첨가제 결합제

적층 결합학은 수학에서 결합학의 한 분야다. 첨가제 콤비네이터학에서 한 가지 주요한 연구 영역은 역문제다:합계 A + B의 크기가 작다고 볼 때, $[\디스플레이스타일$ A$}$와 B$[\디스플레이스타일$ B$]$의 구조에 대해 우리가 뭐라고 말할 수 있을까$?$정수의 경우 고전적 프리만의 정리는 다차원적 관점에서 이 질문에 대한 부분적인 답을 제공한다.산술적 진보

또 다른 일반적인 문제는 ${\displaystyle A}$${\displaystyle }$$displaystyle$A$}$과 B $displaystyle$A }의 관점에서$$ A + ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \{\backslash }$displaystyle $A+B$$}$의 하한을 찾는 것이다$.$ ${\displaystyle 이}$는 A${\displaystyle }$+ ${\displaystyle B}$ $displaystyle A+B}$이(가$$) 충분히 작고 구조적인 c라는 주어진 정보에 대한 역문제로 볼 수 있다.폐쇄는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 또는$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 빈 집합이라는$$ 형식을 취하지만, 문학에서 이러한 문제는 직접적인 문제로도 간주되기도 한다. 이러한 유형의 예로는 Erdős-를 들 수 있다.헤이즐브론 추측(제한된 수량에 대한)과 카우치-데이븐포트 정리. 그러한 문제를 다루기 위해 사용되는 방법들은 종종 결합론, 에르고딕 이론, 분석, 그래프 이론, 집단 이론, 그리고 선형 대수학 및 다항식 방법을 포함한 수학의 많은 다른 분야에서 나온다.

첨가제 조합의 역사

적층결합술은 상당히 새로운 결합술의 한 분야지만(사실 적층결합술이라는 용어는 2000년대 책에서 테렌스 타오와 반 H.Vu에 의해 만들어졌다), 극히 오래된 문제인 카우치-데이븐포트 정리는 이 분야에서 가장 근본적인 결과 중 하나이다.

코치-데이븐포트 정리

A와 B가 프라임 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\mathb {Z}/p\mathb {Z}$의 프라임 순서 순환 그룹 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/${\displaystyle p\mathbb{}}$/displaystyle $p}$의 유한 부분 집합이라고 가정하면 다음과 같은 불평등이 유지된다$.$

${\displaystyle A+B \geq \min(A + B -1,p)}$

보스퍼의 정리

이제 $우리$는 A${\displaystyle }$+ ${\displaystyle B}$의 $총합$에 대한 $카디널리티$에 대한 불평등을 가지게 되었다$.$ 역문제로 질문하는 것은 당연하다. 즉, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 어떤 조건에서 동등성이 유지되는가$$? 보스퍼의 정리가 이 질문에 대답한다. ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle A,$B$\geq 2}($즉, 에지 케이스 제외) 및

$[\displaystyle A+B \leq A + B -1\leq p-2,}$

$그러면$와 $B는$ 같은 차이를 가진 산술 진행률이다$.$ 이는 가법 결합학에서 흔히 연구되는 구조: 산술 진행의 대수적 구조와 비교하여$$ $A{\displaystyle }$+ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A+B}$의 결합 구조를 나타낸다.

플뤼네케-루즈사 불평등

첨가제 결합학에서 유용한 정리는 플뤼네크-루즈사 불평등이다. 이 정리는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 이중 상수 측면에서 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$- m ${\displaystyle A}$ $displaystyle nA-mA }$의 카디널리티에 대한 상한을 부여한다$.$ 예를 들어 플뤼네크-루즈사 불평등을 이용하여 유한한 분야에서 프리만의 정리 버전을 증명할 수 있다.

기본 개념

세트 작업

A와 B를 아벨 집단의 유한 부분 집합으로 하고, 그러면 합 집합은 다음과 같이 정의된다.

$A,b\b\in B\}에서 {a+b:a:a\in B\} 표시방식 A+B=\in B\}}$

예를 들어$,{\displaystyle }$ 우리는 {${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \}}$+${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$2, ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3\}}$=${\displaystyle }${${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle }$4,${\displaystyle 5}$, 6,${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{1,2,3,4\}+\{1$,2$,3\}=\{2,3,4,5,6,$7\}}}A와 B의 차이를 B와 비슷하게 정의할 수 있다$.$

$A,b,b,b\in B\displaystyle A-B=\{a-b:a\in A,b\in B\}}$

여기서 우리는 다른 유용한 정보를 제공한다.

${\displaystyle kA=\underbrace {A+A+\cdots +A} _{k{text{ 용어 }}}=\{a_{1}+\cdots +a_{k}:a_{k}:a_{1}:A\dots ,a_{k}\}}$

A혼동해서는 안 된다.

${\displaystyle k\cdot A=\{ka:a\in A\}}$

더블링 상수

A를 아벨 집단의 하위집단이 되게 하라. Doubleing ${\displaystyle \mathrm{constant}}$는 Set ${\displaystyle A}$+ A $displaystyle A+A}$의 합계가 원래 크기 A와 얼마나 큰지$$ 측정한다. 우리는 A의 Double constant를 정의한다.

${\displaystyle K={\dfrac { A+A}{ A}}.}$

루즈사 거리

A와 B를 아벨 집단의 두 하위집단이 되게 하라. 이 두 세트 사이의 Ruzsa 거리를 수량으로 정의한다.

${\displaystyle d(A,B)=\log {\dfrac {A-B}{\sqrt {A}}}$

루즈사 삼각형 불평등은 루즈사 거리가 삼각형 불평등을 따른다는 것을 말해준다.

$(\displaystyle d(B,C)\leq d(A,B)+d(A,C)}$

그러나 $d{\displaystyle }$ (${\displaystyle A}$, A${\displaystyle }$) ${\displaystyle d(A,A)}$은(는) 0일 수 없으므로$$, Ruzsa 거리는 실제로 메트릭이 아니라는 점에 유의하십시오.

참조

인용구

• Tao, T, & Vu, V. (2012) 첨가제 결합제. 케임브리지: 케임브리지 대학 출판부.
• 그린, B. (2009년 1월 15일). 적층 조합 도서 리뷰. https://www.ams.org/journals/bull/2009-46-03/S0273-0979-09-01231-2/S0273-0979-09-01231-2.pdf에서 검색됨.