq m-n}$ 충족됨

동과 르무스(2002)는 임의의 수의 관련 레전드르 다항식 산물에 걸쳐 통합하기 위해 이 공식의 파생을 일반화했다.^[4]

초기하 함수를 통한 일반화

이러한 함수는 실제로 일반 복합 매개변수 및 인수에 대해 정의될 수 있다.

${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}})}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$은(는) 감마함수, ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}:{1}은$($는) 초기하함수다.

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(\alpha ,\beta ;\gamma ;z)={\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+\beta )}{\Gamma (n+\gamma )\ n!}}z^{n},}$

그것들은 보다 일반적인 방법으로 정의될 때 레전드르 함수라고 불린다. 그들은 이전과 같은 미분 방정식을 만족한다.

${\displaystyle (1-z^{2})\,y'-2zy'+\왼쪽(\\da [\\da +1]-{\mu ^{2}}:{1-z^{2}}\}\,y=0.\,}$

이것은 제2차 차등방정식이기 때문에, 2차 해법인 Q ${\displaystyle {\lambda }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}z}$) ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z$을 다음과 같이 정의하고 있다.

${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt{\pi }}\감마(\lambda +\mu +1)}{2}^{\lambda +1}\감마(\lambda +3/2)}}{\frac {1}{z^{\lambda +\mu +1}}}(1-z^{2})^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right)}$

${\displaystyle P_{}^{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}z}$) ${\displaystyle P_{\lambda }^{\lambda }(z)}$ 및$$ $Q{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}\mu (}$z$$) {\$displaystyle$Q_{\$lambda$}^{\$mu }z}}$ 둘 다$$ 이전에 주어진 다양한 재발식을 따른다.

각도에 대한 재귀화

$이러한{\displaystyle }$ 함수는 x${\displaystyle }$= ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle x=\cos \theta }$:을(를) 허용하면서 인수를 각도로 다시 정의할 때 가장 유용하다.

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )=-1)^{m}{m}\\\\frac {d^{m}{d(\cos \theta )^{m}}}}{m}}}}{m(\cos \ta )\,},}$

관계${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}{}^{}}$2 )${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ /${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ = ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \{}$ {$${\$displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=\sin \theta }$을$($를) 사용하여 위에 제공된 목록은 다음과 같이 처음 몇 개의 다항식을 산출하며, 다음과 같이 매개변수를 지정한다.

${\displaystyle {\reasoned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{1}:{2}}(cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{1}:{1}:{3}(cos ^5\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_ᆳ^ᆴ(\cos \theta)&,=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]P_ᆶ^ᆷ(\cos \theta)&, ={\tfrac{1}{8}}({4}\theta -30\cos^35\cos ^{2}\theta +3)[8pt]P_ᆺ^ᆻ(\cos \theta)&, =-{\tfrac{5}{2}}(7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta)\sin\theta \\[8pt]P_ᆾ^ᆿ(\cos \theta)&, ={\tfrac{15}{2}}(7\cos ^{2}\theta))\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{4}^{3}(\cos \t.heta)&=-105\cos \theta \sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{4}}(\cos \theta )&=105\sin ^4}\theta \ended}}}}}}}}}$

The orthogonality relations given above become in this formulation: for fixed m, ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ are orthogonal, parameterized by θ over ${\displaystyle [0,\pi ]}$, with weight ${\displaystyle \sin \theta }$:

${\displaystyle \int _{0}^{{0}^{{k}^{m}(\cos \theta )}{m}(\cos \theta )\\\\sin \theta \,d\d\frac {2(\ell +m)!}{{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\\ \ _{k,\ell}}}$

또한, 고정된 ℓ의 경우:

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{\ell }^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{n}(\cos \theta )\csc \theta \,d\theta ={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{{m(\ell -m)!}}&{\text{{}}}{{m=n\neq 0\\\put &{\text}}{{m=n=0\case}}}}$

θ의 관점에서 $P{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}\cos }$ ${\displaystyle }$ $){\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$은 의 해결책이다$$.

${\dfrac{d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cHB \cHB \cHB \cHB \cHB \{\fract{d}{m^{2}}:{\sin ^{2}\}{{din ^}\}}\y=0\}}}}}}$

More precisely, given an integer m${\displaystyle \geq }$0, the above equation has nonsingular solutions only when ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)\,}$ for ℓ an integer ≥ m, and those solutions are proportional to ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$.

물리학의 응용: 구형 고조파

물리학에서 여러 경우, 각도의 측면에서 관련된 레전드르 다항식은 구형 대칭이 관련된 곳에서 발생한다. 구형 좌표에서의 고도 각도는 위에서 사용된$$ 각도 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$이다. 경도 $각도{\displaystyle }$ , ${\displaystyle \pi }$은$($는) 곱셈 인자에 나타난다. 그들은 함께 구형 고조파라고 불리는 일련의 함수를 만든다. 이러한 함수는 Lie group SO(3)의 작용 하에 2-sphere의 대칭을 표현한다.

이러한 기능들을 유용하게 만드는 것은 ${\displaystyle {그것들}^{}}$이 구체 표면에 있는$$${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$on 2 ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$= 0 ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$라는 방정식의 해법의 중심이라는 점이다. 구면 좌표 θ(색도)와 ((경도)에서 라플라시안은

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}.}$

부분 미분 방정식일 때

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}+\lambda \psi =0}$

변수의 분리방법으로 해결되며, 정수 m≥0에$$ 대한 φ-dependent-dependent 부분 $($ ){\$displaystyle \sin(m\$phi $)}$ 또는$$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle m}$ ⁡$){\displaystyle \cos(m\phi )},$ θ-dependent-dependent 부분에 대한 방정식을 얻는다.

${\dfrac{d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cHB \cHB \cHB \cHB \cHB \{\fract{d}{m^{2}}:{\sin ^{2}\}{{din ^}\}}\y=0\}}}}}}$

$여기$서 해결책은 $P{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}\cos }$ ${\displaystyle }$ $){\$$displaystyle$ $P_{\ell$ $}^{m}(\$$cos \$$theta$$$)이며$,$$\ell {\displaystyle }$ =${\displaystyle \ell }$= $){\displaysty \lambda =\ell (\ell +$1)이다$.$

따라서 방정식은

$\displaystyle \bla ^{2}\buffer +\buffda \buffer =0}$

$\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle \ell }$ (${\displaystyle \mathrm{\ell }}$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$이$($가) 에 비례하는 경우에만 비정규적으로 분리된 솔루션이 있음

$\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\\cos(m\phi )\\\ \ \ \ \0\leq m\leq \ell}}$

그리고

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\\\sin(m\phi )\\\\ \ \ 0<m\leq \ell .}$

ℓ의 각 선택에는 m의 다양한 값과 사인 및 코사인 선택 항목에 대한 2ℓ + 1 함수가 있다. 그것들은 모두 구의 표면 위에 통합되었을 때 and과 m 둘 다에서 직교한다.

해결책은 일반적으로 복잡한 지수(expectivity)의 관점에서 작성된다.

${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )={\sqrt {(2\ell +1)(\ell -m)!}{4\pi (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ e^{im\phi }\qquad -\ell \leq m\leq \ell .}$

함수 $Y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}}$, m (${\displaystyle {}_{}\theta }$ ,${\displaystyle )}$ )$${\$displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi$)은 구형 고조파이며$$, 제곱근의 양은 정규화 요인이다. 양수와 음의 m의 관련 레전드르 함수 사이의 관계를 상기하면 구면 고조파들이 정체성을^[5] 만족한다는 것을 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle Y_{\ell ,m}^{*}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}Y_{\ell ,-m}(\theta ,\phi).}$

구형 고조파 함수는 푸리에 시리즈라는 의미에서 완전한 직교 함수의 집합을 형성한다. 측지학, 지자기학 및 스펙트럼 분석 분야의 작업자는 여기에서 주어진 위상과 정규화 인자를 사용한다(구면 고조파 참조).

구면 좌표에서 변수의 분리 방법으로 3차원 spherric 편미분 방정식을 풀면 방사형 부분을 제거한 후에도 남는 부분이 전형적으로 형태다.

$\displaystyle \bla ^{2}\pi(\theta ,\phi )+\phda \pa(\theta ,\phi )=0,}$

그래서 해결책은 구형 고조파 입니다.

일반화

Legendre 다항식들은 초기하학 계열과 밀접한 관련이 있다. 구형 고조파 형태로, 거짓말 그룹 SO(3)의 작용으로 투-sphere의 대칭을 표현한다. SO(3) 외에도 많은 Lie 그룹이 있으며, 반단순 Lie 그룹과 리만 대칭 공간의 대칭을 표현하기 위해 Legendre 다항식의 유사 일반화가 존재한다. 조잡하게 말하면, 대칭 공간에 라플라시안을 정의할 수 있다; 라플라시안의 고유 기능은 다른 설정에 대한 구형 고조파의 일반화로 생각할 수 있다.

참고 항목

• 각 운동량
• 가우스 사분법
• 레전드르 다항식
• 구형 고조파
• 위플의 레전드르 기능 변환
• 라구에르 다항식
• 헤르미트 다항식

참고 및 참조

• Arfken, G.B.; Weber, H.J. (2001), Mathematical methods for physicists, Academic Press, ISBN 978-0-12-059825-0; 제12.5절 (다른 기호 사용)
• Belousov, S. L. (1962), Tables of normalized associated Legendre polynomials, Mathematical tables, 18, Pergamon Press.
• Condon, E. U.; Shortley, G. H. (1970), The Theory of Atomic Spectra, Cambridge, England: Cambridge University Press, OCLC 5388084; 3장.
• Courant, Richard; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Volume 1, New York: Interscience Publischer, Inc.
• Dunster, T. M. (2010), "Legendre and Related Functions", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Edmonds, A.R. (1957), Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07912-7; 제2장.
• Hildebrand, F. B. (1976), Advanced Calculus for Applications, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-011189-0.
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Schach, S. R. (1973) Legendre 관련 기능에 대한 새로운 정체성 순서와 학위, 산업 및 응용 수학 학술지, 1976년, 제7권, 제1권 : 페이지 59–69

외부 링크

• MathWorld의 관련 범례 다항식
• MathWorld의 Legendre 다항식
• DLMF의 Legendre 및 관련 기능