Z 함수

수학에서 Z함수는 인수가 1/2인 임계선을 따라 리만제타함수를 연구하는 데 사용되는 함수다.리만-시겔 Z 함수, 리만-시겔 제타 함수, 하디 함수, 하디 Z 함수, 하디 제타 함수라고도 한다.리만-시겔 세타 함수와 리만 제타 함수에 의해 정의될 수 있다.

${\displaystyle Z(t)=e^{i\theta(t)}\jeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)}$

리만 제타 함수의 함수 방정식에서 Z 함수가 t의 실제 값에 대해 실제라는 것을 알 수 있다.그것은 짝수 기능이며, 실제 가치에 대한 실제 분석물이다.리만-시겔 세타 함수와 리만 제타 함수는 둘 다 임계 스트립에서 홀로모르픽이며, 여기서 t의 가상 부분이 -1/2와 1/2 사이라는 사실에서 따르며, Z 함수도 임계 스트립에서 홀로모르픽이다.더욱이 Z(t)의 실제 0은 정확히 임계선을 따라가는 제타함수의 0이며, Z함수 임계스트립의 복합 0은 임계스트립의 리만제타함수의 임계선에서 벗어난 0에 해당한다.

리만-시겔 공식

Real t에 대한 Z(t)의 값 계산, 그리고 임계선을 따르는 제타 함수의 계산은 Riemann-Siegel 공식에 의해 크게 촉진된다.이 공식은 우리에게

${\displaystyle Z(t)=2\sum _{n^{2}<t/2\pi }n^{-1/2}\cos(\teta(t)-t\log n)+R(t),}$

여기서 오류 용어 R(t)은 함수의 측면에서 복합적인 점증식을 갖는다.

${\displaystyle \Psi(z)={\frac {\cos 2\pi(z^{2}-z-1/16)}{\cos 2\pi z}}}$

그리고 그 파생상품들.$u{\displaystyle }$=${\displaystyle {}^{}}$( t ${\displaystyle {\frac{2\mathrm{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{\pi }{}}^{}}$) ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ 4 ${\$$displaystyle$ $u=\left({\frac$ {$t}{2$\pi $}\}\right)^{1/$4$\},$${\displaystyle }N{\displaystyle }$ =${\displaystyle {u\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaysty N=\lfloor },$ p$$$$${\displaystyle }$=$u^2-N}$

${\displaystyle R(t)\심(-1)^{N-1}\왼쪽(\PSI (p)u^{-1}-{1}-{\frac {1}{96\PI ^{2}}}\PSI ^{(3){-3}+\cdots \right)}$

여기서 줄임표는 우리가 더 높고 점점 더 복잡한 용어를 계속 사용할 수 있다는 것을 나타낸다.

Z(t)에 대한 다른 효율적인 시리즈가 알려져 있으며, 특히 불완전한 감마 함수를 사용하는 여러 시리즈가 알려져 있다.만약

${\displaystyle Q(a,z)={\frac {\gamma(a,z)}{\pamma(a)}{\frac {1}{\gamma(a)}\int_{z}^{z}^{a-1e^{-u}\du}$

특히 좋은 예는

${\displaystyle Z(t)=2\Re \left(e^{i\theta (t)}\left(\sum _{n=1}^{\infty }Q\left({\frac {s}{2}},\pi in^{2}\right)-{\frac {\pi ^{s/2}e^{\pi is/4}}{s\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}\right)\right)}$

Z 함수의 동작

임계선 정리에서는 Z함수의 실제 0의 밀도가 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\frac {c}{2\pi }\log {\frac {t}{2\pi }}}$

어떤 상수 c > 2/5의 경우.따라서 주어진 크기의 간격에 있는 0의 수는 천천히 증가한다.리만 가설이 사실이라면 임계 스트립에 있는 모든 0은 실제 0이고, 상수 c는 1이다.또한 이러한 0은 모두 단순한 0이라고 가정한다.

오메가 정리

Z함수의 0 때문에 진동작용을 보인다.그것은 또한 평균적으로 그리고 최고 가치에서 천천히 성장한다.예를 들어, 우리는 리만 가설이 없더라도, 오메가 정리는

${\displaystyle Z(t)=\exp \left({\frac {3}{4}}{\sqrt {\\log t}{\log t}\오른쪽)}),}$

여기서 표기법은 $Z{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$ ) {\$displaystyle Z(t)}$을 Ω 내의 함수로 나눈 값이 증가 t로 0이 되는 경향이 없음을 의미한다.

평균성장률

Z 기능의 평균 성장도 많이 연구되어 왔다.평균 제곱근(약칭 RMS) 평균은 다음에서 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}dt\sim \log T}$

또는

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{T}^{2T}Z(t)^{2}dt\sim \log T}$

Z(t)의 RMS 크기가 로그 ${\displaystyle \sqrt{\log }}$t ${\$log $t}$에 따라 증가한다는 것을 알 수 있다$.$

이 견적은 다음과 같이 개선할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}dt=\log T+(2\gamma -2\log(2\pi )-1)+O(T^{-15/22})}$

지수를 증가시키면 Z의 피크 값에 더 의존하는 평균값을 얻을 수 있다.네 번째 권력은,

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{0}^{T}Z(t)^{4}dt\심 {\frac {1}{2\pi ^{2}}(\log T)^{4}}}:{4}$

여기서 우리는 평균 4전원의 네 번째 루트가 1 ${\displaystyle \frac{2{\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}^{}}{}}$/ 4 ${\displaystyle \frac{{}^{}\sqrt{}}{}}$ ${\displaystyle \mathrm{로그}\frac{}{}}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle {\frac$ {1$}{2^{1/4}{\sqrt${\$pi }}}}$에 따라 증가한다고 결론을 내릴 수 있다$.$

린델뢰프 가설

고른 힘은 많이 연구되었지만 해당 평균 값에 대해서는 알려진 것이 적다.라는 것은 리만 가설에서 추측되고, 따르게 된다.

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2k}\,dt=o(T^{\barepsilon }}}}$

모든 긍정적인 for에 대해여기서 작은 "o" 표기법은 오른손에 의해 나누어진 왼손이 0으로 수렴한다는 것을 의미한다. 즉, 작은 o는 Ω의 부정이다.이 추측을 린델뢰프 가설이라고 하며, 리만 가설보다 약하다.일반적으로는 중요한 등가 형태로 나타나는데, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle Z(t)=o(t^{\bar렙실론 });}$

어떤 형태로든 그것은 우리에게 피크 값의 성장 속도가 너무 높을 수 없음을 알려준다.이 성장 속도에 대해 가장 잘 알려진 바운드는 강하지 않은데, 이는 > 570 0 ${\displaystyle \epsilon >{\frac$ {$89}{570}}\ 약 0.156}$이가) 적절하다는 것을 말해준다.Z 기능이 이처럼 빠른 속도로 어느 곳에서나 성장했다는 사실을 발견한다면 놀랄 것이다.리틀우드는 리만 가설에서

${\displaystyle Z(t)=o\left(\exp \left)({\frac {10\log t}{\log \t}\오른쪽),}$

그리고 이게 훨씬 더 가능성이 있어 보인다.

참조

• Edwards, H.M. (1974). Riemann's zeta function. Pure and Applied Mathematics. Vol. 58. New York-London: Academic Press. ISBN 0-12-232750-0. Zbl 0315.10035.
• Ivić, Aleksandar (2013). The theory of Hardy's Z-function. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 196. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02883-8. Zbl 1269.11075.
• Paris, R. B.; Kaminski, D. (2001). Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 85. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79001-8. Zbl 0983.41019.
• Ramachandra, K. (February 1996). Lectures on the mean-value and Omega-theorems for the Riemann Zeta-function. Lectures on Mathematics and Physics. Mathematics. Tata Institute of Fundamental Research. Vol. 85. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-58437-4. Zbl 0845.11003.
• Titchmarsh, E. C. (1986) [1951]. Heath-Brown, D.R. (ed.). The Theory of the Riemann Zeta-Function (second revised ed.). Oxford University Press.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Riemann–Siegel Functions". MathWorld.
• Wolfram Research – Riemann-Siegel 함수 Z(함수 플롯 및 평가 포함)