연산(수학)

Operation (mathematics)
연산자(수학)와 혼동하지 마십시오.
기본 산술 연산:
  • +, + (표준)
  • -, 마이너스(표현)
  • ,, obelus (디비전)
  • ×, 횟수(곱셈)

수학에서, 연산은 0 이상의 입력 값(오퍼랜드라고 함)을 잘 정의된 출력 값으로 가져가는 함수입니다.오퍼랜드 수(인수라고도 함)는 동작의 아리티입니다.

가장 일반적으로 연구되는 연산은 덧셈과 곱셈과 같은 이항 연산(즉, arity 2의 연산)과 덧셈 역과 곱셈 역과 같은 단항 연산(즉, arity 1의 연산)이다.arity 0 또는 null 연산은 [1][2]상수입니다.혼합곱은 삼원 연산이라고도 하는 arity 3의 연산의 한 예입니다.

일반적으로, 그 진위는 유한하다고 여겨진다.그러나, 때때로 무한 연산이 [1]고려되기도 하는데, 이 경우 유한성의 "일반" 연산을 최종 연산이라고 한다.

부분 연산은 연산과 유사하게 정의되지만 함수 대신 부분 함수가 있습니다.

동작의 종류

바이너리 연산에서는 xx 와 y 의2개의 를 사용하여 결과 x \ x \ y를 반환합니다.

일반적인 연산에는 단항 연산과 이진 연산 유형의 두 가지가 있습니다.단항 연산에는 부정 및 삼각 [3]함수와 같은 하나의 값만 포함됩니다.반면 이진 연산은 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 및 [4]지수를 포함하는 두 가지 값을 취합니다.

연산에는 숫자 이외의 수학적 개체가 포함될 수 있습니다.논리값 true와 false는 및 등의 논리연산을 사용하여 조합할 수 있습니다.벡터는 덧셈과 [5]뺄셈이 가능합니다.회전은 함수 합성 연산을 사용하여 결합할 수 있으며, 첫 번째 회전과 두 번째 회전을 수행합니다.집합에 대한 연산은 이진 연산 연합과 교차 및 [6][7][8]보완의 단항 연산을 포함합니다.함수에 대한 작업에는 구성 및 [9][10]컨볼루션 작업이 포함됩니다.

도메인의 가능한 모든 값에 대해 작업을 정의하지 않을 수 있습니다.예를 들어, 실수에서는 0으로[11] 나누거나 음수의 제곱근을 취할 수 없습니다.작업이 정의되는 값은 정의 도메인 또는 활성 도메인이라고 하는 집합을 형성합니다.생성된 값을 포함하는 집합을 코드메인이라고 하지만 연산에 의해 얻어진 실제 값의 집합은 정의, 활성 코드메인, 이미지 또는 [12][failed verification]범위의 코드메인입니다.예를 들어, 실수에서 제곱 연산은 음수가 아닌 숫자만 생성합니다. 코드메인은 실수 집합이지만 범위는 음수가 아닌 숫자입니다.

연산은 서로 다른 객체를 포함할 수 있습니다. 벡터는 스칼라로 곱하여 다른 벡터(스칼라 [13]곱셈이라고 하는 연산)를 형성할 수 있으며, 두 벡터에 대한 내부 곱셈 연산은 [14][15]스칼라인 양을 생성합니다.연산은 연관성, 교환성, 반교합성, idempotent 등 특정 속성을 가질 수도 있고 가지지 않을 수도 있습니다.

조합된 값은 오퍼랜드, 인수 또는 입력이라고 불리며 생성되는 값은 값, 결과 또는 출력이라고 불립니다.연산은 입력이 0이고 입력이 무한히 많은[1] 경우를 포함하여 입력이 2개 이상일 수 있습니다.

조작자는 조작을 나타내기 위해 사용되는 기호 또는 프로세스를 참조한다는 점에서 조작과 유사하기 때문에 그 관점이 다르다.예를 들어, 피연산자와 결과에 초점을 맞출 때는 종종 "더하기 연산" 또는 "더하기 연산"을 말하지만, 프로세스에 초점을 맞출 때는 "더하기 연산자"(더하기 "더하기 연산자")로 전환한다.

정의.

X1, …, X에서n Y까지의 n-ary 연산 θ는 함수 θ: X1 × … × Xn → Y이다.집합1 X × … × X를n 연산의 도메인, 집합 Y를 연산의 코드메인, 고정 비음수 정수 n(연산자의 수)을 연산의 아리티라고 합니다.따라서 단항 연산은 1의 arity를 가지며, 이진 연산은 2의 arity를 갖습니다.arity 0의 연산(nullary 연산이라고 함)은 코드메인 Y의 요소일 뿐입니다.n-ary 연산은 n개의 입력 도메인에서 합계가 되어 출력 도메인에서 고유한 (n + 1)-ary 관계로도 볼 수 있습니다.

X1, …, X에서n Y까지의 n-ary 부분연산θ는 부분함수θ: X1 × … × Xn → Y이다. n-ary 부분연산은 출력영역에서 고유한 n+1)-ary 관계로도 볼 수 있다.

위는 피연산자의 유한수(값 n)를 나타내는 보통 피니터리 연산이라고 불리는 것을 설명합니다.arity가 무한 서수 또는 [1]기수로 간주되거나 피연산자를 인덱싱하는 임의의 집합으로 간주되는 명백한 확장이 있습니다.

종종 연산이라는 용어의 사용은 함수의 영역이 공도메인의 거듭제곱(즉, 하나 이상의 공도메인 [16]복사본의 데카르트 곱)을 포함한다는 것을 의미하지만, 이것은 벡터가 곱되어 스칼라로 이어지는 점곱의 경우와 같이 결코 보편적이지 않다.n-ary 연산 θn: X → X를 내부 연산이라고 한다.n-ary 연산 δ: Xi × S × Xn − i − 1 → X (여기서 0 δ i < n은 스칼라 집합 또는 연산자 집합 S에 의해 외부 연산이라고 불린다)특히 이항연산에 대해서는 S에 의해 θ: S × X → X를 좌회전연산, S에 의해 θ: X × S → X를 우회전연산이라고 한다.내부 연산의 예로는 벡터 덧셈을 들 수 있으며, 여기서 2개의 벡터가 추가되어 벡터가 된다.외부연산의 예로는 스칼라 곱셈이 있는데, 여기서 벡터는 스칼라 곱셈으로 되어 벡터가 된다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ a b c d "Algebraic operation - Encyclopedia of Mathematics". www.encyclopediaofmath.org. Retrieved 2019-12-10.
  2. ^ DeMeo, William (August 26, 2010). "Universal Algebra Notes" (PDF). math.hawaii.edu. Retrieved 2019-12-09.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Unary Operation". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Binary Operation". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Vector". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27. Vectors can be added together (vector addition), subtracted (vector subtraction) ...
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Union". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  7. ^ Weisstein, Eric W. "Intersection". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Complementation". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  9. ^ Weisstein, Eric W. "Composition". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  10. ^ Weisstein, Eric W. "Convolution". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  11. ^ Weisstein, Eric W. "Division by Zero". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  12. ^ Weisstein, Eric W. "Domain". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-08.
  13. ^ Weisstein, Eric W. "Scalar Multiplication". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  14. ^ Jain, P. K.; Ahmad, Khalil; Ahuja, Om P. (1995). Functional Analysis. New Age International. ISBN 978-81-224-0801-0.
  15. ^ Weisstein, Eric W. "Inner Product". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  16. ^ Burris, S. N.; Sankappanavar, H. P. (1981). "Chapter II, Definition 1.1". A Course in Universal Algebra. Springer.