크레이머의 정리(알지브라곡선)

수학에서, 대수곡선에 대한 크레이머의 정리는 비생식 사례에서 곡선을 고유하게 결정하기 위해 대수곡선에 떨어지는 실제 평면에서 필요하고도 충분한 점수를 준다.이 숫자는

${\displaystyle {\frac {n(n+3)}{2}},}$

여기서 n은 곡선의 정도.그 정리는 1750년에 출판한 가브리엘 크레이머 덕분이다.^[1]

예를 들어, 한 선(도 1)은 두 개의 구별되는 점에 의해 결정된다: 한 선은 두 점을 통과하고 한 선만 통과한다.마찬가지로 비퇴행 원뿔(x와 y의 다항식, 어떤 용어의 힘의 합이 2를 초과하지 않는 경우, 따라서 도 2를 갖는 경우)은 일반 위치에서 5점(이 중 3점은 직선상에 있지 않음)으로 고유하게 결정된다.

원뿔 케이스의 직관은 다음과 같다.주어진 점들이 특히 타원 위에 있다고 가정하자.그렇다면 타원체 중심부의 수평 위치, 중심부의 수직 위치, 주축(가장 긴 화음의 길이), 부축(중앙을 통한 최단 화음의 길이, 주축에 수직), 타원체의 로타티오 등 다섯 가지 정보가 필요하고 충분한 것이다.nal 방향(주축이 수평에서 출발하는 범위)일반적인 위치의 5점은 이 5개의 정보를 제공하기에 충분하지만, 4개는 그렇지 않다.

공식의 파생

The number of distinct terms (including those with a zero coefficient) in an n-th degree equation in two variables is (n + 1)(n + 2) / 2. This is because the n-th degree terms are ${\displaystyle x^{n},\,x^{n-1}y^{1},\,\dots ,\,y^{n},}$ numbering n + 1 in total; the (n − 1) degree terms are $$${\displaystyle x^{n-1},\,x^{n-2}y^{1},\,\dots ,\,y^{n-1},}$ numbering n in total; and so on through the first degree terms ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y,}$ numbering 2 in total, and the single zero degree term (the constant).이것들의 합은 (n + 1) + n + (n – 1) + ...이다.+ 2 + 1 = (n + 1)(n + 2) / 2항(각각 자체 계수가 있음)그러나 이러한 계수 중 하나는 곡선을 결정할 때 중복된다. 왜냐하면 우리는 항상 다항식 방정식을 통해 1로 고정된 계수를 가진 등가 방정식을 제공할 수 있기 때문에 [(n + 1)(n + 2) / 2] - 1 = n(n + 3) / 2 남은 계수를 제공한다.

예를 들어, 4도 방정식은 일반적인 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle x^{4}+c_{1}x^{3}y+c_{2}x^{2}y^{2}+c_{3}xy^{3}+c_{4}y^{4}+c_{5}x^{3}+c_{6}x^{2}y+c_{7}xy^{2}+c_{8}y^{3}+c_{9}x^{2}+c_{10}xy+c_{11}y^{2}+c_{12}x+c_{13}y+c_{14}=0,}$

계수가 4(4+3)/2 = 14인 경우.

점 집합을 통해 대수 곡선을 결정하는 것은 각 점들이 방정식을 만족하도록 대수 방정식에서 이러한 계수들의 값을 결정하는 것으로 구성된다.n(n + 3) / 2점(x_ii, y)을 주어, n(n + 3) / 2 미지의 계수에 n(n + 3) / 2 방정식을 선형으로 하여, 이들 각 점을 사용해 별도의 방정식을 만들 수 있다.만약 이 시스템이 0이 아닌 결정인자를 갖는다는 의미에서 비감속형이라면, 알려지지 않은 계수는 고유하게 결정되며, 따라서 다항식 방정식과 그 곡선이 고유하게 결정된다.이 수 이상의 점들은 중복될 것이고, 계수에 대해 고유하게 방정식 체계를 해결하기에 불충분할 것이다.

퇴보 사건

커브에서 n(n+3)/2점 만으로는 커브를 고유하게 결정할 수 없는 퇴보적인 경우의 예는 크레이머의 역설의 일환으로 크레이머에 의해 제공되었다.정도를 n = 3으로 하고, 9점을 x = –1, 0, 1과 y = –1, 0, 1의 모든 조합으로 한다.두 입방체 이상에는 이러한 점들, 즉 $방정식{\displaystyle }$ a ${\displaystyle ({x\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ({}^{}3}$ -${\displaystyle }$y ) = ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle a(x^{3}-x)+b(y^{$$3}-y)=0$.$}$ 따라서$$ 이러한 점들이 n(n + 3) / 2 = 9가 있더라도 고유한 입방체를 결정하지는 않는다.보다 일반적으로는 2개의 큐빅의 9개의 교차점을 통과하는 큐빅이 무한히 많다(베주우트의 정리는 2개의 큐빅이 일반적으로 9개의 교차점을 가지고 있음을 암시한다).

마찬가지로, n = 2의 원뿔형 사례의 경우, 주어진 점 5개 중 3개가 모두 동일한 직선에 있는 경우, 그들은 곡선을 고유하게 결정하지 않을 수 있다.

제한된 사례

곡선이 n차 다항식의 특정 하위 범주에 있어야 하는 경우, 고유한 곡선을 결정하기에 n(n + 3) / 2점 미만이 필요하고 충분할 수 있다.예를 들어, 일반 원은 등식$({\displaystyle x}$- a${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}{}^{}}$+${\displaystyle }$(${\displaystyle y}$- b${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}{}^{}}$= r ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 여기서$$ 중심은 (a, b)이고 반경은 r이다.Equivalently, by expanding the squared terms, the generic equation is ${\displaystyle x^{2}-2ax+y^{2}-2by=k,}$ where ${\displaystyle k=r^{2}-a^{2}-b^{2}.}$ Two restrictions have been imposed here compared to the general conic case of n = 2: the coefficient of thexy의 항은 0으로 제한되고 y의² 계수는 x의² 계수와 같도록 제한된다.따라서 5개의 지점이 필요한 대신 5 – 2 = 3만이 필요한데, 이는 식별해야 하는 3개의 매개변수 a, b, k(동일하게 a, b, r)와 일치한다.

참고 항목

• 5점이 원뿔을 결정한다.

참조