Clairaut의 관계(차이 기하학)

고전적인 미분 기하학에서, 알렉시스 클로드 드 클라라우트의 이름을 딴 클라라우트의 관계는 제품 r×코스(()가 단위 구체에서 일정하다는 것을 나타내는 공식이다.

${\displaystyle r(t)\cos \teta(t)={\text{data},\,}$

여기서 r(t)는 큰 원의 점으로부터 z축까지의 거리, θ(t)는 접선 벡터와 위도 원 사이의 각도다. 그 관계는 임의의 혁명 표면의 지질학자에게 유효하다.

Clairaut의 관계에 대한 공식적인 수학적 진술은 다음과 같다.^[1]

γ 회전 S 표면의 지오데틱이 되게 하고, ρ 회전 축으로부터 S 지점의 거리가 되게 하며, ψ은 γ과 S의 경혈 사이의 각이 되게 한다. 그러면 ρ 죄악 along은 along을 따라 일정하게 된다. 반대로 ρ sin ψ 표면의 어떤 곡선 along을 따라 일정하고, γ의 일부가 S의 어느 정도 평행인 경우 γ은 지오데틱이다.

— Andrew Pressley: Elementary Differential Geometry, p. 183

프레스리(p. 185)는 입자가 지오데틱을 표면에 유지하는 힘 이외의 힘으로는 지오데틱을 따라 미끄러질 때 혁명의 축에 대한 각운동량의 보존의 표현으로 이 정리를 설명한다.

참조

• M. do Carmo, Curve and Surface의 차등 기하학, 257페이지.

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