완화곡선 배열 모형

음악 이론에서 나선 배열 모델은 확장된 형태의 피치 공간이다.동심 나선형("나선의 배열")을 포함하는 수학 모델로서, 그것은 같은 기하학적 공간에서 투구, 화음, 키에 대한 인간의 인식을 나타낸다.그것은 2000년 일레인 츄가 MIT 박사학위 논문 "토나ity의 수학 모델을 향하여"에서 제안한 것이다.^[1]츄 등에 의한 추가 연구는 나선 배열 모델의 수정을 낳았으며, 키 찾기(기호 및 오디오^[2]^[3]), 피치 철자법,^[4]^[5]^[6]^[7] 톤 분할,^[8]^[9] 유사성 평가,^[10] 음악적 유머 등 음악 이론과 연습의 다양한 문제에 적용했다.^[11]확장 및 용도는 Tonality의 Mathematical 및 Computing Modeling에 설명되어 있다. 이론 및 응용 프로그램.^[12]

나선 배열 모델은 투구를 2차원 격자(배열) 구조로 매핑하는 일반화된 톤네츠로 볼 수 있다.나선형 배열은 2차원 톤네츠를 3차원 격자로 감싸고 격자 공간 내부에 화음, 키 등 고차 구조를 모델링한다.이것은 나선 배열 모델이 저수준 구조와 고수준 구조 사이의 관계에 대한 기하학적 해석을 만들 수 있게 한다.예를 들어, 나선 배열 공간에서 점으로 표현되는 특정 피치와 특정 키 사이의 거리를 기하학적으로 모델링하고 측정할 수 있다.음치 철자를 보존하기 위해, 음악적으로 A# ≠ Bb의 기능과 용도에 있어서, 나선 배열은 극성 동등성을 가정하지 않는다. 즉, 그것은 토러스(torus)로 접히지 않는다.음, 화음, 키 사이의 공간적 관계는 톤 공간의 다른 표현에 있는 것과 일치한다.^[13]

모델과 그 실시간 알고리즘은 톤 시각화 소프트웨어 MuSA에서 구현되었다.RT^[14]^[15](Smusic on the Spiral Array. Real-Time)와 무료 앱인 MuSA_RT는 모두 음악 교육 영상과^[17]^[18] 라이브 공연에서 사용되어 왔다.^[16]^[19]^[20]^[21]

나선 배열의 구조

나선 배열 모델: 피치 클래스, 주/소음 코드, 주/소음 키 헬리컬

제안된 모델은 5개의 동심 나선형으로 표현된 기본 피치, 주요 화음, 부현음, 주요 키 및 부키를 포함한다.피치나선의 제형으로 시작하여, 내측나선은 외측나선의 포인트의 볼록한 조합으로 생성된다.예를 들어, 피치 C, E, G는 삼각형의 윤곽을 나타내는 데카르트 포인트 P(0), P(1), P(4)로 표현된다(다음 절의 정의 참조).이 세 점의 볼록한 조합은 삼각형 내부의 한 점이며, 그 효과의 중심(ce)을 나타낸다.이 내부 지점인 C_M(0)는 나선 배열 모델에서 C 주 현을 나타낸다.마찬가지로, 키는 I, IV 및 V 화음의 효과 중심으로 구성될 수 있다.

외나선은 투구 계급을 나타낸다.이웃한 피치 클래스는 완벽한 5분의 1의 음악 간격이며, 공간적으로는 4분의 1 회전이다.피치 클래스의 순서는 5단 선으로 결정할 수 있다.예를 들어, C는 G(C와 G는 완벽한 5번째 간격), 그리고 D(G와 D는 완벽한 5번째 간격) 등이 뒤따를 것이다.이러한 구조의 결과로서, 그리고 그 선택으로 이어지는 중요한 속성 중 하나로서, 수직적인 이웃은 주요한 3분의 1의 음악 간격이다.따라서, 피치 클래스의 가장 가까운 이웃과 그 자체가 완벽한 5번째와 주요한 3번째 간격을 형성한다.
나선을 따라 연속 3중주를 취하여 그 효과의 중심을 연결함으로써 피치나선 내부에 2중 나선이 형성되어 주요 화음을 나타낸다.
마찬가지로 적절한 경삼중주를 취하여 그 효과의 중심을 연결함으로써 제3나선이 형성되어 경삼중현상을 나타낸다.
주요 키 나선은 I, IV, V 화음의 효과 중심 효과 중심으로 형성된다.
마이너 키 나선은 i, iv/IV 및 V/v 코드의 유사한 조합을 연결하여 형성된다.

피치, 코드 및 키 표현에 대한 방정식

I, IV 및 V 코드의 효과 중심으로서 주요 키 표현을 생성하며, 이는 정의 피치의 효과 중심으로서 차례로 생성된다.

I, IV 및 V/v 화음의 효과 중심으로서 부차적인 키 표현을 생성하며, 이는 정의 피치의 효과 중심으로서 차례로 생성된다.

츄의 모델에서 피치 등급 나선형 P는 다음과 같이 파라메트릭 형태로 표현된다.

P(k)={\begin{bmatrix}x_{k}\\y_\nd{k}\\nd{bmatrix}={\bmatrix}r\r(k\cdotpi /2)\r\cos(k\cdotpi /2)\h\{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

여기서 k는 5초의 선을 따라 C로부터 피치의 거리를 나타내는 정수, r은 나선형의 반지름, h는 나선형의 "상승"이다.

주현 나선, C는_M 다음과 같이 표현된다.

C_{M}=w_{1}\cdot P(k)+{2}\cdot P(k+1)+{3}\cdot P(k+4)

여기서 w $w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}>0$ $w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}>0$ $w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}>0$ $w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}>0$ $w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}>0$ w $w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}>0$ > $w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}>0$ ${\displaystyle w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}}}}} 및$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{3}w_{i}=1}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{3}w_{i}=1}$ = 1 ${\textstyle \sum _{i=1}^{3}w_{i}=1}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{3}w_{i}=1}$ = ${\textstyle \sum _{i=1}^{3}w_{i}=1}$ ${\textstyle \sum \{i=1}^{3}w_{i}=$ 1}= $1$

가중치 "w"는 효과의 중심이 화음의 기본, 세 번째, 완전한 다섯 번째에 얼마나 가까운가에 영향을 미친다.이러한 가중치의 상대적 값을 변경함으로써 나선 배열 모델은 결과 화음이 세 개의 구성 요소 피치에 얼마나 "닫히는"지를 제어한다.일반적으로 서양음악에서는 화음(w1)을 식별하는 데 있어서 근본이 가장 큰 비중을 두고, 그 다음이 다섯 번째(w2)이고, 그 다음이 세 번째(w3)이다.

부현 나선, C는_m 다음과 같이 표현된다.

C_{m}(k)=u_{1}\cdot P(k)+u_{2}\cdot P(k+1)+u_{3}\cdot P(k-3)

여기서 $u_{1}\geq u_{2}\geq u_{3}>0$ $u_{1}\geq u_{2}\geq u_{3}>0$ 1 $u_{1}\geq u_{2}\geq u_{3}>0$ $u_{1}\geq u_{2}\geq u_{3}>0$ $u_{1}\geq u_{2}\geq u_{3}>0$ > $u_{1}\geq u_{2}\geq u_{3}>0$ ${\displaystyle u_{1}\geq u_{3}}} 및$ $\sum _{i=1}^{3}u_{i}=1.$ i = $\sum _{i=1}^{3}u_{i}=1.$ $\sum _{i=1}^{3}u_{i}=1.$ $\sum _{i=1}^{3}u_{i}=1.$ = $\sum _{i=1}^{3}u_{i}=1.$ 1. ${\displaysty$ . $}$

가중치 "u"는 주요 화음과 유사하게 기능한다.

주요 키 나선형 T는_M 다음과 같이 표현된다.

T_{M}(k)=\omega _{1}\cdot P(k)+\omega _{2}\cdot P(k+1)+\omega _{3}\cdot P(k-1)

$여기$ 서 $\omega _{1}\geq \omega _{2}\geq \omega _{3}>0$ $\omega _{1}\geq \omega _{2}\geq \omega _{3}>0$ Ω $\omega _{1}\geq \omega _{2}\geq \omega _{3}>0$ $\omega _{1}\geq \omega _{2}\geq \omega _{3}>0$ > 0 ${\displaystyle \omega$ \omega $_{1}\geq \omega \{3}}}}$ 및 $\omega _{1}\geq \omega _{2}\geq \omega _{3}>0$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{3}\omega _{i}=1}$ i = ${\textstyle \sum _{i=1}^{3}\omega _{i}=1}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{3}\omega _{i}=1}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{3}\omega _{i}=1}$ _{ $i=1$ }\ $i}\i1$

구성 요소 피치가 자신이 생성하는 화음의 효과 중심에 얼마나 가까운지를 제어하는 가중치와 유사하게, 가중치 $\omega$ $\omega$ 은 결과 키에 얼마나 가까운지 결정할 때 I, IV 및 V 화음의 상대적 효과를 제어한다 $\omega$ .

마이너 키 나선 T는_m 다음과 같이 표현된다.

T_{m}(k)=\nu _{1}\cdot C_{M}(k)+\nu _{2}\cdot (\alpha \cdot C_{M}(k+1)+(1-\alpha )\cdot C_{m}(k+1))+\nu _{3}\cdot (\beta *C_{m}(k-1)+(1-\beta )\cdot C_{M}(k-1)).

where $\nu _{1}\geq \nu _{2}\geq \nu _{3}>0$ and $\nu _{1}+\nu _{2}+\nu _{3}=1$ and $0\geq \alpha \geq 1$ and $\beta \geq 1$ .

참조

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^ Mardirossian, Arpi; Chew, Elaine (2006). "Music Summarization Via Key Distributions: Analyses of Similarity Assessment Across Variations" (PDF). Proceedings of the International Conference on Music Information Retrieval. Victoria, Canada. pp. 613–618.
^ Chew, Elaine; François, Alexandre (2007). "Visible Humour — Seeing P.D.Q. Bach's Musical Humour Devices in The Short-Tempered Clavier on the Spiral Array Space". Mathematics and Computation in Music, First International Conference, MCM 2007 Berlin, Germany, May 18–20, 2007 Revised Selected Papers. Berlin Heidelberg: Springer. pp. 11–18. doi:10.1007/978-3-642-04579-0_2.
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^ Megan Swan (12 December 2014). See What You Hear. 3:41 minutes in. Inside the Music. Los Angeles Philharmonic.
^ Eric Mankin (20 January 2010). Engineer-Pianist Elaine Chew Talks About Using Mathematical and Software Tools to Analyze Music. 5:49 minutes in. Viterbi. University of Southern California.
^ Avril, Tom (22 September 2008). "Analyzing music the digital way—Computers have exquisite ears". Philadelphia Inquirer. Philadelphia, Pennsylvania. Retrieved 1 December 2015.
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^ "New Resonances Festival". Wilton's Music Hall, London. 19 June 2012.

추가 읽기

Chew, Elaine (2014). Mathematical and Computational Modeling of Tonality: Theory and Applications. International Series in Operations Research & Management Science. Springer. ISBN 9781461494744.
Chew, Elaine (2000). Towards a Mathematical Model of Tonality (Ph.D.). Massachusetts Institute of Technology. hdl:1721.1/9139.
Megan Swan (12 December 2014). See What You Hear. 3:41 minutes in. Inside the Music. Los Angeles Philharmonic.
Eric Mankin (20 January 2010). Engineer-Pianist Elaine Chew Talks About Using Mathematical and Software Tools to Analyze Music. 5:49 minutes in. Viterbi. University of Southern California.
MIDI 입력을 위한 Spiral 어레이 모델을 구현하고 애니메이션화하는 무료 Mac 앱François, Alexandre (2012). "MuSA_RT"..

[1] Chew, Elaine (2000). Towards a Mathematical Model of Tonality (Ph.D.). Massachusetts Institute of Technology. hdl:1721.1/9139.

[2] Chuan, Ching-Hua; Chew, Elaine (2005). "Polyphonic Audio Key Finding Using the Spiral Array CEG Algorithm". Multimedia and Expo, 2005. ICME 2005. IEEE International Conference on. Amsterdam, The Netherlands: IEEE. pp. 21–24. doi:10.1109/ICME.2005.1521350. 0-7803-9331-7.

[3] Chuan, Ching-Hua; Chew, Elaine (2007). "Audio Key Finding: Considerations in System Design and Case Studies on Chopin's 24 Preludes". EURASIP Journal on Advances in Signal Processing. 2007 (56561). doi:10.1155/2007/56561. Retrieved 1 Dec 2015.

[4] Chew, Elaine; Chen, Yun-Ching (2005). "Real-Time Pitch Spelling Using the Spiral Array". Computer Music Journal. 29 (2): 61–76. doi:10.1162/0148926054094378. JSTOR 3681713.

[5] Chew, Elaine; Chen, Yun-Ching (2003). "Determining Context-Defining Windows: Pitch Spelling using the Spiral Array" (PDF). Proceedings of the International Conference on Music Information Retrieval. Baltimore, Maryland.

[6] Chew, Elaine; Chen, Yun-Ching (2003). "Mapping Midi to the Spiral Array: Disambiguating Pitch Spellings". Computational Modeling and Problem Solving in the Networked World. Phoenix, Arizona: Springer. pp. 259–275. doi:10.1007/978-1-4615-1043-7_13.

[7] Meredith, David (2007). "Optimizing Chew and Chen's Pitch-Spelling Algorithm" (PDF). Computer Music Journal. 31 (2): 54–72. doi:10.1162/comj.2007.31.2.54.

[8] Chew, Elaine (2002). "The Spiral Array: An Algorithm for Determining Key Boundaries". Music and Artificial Intelligence, Second International Conference. Edinburgh: Springer. pp. 18–31. LNAI 2445.

[9] Chew, Elaine (2005). "Regards on two regards by Messiaen: Post-tonal music segmentation using pitch context distances in the spiral array". Journal of New Music Research. 34 (4): 341–354. doi:10.1080/09298210600578147.

[10] Mardirossian, Arpi; Chew, Elaine (2006). "Music Summarization Via Key Distributions: Analyses of Similarity Assessment Across Variations" (PDF). Proceedings of the International Conference on Music Information Retrieval. Victoria, Canada. pp. 613–618.

[11] Chew, Elaine; François, Alexandre (2007). "Visible Humour — Seeing P.D.Q. Bach's Musical Humour Devices in The Short-Tempered Clavier on the Spiral Array Space". Mathematics and Computation in Music, First International Conference, MCM 2007 Berlin, Germany, May 18–20, 2007 Revised Selected Papers. Berlin Heidelberg: Springer. pp. 11–18. doi:10.1007/978-3-642-04579-0_2.

[12] Chew, Elaine (2014). Mathematical and Computational Modeling of Tonality: Theory and Applications. International Series in Operations Research & Management Science. Springer. ISBN 9781461494744.

[13] Chew, Elaine (2008). "Out of the Grid and Into the Spiral: Geometric Interpretations of and Comparisons with the Spiral-Array Model" (PDF). Computing in Musicology. 15: 51–72.

[14] Chew, Elaine; François, Alexandre (2003). "MuSA.RT: music on the spiral array. real-time". MULTIMEDIA '03 Proceedings of the eleventh ACM international conference on Multimedia. Berkeley, California: ACM. pp. 448–449.

[15] Chew, Elaine; François, Alexandre (2005). "Interactive multi-scale visualizations of tonal evolution in MuSA.RT Opus 2". Computers in Entertainment. 3 (4): 3. doi:10.1145/1095534.1095545.

[16] François, Alexandre (2012). "MuSA_RT".

[17] Megan Swan (12 December 2014). See What You Hear. 3:41 minutes in. Inside the Music. Los Angeles Philharmonic.

[18] Eric Mankin (20 January 2010). Engineer-Pianist Elaine Chew Talks About Using Mathematical and Software Tools to Analyze Music. 5:49 minutes in. Viterbi. University of Southern California.

[19] Avril, Tom (22 September 2008). "Analyzing music the digital way—Computers have exquisite ears". Philadelphia Inquirer. Philadelphia, Pennsylvania. Retrieved 1 December 2015.

[20] Hardesty, Larry (2008). "The Geometry of Sound". Technology Review: MIT News Magazine: 111. Retrieved 1 December 2015.

[21] "New Resonances Festival". Wilton's Music Hall, London. 19 June 2012.

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