변형률 텐서

연속역학에서 변형률 텐서 또는 변형률 텐서(rate- rate of strain tensor)는 특정 시점의 근방에 있는 물질의 변형률 변화율을 특정 순간에 설명하는 물리량이다. 시간에 관한 변형률 텐서(strain tensor)의 파생물 또는 흐름 속도의 구배(위치에 관한 파생물)의 대칭 성분으로 정의할 수 있다. 유체 역학에서는 유체의 속도가 유체 내의 다른 지점들 사이에서 어떻게 변화하는지 측정하는 속도 구배라고도 설명할 수 있다.^[1] 이 용어는 파이프 내 흐름 층간 속도 차이를 나타낼 수 있지만,^[2] 좌표에 대한 흐름 속도의 구배를 의미하는 경우가 많다.^[3] 이 개념은 자기유체역학, 광업, 수처리 등 물리학과 공학 분야의 다양한 분야에서 시사하는 바가 있다.^[4][5][6]

변형률 텐서는 물질의 거시적인 움직임을 설명하는 순수한 키네마틱 개념이다. 따라서, 그것은 물질의 성질이나, 물질에 작용하는 힘과 스트레스에 의존하지 않으며, 고체, 액체, 기체 등 모든 연속적인 매체에 적용된다.

한편, 슈퍼플루오르드를 제외한 모든 액체의 경우, 변형의 모든 점진적인 변화(즉, 0이 아닌 변형률 텐서)는 그 변화에 반대하는 경향이 있는 인접 액체 요소들 간의 마찰로 인해 내부에는 점성력을 발생시킨다. 유체의 어느 지점에서든 이러한 스트레스는 거의 항상 변형률 텐서 및 그 지점에서 유체의 특정 내적 특성에 의해 완전히 결정되는 점성 응력 텐서(Scotus stress tensor)로 설명할 수 있다. 점성 응력은 또한 고형분에서도 발생하며, 정적 변형에서 관찰되는 탄성 응력에 더하여 발생하며, 너무 커서 무시할 수 없을 때는 물질이 점탄성이 있다고 한다.

치수 분석

치수 분석을 수행하여 속도 구배 치수를 결정할 수 있다. 속도의 $치수$는 ${\displaystyle {M\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ L ${\displaystyle 1^{}{}^{}{}^{}}$ - 1 ${\$M^{$0}L^{$1}$T^{-1}$이며,$$ 거리 치수는 M ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ L ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {T\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\$1}{1}{1}{1}}}이다$.$$T^{0$ 속도 구배는 $\Delta {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\text{속도}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\Delta }{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{\text{거리}}{}}$ ${\$ {\$delta {\text{velocity}}}{\Delta {\text{distance}}}}}}$로 표현할 수 있기 때문이다$.$ 따라서 속도 구배는 이 비율과 동일한 치수를 가진다. ${\displaystyle M^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ L ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$.

연속역학에서

3차원에서는 속도 $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 그라데이션 ${\$은(는) 2차 텐서 $J{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ {$J$$}($아래 참조)이며$$, $L{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$$:

${\displaystyle{\bf{{나는}=\nabla{\bf{{v}={\begin{bmatrix}{\frac{\partial v_{)}}{x\partial}}&{\frac{\partial v_{)}}{이\partial}}&{\frac{\partial v_{)}}{z\partial}}\\{\frac{\partial v_{y}}{x\partial}}&{\frac{\partial v_{y}}{이\partial}}&{{\frac{\partial v_{y}}{z\partial}}년}\\{\frac{\partial v_{z}}{x\partial}}&,{\frac. {\partial v_{z}}{\partial y}&{\frac {\reason v_{z}{\reason z}}\end{bmatrix}}}}}}$

${\displaystyle \mathbf{L}}$ ${\$은(는) 다음과 같이$$$$ 대칭 $행렬{\displaystyle }$ E ${\$과(와) 대칭 행렬 $W{\displaystyle }$ ${\$ {$W}$의 합으로 분해할 수 있다$$.

${\displaystyle {\begin{aigned}{\bf{E}&={\frac {1}{1}{1}2}}\왼쪽({\bf {{L}+{\bf {{L}^{\textsf{T}}}}}}}}}\오른쪽)\\\bf{W}&={\frac {1}{1}:{2}}-{\bf {{L}-{\bf {{L}^{\textsf{T}}}}\끝{정렬}}}}}}}$

${\displaystyle \mathbf{\text{E}}}$ ${\$는 스트레인율 텐서라고 하며 스트레칭과 쉐어링의 비율을 설명한다. ${\displaystyle \mathbf{\text{W}}}$ ${\$^[7]W}}는 스핀 텐서라고 하며 회전 속도를 설명한다.

전단응력과 속도장과의 관계

아이작 뉴턴 경은 전단 응력이 속도 구배와 정비례한다고 제안했다.

${\displaystyle \tau }$= ${\displaystyle \mu \frac{\mathrm{}}{}}$u ${\displaystyle \frac{u}{}}$ ${\$

비례성의 상수인 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$을$($를) 동적 점도라고 한다.

형식 정의

고체 또는 유체 중 우주에서 흐르거나 움직이는 물질 본체를 고려하십시오. v를 체내 속도장이 되게 한다. 즉, ℝ³ × ℝ의 부드러운 함수로서, v(p, t)는 시간 t에서 p점을 통과하는 물질의 거시적 속도다.

작은 벡터 r에 의해 p에서 변위된 지점에서의 속도 v(p + r, t)는 Taylor 시리즈로 기록할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {v}(\mathbf {p} +\mathbf {r},t)=\mathbf {v}(\mathbf {p},t)+(\mathbf {r}+{text},}})},}},},}$

여기서 ∇v 속도장의 경사로, 변위 벡터 r을 속도 변화에 따른 선형 지도로 이해한다.

임의의 기준 프레임에서 ∇v는 필드의 자코비안 행렬과 관련된다. 즉, 3차원에서는 3 × 3 행렬이다.

${\displaystyle \nabla \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\partial _{1}v_{1}&\partial _{2}v_{1}&\partial _{3}v_{1}\\\partial _{1}v_{2}&\partial _{2}v_{2}&\partial _{3}v_{2}\\\partial _{1}v_{3}&\partial _{2}v_{3}&\partial _{3}v_{3}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} .}$

여기서 v는_i 축 i와 ∂_jf에 평행한 v의 구성 요소로서 공간 좌표_j x와 관련하여 함수 f의 부분적인 파생물을 나타낸다. J는 p와 t의 함수라는 점에 유의한다.

이 좌표계에서는 p에 가까운 속도에 대한 테일러 근사치는 다음과 같다.

${\displaystyle v_{i}(\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}J_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)r_{j};}$

또는 간단히

${\displaystyle \mathbf {v}(\mathbf {p} +\mathbf {r},t)=\mathbf {v}(\mathbf {p},t)+\mathbf {J}(\mathbf {p},t)\mathbf {r}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

v와 r이 3 × 1 행렬로 보이는 경우.

대칭 및 대칭 부분

모든 행렬은 대칭 행렬과 대칭 행렬의 합으로 분해될 수 있다. 이것을 각각 대칭 성분과 대칭 성분 E와 R로 Jacobian 행렬 J = ∇v에 적용하면:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} +\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)&\mathbf {R} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} -\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)\\E_{ij}&={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(\partial _{j}v_{i}++\partial _{i}v_{j}\오른쪽)&&R_{ij}&={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(\partial _{j}v_{i}-\partial _{i}-\partial _{i}v_{j}\오른쪽)\end{aigned}}}}}}}}$

이 분해는 좌표계와는 독립적이며, 물리적 의미도 있다. 그런 다음 속도 장은 다음과 같이 근사하게 추정할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)\approx \mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+\mathbf {E} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+\mathbf {R} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} ),}$

그것은

${\displaystyle{\begin{정렬}(\mathbf{p}+\mathbf{r},t)&, =v_ᆱ(\mathbf{p},t)+\sum _ᆲE_ᆳ(\mathbf{p},t)r_{j}+\sum _ᆵR_ᆶ(\mathbf{p},t)r_{j}\\&, =v_ᆸ(\mathbf{p},t)+{\frac{1}{2}}\sum _ᆻ\left(_{j}v_{나는}(\mathbf{p},t\partial)+\partial _ᆼv_ᆽ(\mathbf{p},t)\right)r_{j}+{\frac{1}{2}}\sum _{j}\left(\partial _{j}v._{나는}(\mathbf {p},t)-\regated _{i}v_{j}(\mathbf {p},t)\right)r_{j}\end{aigned}}}}}}$

비대칭 용어 R은 p점에 대한 유체의 경직된 회전을 나타낸다. 각속도 $\Omega {\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$은(는)

${\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\partial _{2}v_{3}-\partial _{3}v_{2}\\\partial _{3}v_{1}-\partial _{1}v_{3}\\\partial _{1}v_{2}-\partial _{2}v_{1}\end{bmatrix}}.}$

∇ × v 제품을 벡터장의 회전 컬이라고 한다. 경직된 회전은 유체 원소의 상대적 위치를 변경하지 않으므로 속도 구배의 비대칭 용어 R은 변형의 변화 속도에 기여하지 않는다. 따라서 실제 변형률은 대칭 E 용어로 설명되며, 변형률 텐서인 변형률 텐서)로 설명된다.

전단율 및 압축률

속도 구배(스트레인 속도 텐서)의 대칭 용어 E는 스칼라의 합이 단위 텐서와 점진적인 등방성 팽창 또는 수축을 나타내는 미량 없는 대칭 텐서 및 부피 변화 없이 점진적인 피복 변형을 나타내는 추적이 없는 대칭 텐서로서 더 분해될 수 있다.^[9]

${\displaystyle \mathbf {p},t)(\mathbf {r})(\mathbf {d}(\mathbf {p},t)(\mathbf {r})+\mathbf {S}(\mathbf {p},t)(\mathbf {r}).}$

그것은

${\displaystyle E_{ij}=\underbrace {{\frac {1}{3}}\left(\sum _{k}\partial _{k}v_{k}\right)\delta _{ij}} _{{\text{rate-of-expansion tensor }}D_{ij}}+\underbrace {\overbrace {{\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}v_{j}+\partial _{j}v_{i}\right)} ^{E_{ij}}-D_{ij}} _{{\text{rate-of-shear tensor }}S_{ij}},}$

여기서 Δ는 단위 텐서인데, Δ는 i = j이면 1이고, Δ_ij j이면 0이다. 이 분해는 좌표계의 선택과는 무관하며 따라서 물리적으로 유의하다.

팽창 속도 텐서의 흔적은 속도장이 발산하는 것이다.

${\displaystyle \cdla \cdot \mathbf {v} =\mathbf _{1}v_{1}+\messages _{2}v_{3};}$

즉, 그 시점에서 일정한 양의 유체의 부피가 증가하는 비율이다.

전단율 텐서는 대칭 3 × 3 행렬로 표현되며, 부피 변화가 없도록 직교 축 3개를 따라 압축과 팽창 흐름을 결합한 흐름을 설명한다. 예를 들어 고무줄기가 끝을 잡아당겨 늘어나거나, 꿀이 스푼에서 매끈매끈하지 않은 시냇물로 떨어지는 등 이런 형태의 흐름이 발생한다.

2차원 흐름의 경우 v의 발산에는 두 가지 용어가 있을 뿐 부피보다는 면적의 변화를 정량화한다. 확장율 기간의 1/3 인수는 다음과 같이 대체되어야 한다. 그 경우에는 1/2이다.

예

속도 구배 연구는 경로에 따른 재료 분석과 응력 및 변종의 후속 연구(예: 금속의 소성 변형)에 유용하다.^[3] 튜브에서 흘러나오는 미연소 반응제의 근벽 속도 구배는 불꽃 안정성 특성을 나타내는 핵심 매개변수다.^{[5]: 1–3} 플라즈마의 속도 구배는 자기유체역학에서 기본적인 방정식에 대한 해결책의 조건을 정의할 수 있다.^[4]

파이프 내 유체

파이프를 통해 흐르는 유체의 속도장을 고려한다. 파이프와 접촉하는 유체 층은 파이프와 관련하여 정지하는 경향이 있다. 이것을 노 슬립 조건이라고 한다.^[10] 배관 중앙과 배관 측면에 있는 유체 층 사이의 속도 차이가 충분히 작을 경우 유체 흐름이 연속 층 형태로 관찰된다. 이런 종류의 흐름을 층류 흐름이라고 한다.

인접 레이어 간의 유속 차이는 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle u/\Delta }$ y ${\displaystyle \Delta u/\Delta$ y$}$에 의해 속도 구배 측면에서 측정할 수 있다$.$ $여기$서 ${\displaystyle \Delta }$ u$${\$displaystyle$\$Delta$ $u}$은 두 레이어 간의 유속 $차이$이고 $Δ$y {\$delta$ y}은$$레이어 사이의 거리.

참고 항목

• 스트레스 텐서(동음이의)
• 유한변형 이론#변형 구배, 연속역학에서 발생하는 공간 및 물질 속도 구배의 시간-변형성

참조