제네릭 포인트

Generic point

대수 기하학에서 대수적 다양성 X의 일반적 점 P는 대략 모든 일반적 특성이 참인 점이며, 일반적 특성은 거의 모든 점에 대해 참인 속성이다.

고전 대수 기하학에서, 아핀 또는 투영 대수학 d의 다양한 차원 d의 일반적인 지점은 그 좌표에 의해 생성된 장이 그 변수의 방정식의 계수에 의해 생성된 장에 대해 초월도 d를 갖는 지점이다.

체계 이론에서, 적분 영역의 스펙트럼은 최소한의 프라임 이상인 고유한 일반 포인트를 가지고 있다.자리스키 위상에 대한 이 지점의 폐쇄가 전체 스펙트럼이기 때문에, 위상학적 공간 X의 일반 지점이 X인 지점인 일반 위상까지 정의가 확장되었다.

정의와 동기 부여

위상학적 공간 X의 일반적인 점은 닫힘이 모두 X인 점, 즉 X에 밀도가 높은 점 P이다.[1]

이 용어는 대수 집합의 하위분리 집합에 있는 자리스키 위상의 사례에서 발생한다: 대수 집합은 해석할 수 없다(즉, 두 개의 적절한 대수 하위 집합의 결합은 아니다). 만일 하위분리의 위상학적 공간에 일반적 지점이 있는 경우에만 해당된다.

예

역사

그의 대수기하학 기초에서 개발된 안드레 웨일의 기초적 접근법에서는, 일반적 포인트가 중요한 역할을 했지만, 다른 방식으로 처리되었다.필드 K에 대한 대수적 다양성 V의 경우, V의 일반적 지점은 범용 영역 Ω의 값을 취하는 V의 전체 클래스였다. 이는 K를 포함하는 대수적으로 폐쇄된 필드지만 또한 신선한 인데터미네이트의 무한 공급이다.이 접근법은 V의 위상(K-Zariski 토폴로지, 즉 1930년대에 유행한 대수기하학에 대한 평가이론 접근법에서와 같이 현장 수준에서 모두 논의될 수 있기 때문에 V의 위상(K-Zariski topology, 즉 토폴로지)을 직접 다룰 필요 없이 작동했다.

이것은 동등하게 일반적인 포인트들의 거대한 수집이 있는 대가를 치렀다.제2차 세계대전 직후 상파울루에서 웨일스의 동료인 오스카 자리스키는 항상 일반적 포인트가 독특해야 한다고 주장했다. (이는 다시 토폴로지학자들의 용어로 표현될 수 있다:빌의 생각은 콜모고로프에게 공간을 주지 못하고, 자리스키는 콜모고로프 지수의 관점에서 생각한다.)

1950년대의 급속한 근본적 변화 속에서 Weil의 접근법은 쓸모없게 되었다.그러나, 체계 이론에서, 1957년부터, 일반적인 요점들이 되돌아왔다: 이번에는 á la Zariski.예를 들어, R 개별 가치평가 링의 경우, Spec(R)은 (최초 이상 {0}에서 오는) 일반 지점과 고유한 최대 이상에서 오는 폐쇄 지점 또는 특수 지점의 두 점으로 구성된다.Spec(R)에 대한 형태론의 경우, 특수 지점 위의 섬유는 특수한 섬유로, 예를 들어 감량모듈로 p, 모노드로미 이론 및 퇴화에 대한 다른 이론에서 중요한 개념이다.일반 섬유는 마찬가지로 일반 지점 위의 섬유다.퇴화의 기하학은 그 후 주로 일반 섬유에서 특수 섬유로의 통로, 즉 매개 변수의 전문화가 어떻게 문제에 영향을 미치는가에 관한 것이다.(이별 가치평가 링의 경우, 문제의 위상적 공간은 토폴로지 학자들의 시에르핀스키 공간이다.다른 국소 링은 고유한 일반적 및 특수 점을 가지지만 일반 치수를 나타내기 때문에 스펙트럼이 더 복잡하다.이산 평가 사례는 이러한 목적을 위해 복합 단위 디스크와 매우 유사하다.)

참조

  1. ^ 데이비드 뭄포드, 1999년 스프링거
  • Vickers, Steven (1989). Topology via Logic. Cambridge Tracts in Theoretic Computer Science. Vol. 5. p. 65. ISBN 0-521-36062-5.
  • Weil, André (1946). Foundations of Algebraic Geometry. American Mathematical Society Colloquium Publications. Vol. XXIX.