데카르트 타원형

데카르트 난형의 예.

기하학에서 데카르트 타원은 두 고정점(포시)으로부터의 거리가 동일한 선형 조합을 갖는 점으로 구성된 평면 곡선입니다.이 곡선은 광학에 사용했던 프랑스의 수학자 르네 데카르트의 이름을 따서 붙여졌다.

정의.

$P$ 와 Q를 평면의 고정점으로 하고 d $(P,$ $S)$ 와 d $(Q,$ $S)$ 를 이들 점으로부터 제3의 $가변점$ S까지의 유클리드 거리를 나타내도록 $하자$ . $m$ 과 a를 임의의 실수라고 $합니다$ .그러면 데카르트 타원형은 d $(P,$ $S)$ + $m$ d $(Q,$ $S)$ = $a$ 를 $만족$ 하는 점 S의 궤적이 된다.4개의 $방정식$ d $(P$ , $S)$ + m $d (Q,$ $S$ ) = ± a 및 $d (P$ , $S)$ - $m$ d( $Q$ , $S$ ) = ± a에 의해 형성된 두 난수는 밀접하게 관련되어 있으며, 함께 데카르트의 ^[1]타원이라고 불리는 4차 평면 곡선을 형성한다.

특수한 경우

$식 d (P,$ S) + $m$ $d (Q,$ S) = a에서 $m$ = $1$ 이고 $a$ > $d (P,$ Q)일 때 결과 형상은 타원이다.P와 Q가 일치하는 제한 시에는 타원이 원이 된다. $m=a/\!\operatorname {d} (P,Q)$ $m=a/\!\operatorname {d} (P,Q)$ / $m=a/\!\operatorname {d} (P,Q)$ $m=a/\!\operatorname {d} (P,Q)$ ( $m=a/\!\operatorname {d} (P,Q)$ P , $m=a/\!\operatorname {d} (P,Q)$ ) { $displaystyle$ m $=a/\!$ \ $operatorname {d}(P$ Pascal의 리마존입니다 $.$ m $=$ - $m=-1$ { $displaystyle$ m=- $1}$ $0<a<\operatorname {d} (P,Q)$ 0 < $0<a<\operatorname {d} (P,Q)$ < $0<a<\operatorname {d} (P,Q)$ $0<a<\operatorname {d} (P,Q)$ ( $0<a<\operatorname {d} (P,Q)$ , $0<a<\operatorname {d} (P,Q)$ ) { $displaystyle$ 0 <a $<\operatorname {d}$ ( $P,Q)}$ 일 $0<a<\operatorname {d} (P,Q)$ 경우 방정식은 쌍곡선의 분기를 나타내므로 닫힌 타원형이 아닙니다.

다항식

4차 다항식^[1]^[2] 방정식을 만족하는 점 집합( $x,$ $y)$

{{displaystyle [(1-m^{2})(x^{2}+y^{2})+2m^{2}cx+a^{2}-m^{2}c^{2}]^{2}=4a^{2}(x^{2}+y^{2})}

$여기$ 서 c는 두 개의 고정 $Foci$ P = ( $0, 0)$ 와 Q = ( $c, 0)$ 사이의 ${\text{d}}(P,Q)$ d ( $,$ ) { $displaystyle {d}(P,$ Q $)$ 로 $\text{d}(P,Q)$ , 다음 4개의 방정식 중 2개를 만족시키는 점 집합인 2개의 타원형을 형성합니다.

\operatorname {d}(P,S)\pm m\operatorname {d}(Q,S)=a,

\operatorname {d}(P,S)\pm m\operatorname {d}(Q,S)=-a,

^[2]

진정한 해결책을 가지고 있습니다.P $또는$ Q가 속해 $있는$ 경우를 제외하고 두 난형은 일반적으로 분리되어 있습니다. $PQ$ 에 수직인 $2개$ 의 점 P, Q 중 적어도 1개는 이 4차 곡선을 4개의 실점으로 절단하고, 그 결과 2개의 점 $P$ , $Q$ 중 적어도 1개가 ^[2]양자의 내부에 포함되는 것을 필수로 내포한다.다른 매개 변수화 및 결과 4진수는 ^[3]로렌스를 참조하십시오.

광학 분야에서의 응용 프로그램

데카르트가 발견한 것처럼 데카르트 난형은 렌즈 디자인에 사용될 수 있다.스넬의 법칙에서 사인 비율과 $일치$ 하는 $P$ 와 Q로부터의 거리 비율을 선택하고, 이들 중 하나의 회전 표면을 사용함으로써 구면 ^[4]수차가 없는 이른바 평면 렌즈를 설계할 수 있다.

또한 구면파면을 구면렌즈를 통해 굴절시키거나 오목한 구면에서 반사하면 굴절파면 또는 반사파면은 데카르트 타원형상이 된다.따라서 이 경우 구면 수차에 의해 형성되는 가성물은 데카르트 ^[5]타원체의 유체로 설명될 수 있다.

역사

데카르트의 난형은 1637년 르네 데카르트에 의해 광학 분야에서의 그들의 응용과 관련하여 처음 연구되었다.

이 곡선들은 또한 1664년부터 뉴턴에 의해 연구되었다.데카르트에 의해 이미 사용되고 있는 특정 데카르트 난형을 그리는 한 가지 방법은 핀 나사산에 의한 타원의 표준 구조와 유사합니다.핀에서 실을 한 초점으로 늘어뜨려 핀을 두 번째 초점으로 감싸고, 실의 자유단을 펜에 묶으면 실이 팽팽하게 늘어났을 때 펜이 취하는 경로는 두 ^[6]포시에서 2:1의 비율로 데카르트 타원형이 된다.하지만, 뉴턴은 불충분하게 ^[7]엄격한 구조들을 거부했다.그는 타원형을 미분방정식의 해로 정의하고, 그 준규범을 구성하며, 그 광학 특성을 ^[8]다시 조사했다.

프랑스의 수학자 미셸 샤슬은 19세기에 데카르트 타원형을 두 $점$ $P$ 와 Q로 정의하면 일반적으로 같은 선상에 세 번째 $점$ ^[2]R이 있다는 것을 발견했다.

James Clark Maxwell은 이러한 곡선을 재발견하여 3개 이상의 Foci로부터의 거리의 가중 합계를 일정하게 유지하여 정의한 곡선으로 일반화하였고, "복수의 Foci를 갖는 외접 도형에 관한 관측치, 다양한 비율의 반지름에 관한"이라는 논문을 썼다.타원형 곡선과 여러 개의 포시를 가진 곡선의 설명이라는 제목의 그의 결과에 대한 설명은 J.D.에 의해 작성되었다. 1846년, 맥스웰이 14세의 어린 나이였을 때, 포브스가 에든버러 왕립 협회에 발표했다.^[6]^[9]^[10]

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ ^a ^b O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Cartesian Oval", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
^ ^a ^b ^c ^d 를 클릭합니다Rice, John Minot; Johnson, William Woolsey (1888), An elementary treatise on the differential calculus founded on the method of rates or fluxions (4th ed.), J. Wiley, pp. 295–299.
^ 를 클릭합니다Lawrence, J. Dennis (1972), A Catalog of Special Plane Curves, Dover, pp. 155–157, ISBN 0-486-60288-5.
^ 를 클릭합니다Dijksterhuis, Fokko Jan (2004), Lenses and waves: Christiaan Huygens and the mathematical science of optics in the seventeenth century, Archimedes, New studies in the history and philosophy of science and technology, vol. 9, Springer-Verlag, pp. 13–14, ISBN 978-1-4020-2697-3.
^ 를 클릭합니다Percival, Archibald Stanley (1899), "Chapter XVI. Contour of the refracted wave-front. Caustics", Optics, a manual for students, Macmillan, pp. 312–327.
^ ^a ^b 를 클릭합니다Gardner, Martin (2007), The Last Recreations: Hydras, Eggs, and Other Mathematical Mystifications, Springer-Verlag, pp. 46–49, ISBN 978-0-387-25827-0.
^ 를 클릭합니다Guicciardini, Niccolò (2009), Isaac Newton on mathematical certainty and method, Transformations: Studies in the History of Science and Technology, vol. 4, MIT Press, pp. 49 & 104, ISBN 978-0-262-01317-8.
^ 를 클릭합니다Whiteside, Derek Thomas (2008), The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. 3, Cambridge University Press, pp. 139, 495, & 551, ISBN 978-0-521-04581-0.
^ 제임스 클러크 맥스웰의 과학편지와 논문, PM.M. 편집.하만, 제1권, 1846-1862, 케임브리지 대학 출판부, 35페이지
^ MacTutor 수학 기록 보관소

외부 링크

[mactutor-1] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Cartesian Oval", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews

[rj1888-2] 를 클릭합니다Rice, John Minot; Johnson, William Woolsey (1888), An elementary treatise on the differential calculus founded on the method of rates or fluxions (4th ed.), J. Wiley, pp. 295–299.

[3] 를 클릭합니다Lawrence, J. Dennis (1972), A Catalog of Special Plane Curves, Dover, pp. 155–157, ISBN 0-486-60288-5.

[4] 를 클릭합니다Dijksterhuis, Fokko Jan (2004), Lenses and waves: Christiaan Huygens and the mathematical science of optics in the seventeenth century, Archimedes, New studies in the history and philosophy of science and technology, vol. 9, Springer-Verlag, pp. 13–14, ISBN 978-1-4020-2697-3.

[5] 를 클릭합니다Percival, Archibald Stanley (1899), "Chapter XVI. Contour of the refracted wave-front. Caustics", Optics, a manual for students, Macmillan, pp. 312–327.

[gardner-6] 를 클릭합니다Gardner, Martin (2007), The Last Recreations: Hydras, Eggs, and Other Mathematical Mystifications, Springer-Verlag, pp. 46–49, ISBN 978-0-387-25827-0.

[7] 를 클릭합니다Guicciardini, Niccolò (2009), Isaac Newton on mathematical certainty and method, Transformations: Studies in the History of Science and Technology, vol. 4, MIT Press, pp. 49 & 104, ISBN 978-0-262-01317-8.

[8] 를 클릭합니다Whiteside, Derek Thomas (2008), The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. 3, Cambridge University Press, pp. 139, 495, & 551, ISBN 978-0-521-04581-0.

[9] 제임스 클러크 맥스웰의 과학편지와 논문, PM.M. 편집.하만, 제1권, 1846-1862, 케임브리지 대학 출판부, 35페이지

[10] MacTutor 수학 기록 보관소

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