근사군

수학에서 대략적인 집단은 정확한 양적 의미에서 "상수 오차까지" 부분군처럼 행동하는 집단의 부분집합이다(따라서 대략적인 부분군이라는 용어가 더 정확할 수 있다).예를 들어, 하위 집합에 있는 원소의 생산물 집합은 하위 집합 자체보다 크지 않아야 한다(하위 집합의 경우 동일해야 함).이 개념은 2010년대에 도입되었지만 첨가제 조합에서 더 오래된 원천으로 추적할 수 있다.

형식 정의

Let ${\displaystyle G}$ be a group and ${\displaystyle K\geq 1}$; for two subsets ${\displaystyle X,Y\subset G}$ we denote by ${\displaystyle X\cdot Y}$ the set of all products ${\displaystyle xy,x\in X,y\in Y}$. A non-empty subset ${\displaystyle A\subset G}$ isa $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ - 다음과 같은 경우$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 근사치$$ 부분군:^[1]

1. 대칭이며, 즉, $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle g\in$ A$}$인 경우 $g$ - ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle$ g$^{-1}\in A$
2. 카디널리티 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle$ $X$\$leq$ K$}$의 $부분$ 집합 X $subset{\displaystyle }$ G$$ X$$\leq K$}$이(가) 있으며, $a$ ${\displaystyle A}${ X${\displaystyle }$⋅ $A$ {${$ { { { { { A\$cdot A\subset$ X$\cdot$ A$\}$이다.

1개 정도의 부분군이 진품 부분군과 동일한 것임을 즉시 검증한다.물론 이 정의는 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(가) ${\displaystyle A}$ $displaystyle$A$}$에 비해 작을$$ 때만 흥미롭다($$특히 모든 $부분집합{\displaystyle }$ B${\displaystyle }${ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle$ B ${\subset G}$는 ${\displaystyle B}$ $displaysty$ B$}$ - 근사치$$ 부분군이다$$).애플리케이션에서는 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(가) 고정되고$$ ${\displaystyle A}$ $displaystyle A}$이(가) 무한대로 이동하는$$ 경우에 종종 사용된다.

집단이 아닌 근사 부분군의 예는 정수의 대칭 구간과 더 일반적으로 산술 진행률에 의해 제시된다.Indeed, for all ${\displaystyle n\geq 1}$ the subset ${\displaystyle X=[-N,N]\subset \mathbb {Z} }$ is a 2-approximate subgroup: the set ${\displaystyle X+X=[-2N,2N]}$ is contained in the union of the two translates ${\displaystyle X+N}$ and ${\displaystyl$$e X-N}$ of ${\displaystyle X}$. A generalised arithmetic progression in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ is a subset in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ of the form ${\displaystyle \{n_{1}x_{1}+\cdots +n_{d}x_{d}: n_{i} \leq N_{i}\}}$, and it is a $$${\displaystyle 2^{}}$ d ${\$ 2$^{d}}$ -영구$$ 부분군

보다 일반적인 예는 미터법이라는 단어의 공에 의해 정밀하게 생성된 영감전트 그룹으로 주어진다.

근사 부분군 분류

정수 그룹 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 대략적인 하위 그룹은 Imre Z에 의해 완전히 분류되었다. 루즈사와 프리만.^[2]그 결과는 다음과 같이 명시되어 있다.

에 의해 생성된 K≥ 1{\displaystyle K\geq 1}에는 CK, cK>0{\displaystyle C_{K},c_{K}>. 0}일 경우에 대한 K{K\displaystyle}⊂ Z{\displaystyle A\subset \mathbb{Z}subgroup -approximate이}관계가 그러한generalised 산술 급수 P{P\displaystyle}에서 대부분의 C. k${\displaystyle C_{K}$ 정수$$ 및 최소 C K ${\displaystyle A{}_{}}$ $displaystyle c_{K}$A ${\displaystyle \}}$ 요소$$($예{\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$+ ${\displaystyle A}$+ ${\displaystyle A}$+ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle$A+A+A$+)$$A\supset$ P$\}.$

상수 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$, C ${\displaystyle K_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle C_{}}$ K ${\$}},c_{K$}}$를 날카롭게 추정할 수 있다$$.^[3]특히 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는$)$ $최대{\displaystyle {}_{}^{}}$ C $display$ {\$displaystyle$ C_${K}$의 번역 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$에 포함되어 있다$$$.$ 즉, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 대략적인 부분군이 "거의 일반화된 산술 진행"이라는$$ 뜻이다.

Breuillard-Green-Tao(여러 다른 사람들에 의해 몇 년 일찍 시작된 노력의 절정)의 작업은 이 결과를 광대한 일반화다.매우 일반적인 형태에서 그 진술은 다음과 같다.^[4]

$K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K\geq$ 1$}$을(를) 그대로 두십시오$.$ 다음과 같은$$ C ${\displaystyle K_{}}$ ${\$이(가) 있다.Let ${\displaystyle G}$ be a group and ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle K}$-approximate subgroup in ${\displaystyle G}$. There exists subgroups ${\displaystyle H\triangleleft G_{0}\leq G}$ with ${\displaystyle H}$ finite and ${\displaystyle G_{0}/H}$ nilpotent such that ${\displaystyle A^{4}\supset H}$, the subgroup generated by ${\displaystyle A^{4}}$ contains ${\displaystyle G_{0}}$, and ${\displaystyle A\subset X\cdot G_{0}}$ with ${\displaystyle X \leq C_{K}}$.

성명서는 또한 영점 그룹 G ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$/ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle$ G_${0}/H$}의 특성(순위와 단계)에 대한 일부 정보를 제공한다$.$

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 유한 행렬 그룹인 경우, 예를 들어 다음과 같이 보다 정확한 결과를 만들 수 있다.^[5]

Let ${\displaystyle K\geq 1}$. For any ${\displaystyle d}$ there is a constant ${\displaystyle C_{d}}$ such that for any finite field ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$, any simple subgroup ${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {F} _{q})}$ and any $$${\displaystyle K}$-approximate subgroup ${\displaystyle A\subset G}$ then either ${\displaystyle A}$ is contained in a proper subgroup of ${\displaystyle G}$, or ${\displaystyle A \leq K^{C_{d}}}$, or ${\displaystyle A \geq G /K^{C_{d}}$$}$.

이 정리는 예를 들어 $S{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ d${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \mathrmatrm {SL} _{d$}(\$mathb {F} _{$q})에 적용된다$.$ 요점은 상수가$$ 필드의 $카디널리티{\displaystyle }$q {\$displaysty q}$에 의존하지 않는다는 것이다.어떤 의미에서 이것은 유한한 단순 선형 그룹("삼각형"이거나, 매우 작거나, 또는 "적절하지 않은")에 흥미로운 근사 부분군(정품 부분군 외에)이 없다고 말한다.

적용들

근사군 분류에 관한 Breuillard-Green-Tao 정리는 다항식 성장군에 대한 그로모프의 정리에 대한 새로운 증거를 제공하는 데 사용될 수 있다.얻은 결과는 (다항식 성장의) 가상 영점 그룹과 다른 그룹 사이에 "성장 격차"가 존재한다는 것을 입증하기 때문에, 즉 성장 함수를 가진 $그룹$이 f$${\$displaystyle f$}의 배수로 경계하는 (초대항식) 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystystyle f}$가 존재한다는 것을 입증하기 때문에 실제로 좀 더 강하다.사실상 무감각하다.^[6]

다른 애플리케이션은 유한 단순 그룹의 Cayley 그래프에서 확장기 그래프를 구성하고 초강력 근사치 관련 주제에 적용된다.^[7][8]

메모들

참조

• Breuillard, Emmanuel (2014). "Expander graphs, property (τ) and approximate groups". In Bestvina, Mladen; Sageev, Michah; Vogtmann, Karen (eds.). Geometric group theory (PDF). IAS/Park City mathematics series. Vol. 21. American Math. Soc. pp. 325–378.
• Breuillard, Emmanuel; Tao, Terence; Green, Ben (2012). "The structure of approximate groups". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 116: 115–221. arXiv:1110.5008. doi:10.1007/s10240-012-0043-9. S2CID 119603959.
• Green, Ben (May 2012). "What is... an approximate group?" (PDF). Notices of the AMS. 59 (5).