파생 텐서 제품

대수학에서, 교환 링 R에 대해 차등 등급 대수 A를 부여한 경우, 파생 텐서 제품 펑터는 다음과 같다.

${\displaystyle -\otimes _{A}^{{A}-:D({\mathsf{M}_{A}\time D({}_{A}{\mathsf{M})\to({}_{R}{\mathsf{M}}}}}})}}}}}}}}}$

여기서 $M{\displaystyle {\mathsf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathsf{}}$ ${\$$}{\displaystyle {}{A}{\mathsf{M}}$은 오른쪽 A-module의 범주이며 왼쪽 A-modules와 D는 호모토피 범주(즉, 파생 범주)를 가리킨다.^[1]By definition, it is the left derived functor of the tensor product functor ${\displaystyle -\otimes _{A}-:{\mathsf {M}}_{A}\times {}_{A}{\mathsf {M}}\to {}_{R}{\mathsf {M}}}$.

파생 링 이론의 파생 텐서 제품

R이 일반 링이고 그 위에 M, N, 좌측 모듈이 있는 경우, 이를 이산 스펙트럼으로 간주하여 다음 중 하나의 스매시 제품을 형성할 수 있다.

${\displaystyle M\otimes _{R}^{L}N}$

i-th 호모토피가 i-th Tor:

${\displaystyle {\pi }_{}}$ ${\displaystyle i_{}M}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ R ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{Tor}}_{}^{}}$ I ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle M}$, N${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi _{i}(M\otimes _{R}^{L}N)=\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,N$

M과 N의 파생 텐서 제품이라고 불린다.특히 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}M}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ R ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle \pi _{0}(M\otimes _{R}^{L}N)$은 R에서 모듈 M과 N의 일반적인 텐서 제품이다.

기하학적으로, 파생 텐서 제품은 (파생된 구성의) 교차 생산물에 해당한다.

예: R은 단순한 조합 링이 되고, Q(R) → R은 공동조합형 대체물이 되며, $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {Q(R)}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$1}는$$ Kahler 미분류의 모듈이다.그러면

${\displaystyle \mathb {L} _{R}=\Oomega _{Q(R)}^{1}\otimes _{Q(R)}^{L}R}$

R의 코탄젠트 콤플렉스로 불리는 R-모듈이다.R: 각 R → S에서 L $R{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$ 각 R → S에 대해 S-modules의 코피버 시퀀스가 있다.

${\displaystyle \mathb {L} _{S/R}\to \mathb {L}\{R}\otimes _{R}^{R}S\to \mathb {L}_{S}.}$

코파이버 $L{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle R_{}}$ ${\$ {$L} _{S/R}}$은(는) 상대 코탄젠트 콤플렉스라고 불린다$$.

참고 항목

• 파생 체계(계속 텐서 제품은 계통-계통 교차점의 파생 버전을 제공한다.)

메모들

참조

• 루리, J, 스펙트럼 대수 기하학(건설 중)
• Moerdijk-Toen 제2부 제4강, 연산자 및 대수기하학을 위한 간단한 방법
• 토엔베조시 HAG II 2.2장