무게함수

중량 함수는 어떤 원소가 동일한 집합의 다른 원소보다 더 많은 "중량" 또는 결과에 영향을 주기 위해 합, 적분 또는 평균을 수행할 때 사용되는 수학적 장치다. 이 가중치 함수의 적용 결과는 가중 합계 또는 가중 평균이다. 체중 함수는 통계와 분석에서 자주 발생하며, 측정의 개념과 밀접한 관련이 있다. 무게 함수는 이산형 및 연속형 설정에서 모두 사용할 수 있다. 그것들은 "가중 미적분"^[1]과 "메타-미적분"이라고 불리는 미적분학의 체계를 만드는 데 사용될 수 있다.^[2]

이산 웨이트

일반적 정의

이산 설정에서 중량 $함수{\displaystyle }$ w${\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$$$$^+}$은 이산 집합 $A$에 정의된 양의 함수로서$,$ 일반적으로 유한하거나 카운트할 수 있다$.$ $w{\displaystyle }$(${\displaystyle a}$ ) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle w(a):$$=1$}은$($는) 모든 원소의 가중치가 동일한 미가중 상황에 해당한다$$. 그런 다음 이 무게를 다양한 개념에 적용할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm{함수}}$ $f{\displaystyle }$ :${\displaystyle A\mathbb{}}$→ R ${\$이(가) 실제 값 함수인$$ 경우, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 가중되지 않은 합은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle \sum _{a\in A}f(a);}$

그러나 가중치 $함수{\displaystyle w}$ :${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ →$$R + {\$displaystyle w\colon A\to$ \$mathb${R}$$^{+}}에 따라 가중치 합계 또는 원뿔 조합은 다음과 같이 정의된다$.$

$\displaystyle \sum _{a\in A}f(a)w(a)w.}$

가중 총액의 일반적인 적용은 수치 통합에 발생한다.

B가 A의 유한 부분 집합인 경우, 가중 카디널리티로 B의 비가중 카디널리티 B를 대체할 수 있다.

$\displaystyle \sum _{a\in B}w(a).}$

A가 유한한 비어 있지 않은 집합인 경우 가중치가 없는 평균이나 평균을 대체할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{ A}}\sum _{a\in A}f(a)}$

가중 평균 또는 가중 평균으로

${\displaystyle {\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}.}$

이 경우 상대적 가중치만 관련이 있다.

통계

가중 평균은 일반적으로 편향의 존재를 보상하기 위해 통계에 사용된다. 분산 ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$${i}}}$이(가) 측정된$$$$ 수량 $f{\displaystyle }$${\$$\sigma _{i}^{$2}}: 모든 측정값을 w = 1 /$$measurements i${}_{}2\{\backslash textstyle{}_{}^{}$ $w_{i}1/{\sigma _{i}^2}}:$ 평균을 사용하여 신호의 최선의 추정치를 구한다$.$$}$, 그리고 그 결과의 분산은 각각의 독립 측정치보다 작다 $\sigma {}^{}$ $2{}^{}$= 1 /$\sum \underset{}{}$ $i_{}$ $\underset{}{}{}_{}$ ${\$\ \$ma ^{2}=1/\sum _{i}w_{i$ 최대우도법은 동일한 가중치를 ${\displaystyle {사용}_{}}$하여 적합치와 데이터 간의 차이를 가중치$({{\$로 한다$.$

랜덤 변수의 기대값은 해당 변수의 가능한 값의 가중 평균이며 가중치는 각 확률이다. 보다 일반적으로 랜덤 변수의 함수 기대값은 함수가 각 랜덤 변수의 가능한 값에 대해 취하는 값의 확률 가중 평균이다.

종속 변수가 독립 변수의 현재 값과 지연된(과거) 값 모두에 의해 영향을 받는 것으로 가정되는 회귀에서는 분산 지연 함수가 추정되며, 이 함수는 현재 및 다양한 지연 독립 변수 값의 가중 평균이 된다. 마찬가지로 이동 평균 모형은 진화하는 변수를 변수의 가중 평균과 다양한 지연된 변수의 값의 가중 평균으로 지정한다.

역학

중량 함수의 용어는 역학에서 $비롯된다{\displaystyle }$. 레버에 ${\displaystyle {무게}_{}}$가${\displaystyle {}_{}}$1${\displaystyle }$, …${\displaystyle }$, w , ${\displaystyle w_{}}$ , w ${\$ w_{1},\ldots ,w_{n}}(여기서는 무게가 물리적인 의미로 해석됨) 및 $위치{\displaystyle {\mathit{}}_{}{\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle }$, , , , , , , , ${\displaystyle {}_{}}$ , , x , x , x , . . . . . . . . $.{\boldsymboldsymboltymbol{}}}}}}}}}}}}}}},\d$, {x_{x_{$x_${n,\$d$.$otsc ,{\symbol{x}_{n$ 그러면 레버의 풀크림이 질량의 중심에 있으면 레버가 균형을 이룰 것이다.

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{nw_{i}{\symbol{x}}}{\sum _{i=1}^{n1}w_{i}}}}}},}$

이는 또한 $위치{\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$i {\$displaystyle {\positionsymbol{x}_{i}}$의 가중 평균이다$.$

연속체중량

In the continuous setting, a weight is a positive measure such as ${\displaystyle w(x)\,dx}$ on some domain ${\displaystyle \Omega }$, which is typically a subset of a Euclidean space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, for instance ${\displaystyle \Omega }$ could be an interval ${\d$$isplaystyle [a,b$ 여기서 ${\displaystyle d}$ x ${\displaystyle dx}$은(는) Lebesgue 측정값이며 $w{\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$→ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$는 음수가 아닌$$ 측정 함수다. ${\displaystyle 이}$ 맥락에서 $w{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle w(x)}$의 중량 함수를 밀도라고 부르기도$$ 한다.

일반적 정의

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$이(가) 실제 값 함수인 경우 가중치가 없는 적분

${\displaystyle \int _{\Oomega }f(x)\dx}$

가중 적분으로 일반화할 수 있다.

${\displaystyle \int _{\Oomega }f(x)w(x)\,dx}$

이 적분이 유한하려면 $w$${\displaystyle }$($$${\displaystyle x}$) ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$ ${\$dx} $무게와 관련$하여 f {\$displaystyle$ $w(x)\,dx}$을$($를) 절대적으로 통합할 수 있어야$$ 할 수 있다는 점에 유의하십시오.

가중량

E가 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega$ $\}$의 부분 집합인 경우 E의 볼륨(E)을 가중 볼륨으로 일반화할 수 있다.

${\displaystyle \int _{E}w(x)\dx,}$

가중평균

$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$이(가) 0이 아닌 유한 볼륨이면 가중되지 않은 평균을 대체할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {vol}(\Oomega )}}\int_{\Oomega }f(x)\dx}$

가중평균으로

${\displaystyle {\frac {\int _{\Oomega}f(x)\,w(x)\,dx}{\int _{\Oomega }w(x)\,dx}}}}}$

이린형

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$과${\displaystyle }$g : ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}${\$displaystyle$g\$colon \Oomega \to${\$mathb}}}}}}}}$의 두 가지 함수라면$$ 무가 될 수 있다.

${\displaystyle \langle f,g\angle :=\int _{\Oomega}f(x)g(x)\dx}$

가중치 있는 형태로

${\displaystyle \langle f,g\langle :=\int _{\Oomega }f(x)g(x)\w(x)\dx.}$

가중 직교 함수의 예는 직교 다항식 항목을 참조하십시오.

참고 항목

• 질량의 중심
• 수치적 통합
• 직교성
• 가중평균
• 선형결합
• 커널(통계)
• 측정(수학)
• 리만-스티엘트제스 일체형
• 가중치

참조