이산 평가 링

추상 대수학에서 이산 평가 링(DVR)은 0이 아닌 최대 이상이 정확히 한 개인 주요 이상 영역(PID)이다.

즉, DVR은 다음과 같은 동등한 조건 중 하나를 만족하는 통합 도메인 R을 의미한다.

1. R은 필드가 아닌 지역의 주요 이상 영역이다.
2. R은 부가되는 정수에 대해 가치집단이 이형화된 가치평가 링이다.
3. R은 로컬 데데킨드 도메인이며 필드가 아니다.
4. R은 노메테리아 지방 도메인으로, 최대 이상은 필드가 아니라 주체가 된다.^[1]
5. R은 통합적으로 닫힌 노메테리아 로컬 링으로 크룰 치수 1이 있다.
6. R은 0이 아닌 고유한 이상적인 이상을 가진 주요 이상 영역이다.
7. R은 고유한 수정 불가능한 요소(단위별 최대 곱하기)를 가진 주요한 이상적인 영역이다.
8. R은 고유한 수정 불가능한 요소(단위별 최대 곱하기)를 가진 고유한 인자화 도메인이다.
9. R은 밭이 아닌 노메테리아적인 것이며, R의 모든 비제로 분수적 이상은 그것을 적절하게 담고 있는 분수적 이상들의 유한한 교차점이라고 쓸 수 없다는 점에서 돌이킬 수 없다.
10. R의 분수 K 분야에 대해 R = {0}${\displaystyle }${ ${\displaystyle \cup }$ {x${\displaystyle }${$${\$displaystyle \in$}$K$ : x(x) }. 0} 등의 이산 평가 ν이 있다.

예

대수학

디데킨드 링의 국산화

${\displaystyle {\mathrm{Let}}_{}}$ Z${\displaystyle {}_{}}$( 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle :=}${ z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle z\mathbb{}}$, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \in }$ Z${\displaystyle }$, ${\displaystyle \text{n은 홀수}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \mathb {Z} _{(2)}:=\{z/n\mid z,n\in \mathb {Z},\,\n{text}}}}}}}}}}}}}}은($이상하다$.$$그런{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ 다음${\displaystyle {}_{}}$ Z ( $){\$ {$Z} _${($2)}$의 분수 $필드$는 Q ${\$$\mathb {Q}$$$}.$$Q {\$displaystyle$ r$}$의 모든 0이 아닌 $원소{\displaystyle }$r {\$displaystystyle$ r$}$에 대해 r의 분자와 분모를 적용하여 r로 쓸 수 있다$.$ 2^k z/n 여기서 z, n, k는 z와 n 홀수를 갖는 정수다.이 경우 ν(r)=k를 정의한다.그러면 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$( ${\displaystyle 2_{}}$) ${\$은 ν에 해당하는 이산 평가 링이다$$.$Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$(${\displaystyle 2_{}}$ $){\$의 최대 이상은 2에 의해 생성되는 주요 이상이다$$. $즉{\displaystyle \mathrm{}}$, ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ Z${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 2_{}}$)$${\$displaystyle 2\mathb {Z} _{(2$) _{(2$)},$"유일하게" 불분명한 요소(단위까지)는 2(일치 파라미터라고도 한다.$Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$( ${\displaystyle 2_{}}$) ${\$은(는) 2가 생성한 프라임 이상에서 디데킨드 도메인 ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 로컬리제이션이라는 점에 유의하십시오.

보다 일반적으로 0이 아닌 이상에서 디데킨드 도메인의 국산화란 별개의 가치평가 링이다. 실제로, 이것은 종종 별개의 가치평가 링이 발생하는 방법이다.특히, 우리는 반지를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \mathb {Z} _{(p)}=\왼쪽.\left\{\frac{n}{n}\,\right z,n\in \mathb {Z},p\nmid n\right\}}}$

모든 prime p에 대해 완전히 유사하게.

p-adic 정수

p-adic 정수의 링$$ ${\displaystyle {}_{}}$ $p{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$은$($는) 모든 p {\$displaystyle$ $p$$}$에 대해 DVR이다$.$$여기$서$$p {\$displaystystyle$ $p{\displaystyle }$}$$-adic $정수$ x {\$displaystytype k}$에 값을 할당한다$.$${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$$k}}}$은$($는) x를$나눈다$.

포멀 파워 시리즈

DVR의 또 다른 중요한 예는 일부 필드 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ k$} 위$에 있는$$ 하나의 변수 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$에서 형식 파워 시리즈 $R{\displaystyle }$=$$[$T$의 링이다$.$"유일한" 불가해한 요소는 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이고$,$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 최대 이상은 T ${\displaystyle T}$에 의해 생성되는 주요 이상이며$,$ $평가{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \nu}$은(가) 각 전력 시리즈에 첫 번째 0이 아닌 계수의 지수(도)를 할당한다$$.

실제 계수나 복잡한 계수로 우리 자신을 제한한다면 0의 근방에 수렴하는 하나의 변수(전원 계열에 따라 이웃과 함께)에서 권력 계열의 고리를 고려할 수 있다.이것은 별개의 가치평가 고리다.이것은 적정성에 대한 가치 있는 기준을 가지고 직관을 형성하는데 유용하다.

링 인 함수 필드

For an example more geometrical in nature, take the ring R = {f/g : f, g polynomials in R[X] and g(0) ≠ 0}, considered as a subring of the field of rational functions R(X) in the variable X. R can be identified with the ring of all real-valued rational functions defined (i.e. finite) in a neighborhood of 0 on the real axis (with the neighborhood d기능에 대한 에세이딩).그것은 개별적인 가치평가 링이다; "유일한" 불가해한 요소는 X이고 그 가치는 0에서 f의 0의 순서(아마도 0)를 각 함수에 할당한다.이 예는 비성어 점 근처의 일반 대수 곡선을 연구하기 위한 템플릿을 제공하며, 이 경우 대수 곡선은 실제 선이다.

구성-이론적

헨젤리안 특성

DVR $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 경우, 분수 $필드$를${\displaystyle }$K = ${\displaystyle \text{Frac}}$(${\displaystyle R}$ ${\displaystyle )}${\$displaystyle$ K$={\text{Frac}(R)}$ $및$ ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle R\mathfrak{}}$ /${\displaystyle }$m$${\$displaysty \cappa =R/{\mathfrac}로$쓰는 것이 일반적이다.이는 ${\displaystyle \text{규격}(R}$)의 일반 및 폐쇄 지점에 해당한다.${\displaystyle {\text{Spec}(R).$$}$ 예를$$ 들어 ${\displaystyle \text{Spec}}$(${\displaystyle {}_{}}$p $){\displaystyle {\text{Sp})(\mathb$ {Z$} _{p})$의 닫힌 지점은 F ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이고$,$ 일반$$ 지점은 $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ {$Q} _{{{$Q$\}\}\}.$

$\displaystayle \eta \to S\leftarrow s}$

여기서 $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$은(는) 일반 지점이고 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$은(는) 폐쇄 지점이다.

원곡선에서 점의 국산화

Given an algebraic curve ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$, the local ring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,{\mathfrak {p}}}}$ at a smooth point ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ is a discrete valuation ring, because it is a principal valuation ring.참고: $포인트{\displaystyle \mathfrak{}}$ p$${\$displaystyle${\$mathfak{$$p}}}$이(가) 매끄러우므로 로컬 링의 완성은 어느 지점 ${\displaystyle$$\mathb{A}{$$1}{$$1$}}의$$ 국산화 완료에 이형성이 있다$.$

균일화 매개변수

DVR R이 주어진 경우, R의 어떤 불가해한 요소는 R의 고유한 최대 이상에 대한 발전기일 뿐 아니라 그 반대의 경우도 마찬가지다.그러한 원소는 R의 균일화 매개변수(또는 균일화 원소, 균일화 원소 또는 프라임 원소)라고도 한다.

획일화 매개변수 t를 고치면 M=(t)는 R의 고유한 최대 이상이고, 0이 아닌 다른 모든 이상은 M의 힘, 즉 일부 k00에 대한 형태(t ^k)를 가지고 있다.t의 모든 힘은 구별되며, M의 힘도 구별된다.R의 모든 0이 아닌 원소 x는 R과 k≥0의 α 단위를 사용하여 αt ^k 형식으로 작성할 수 있으며, 둘 다 x에 의해 고유하게 결정된다.평가는 ν(x) = kv(t)로 한다.그래서 그 고리를 완전히 이해하기 위해서는 R의 단위 그룹과 그 단위들이 t의 힘과 어떻게 부가적으로 상호작용하는지를 알아야 한다.

v 함수는 또한 모든 이산 평가 링을 유클리드 영역으로 만든다.^{[citation needed]}

위상

모든 이산적 가치평가 링은 지역적 링으로서 자연적 토폴로지를 운반하며 위상학적 링이다.또한 다음과 같이 두 원소 x와 y 사이의 거리를 측정할 수 있는 미터법 공간 구조를 제공할 수 있다.

${\displaystyle x-y =2^{-\nu(x-y)}}}$

(또는 2 대신 1 이상의 고정된 실수와 함께).직관적으로: 요소 z는 "작다"고 평가 valuation(z)가 크면 "0에 가깝다"고 한다.함수 x-y는 0 =0으로 보완되며 이산 평가 링의 분수 영역에 정의된 절대값의 제한이다.

DVR은 완전하고 잔여 필드 R/M이 유한 필드인 경우에만 컴팩트하다.

전체 DVR의 예는 다음과 같다.

• p-adic 정수의 링과
• 어떤 분야든 형식적인 권력 시리즈의 고리

특정 DVR의 경우 학습이 더 쉬운 해당 링이 포함된 완전한 DVR이 완성되는 경우가 많다.이 완성 절차는 합리적인 기능에서 파워 시리즈로, 또는 합리적인 숫자에서 현실로 전달되는 기하학적 방식으로 생각할 수 있다.

우리의 예로 돌아가보자: 실제 계수가 있는 하나의 변수에 있는 모든 공식 파워 시리즈의 링은 실제 라인의 0에 가까운 거리에서 정의된 합리적 기능의 링(즉, 유한)의 완성이다. 또한 0에 가깝게 수렴되는 모든 실제 파워 시리즈의 링의 완성이기도 하다.${\displaystyle Z\mathbb{}{p}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$= Q ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$p}{$p}($p-adic 정수인 모든 합리적인 숫자의 집합으로 볼 수 있음)의 완료는 모든 p-adic 정수 Z의_p 링이다.

참고 항목

• 범주:지역화(수학)
• 국부 반지
• 로컬 필드의 래미화
• 코언 반지
• 밸류에이션 링

참조

• Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (3rd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-43334-7, MR 2286236
• 수학의 백과사전인 이산 평가 링.