유효 매체 근사치

복합 재료의 거시적 특성을 설명하는 해석적 또는 이론적 모델링에 관련된 유효 매체 근사(EMA) 또는 유효 매체 이론(EMT) EMA 또는 EMT는 합성 재료를 직접 구성하는 성분의 다중 값을 평균하여 개발한다. 성분 수준에서 재료의 가치는 다양하고 비균형적이다. 많은 구성 요소 값의 정확한 계산은 거의 불가능하다. 그러나, 수용 가능한 근사치를 산출할 수 있는 이론이 개발되어, 재료 전체의 유효 허용성과 투과성을 포함한 유용한 매개변수를 기술한다. 이러한 의미에서 유효 매체 근사치는 그 성분의 성질과 상대적 분수를 기초로 한 매체(복합 재료)에 대한 설명이며,^[1][2] 계산과 유효 매체 이론에서 도출된다.^[3] 널리 사용되는 공식은 두 가지가 있다.^[4]

효과적인 허용성과 투과성은 마이크로 이종 매체의 평균 유전체 및 자기 특성이다. 혼합물 입자 내부의 전기장이 균질하다고 간주될 수 있는 경우 이 둘은 준정적 근사치로 도출되었다. 그래서 이 공식들은 입자 크기 효과를 설명할 수 없다. 이러한 공식을 개선하기 위해 많은 시도가 이루어졌다.

적용들

유효 매체 근사치에는 여러 가지가 있는데,^[5] 각각의 근사치들은 구별되는 조건에서 다소 정확하다. 그럼에도 불구하고 그들은 모두 거시적 시스템이 동질적이라고 가정하며, 모든 평균적인 필드 이론의 전형적으로, 장기 상관이나 이론의 임계 변동의 부재로 인해 과대산출 임계값에 가까운 다중 효소 매체의 성질을 예측하지 못한다.

고려 중인 속성은 일반적으로 매질의 전도성$$ $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ 또는$$ 유전 상수 $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$이다. 이러한 매개변수는 라플라스 방정식의 광범위한 적용 가능성 때문에 전체 모델의 공식에서 교환할 수 있다. 이 세분류에 속하지 않는 문제는 주로 탄성과 유체역학 분야에 있는데, 이는 효과적인 매체 상수의 높은 순서형 성격 때문이다.

EMA는 저항기 네트워크에 적용되는 것과 같은 이산 모델 또는 탄성 또는 점성에 적용되는 연속 이론일 수 있다. 그러나 현재의 이론들은 대부분 퍼콜링 시스템을 기술하는 데 어려움을 겪고 있다. 실제로 수많은 유효 매체 근사 중에서 브뤼게만의 대칭 이론만이 문턱을 예측할 수 있다. 후자 이론의 이러한 특징적인 특징은 그것을 임계현상의 다른 평균장 이론과 같은 범주에 넣는다.^{[citation needed]}

브뤼게만 모델

D.A.G. Bruggeman은 다음과 같은 형식의 공식을 제안했다.^[6]

${\displaystyle \epsilon _{eff}={\frac {H_{b}+{b}^{2}+8\epsilon _{m}\epsilon _{d}}}}}}}}}$ ${\displaystyle H_{b}=(2-3c_{m})\epsilon _{d}-(1-3c_{m})\epsilon _{m}.}$ (3)

어떤 경우에는 전자파 감쇠와 관련된 효과적인 복합 허용성의 정확한 가상 부분을 얻기 위해 제곱근 앞의 양수 기호를 음수 기호로 변경해야 한다. 이 공식은 평등에 기초한다.

${\displaystyle \Delta \Phi =\int \int \엡실론 \epsilon _{r}(\mathbf {r}){n}(\mathbf {r} )ds-\epsilon _{eff}int \int \int E_{0ds=0,}$ (4)

where ${\displaystyle \Delta \Phi }$ is the jump of electric displacement flux all over the integration surface, ${\displaystyle E_{n}(\mathbf {r} )}$ is the component of microscopic electric field normal to the integration surface, ${\displaystyle \epsilon _{r}(\mathbf {r} )}$ is the local rela선택된 금속 입자 내부의$$ 값 ${\displaystyle {mm}_{}}$ ${\$m}, 선택한 유전체 입자 내부의$$ 값 $ϵ{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}${\$displaystyle$$\epsilon$$_{$d}, 선택한$$ 입자 $바깥$의 값 ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ e$$f {\$displaystyle$ \$epsilon_{$$eff$}}을 취하는 tive completivity$.$$}}}}$은 거시 전기장의 정상 성분이다. 공식 (4)은 맥스웰의 동등 $d{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{v}}$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathbf{}}$ E${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathrm$ {$div} (\epsilon _{r}\mathbf {E}=0})$에서 나온다$.$ 따라서 브뤼그만의 접근법에서는 하나의 선택된 입자만 고려된다. 다른 모든 입자와의 상호작용은 $ϵ{\displaystyle {}_{}}$ e ${\displaystyle f_{}}$ ${\$에 설명된 평균 필드 근사치에서만 고려된다$.$ 포뮬라 (3)은 크기가 10nm 이하인 경우 금속 나노입자의 플라스몬 배설물에 대한 합리적인 공명 곡선을 제공한다. 그러나 그것은 실험에서 관찰된 플라스몬 배설의 공명 주파수에 대한 크기 의존성을 설명할 수 없다.

공식

일반성을 상실하지 않는 한, 우리는 다른 임의의 전도성을 가진 구형 다중 요소 포함으로 구성된 시스템에 대한 유효 전도성(dc 또는 ac일 수 있다)의 연구를 고려해야 한다. 그리고 나서 브루게만 공식은 다음과 같은 형태를 취한다.

원형 및 구면포함

${\displaystyle \sum _{i}\,\delta _{i}\,{\frac {\sigma _{i}-\sigma _{e}}{\sigma _{i}+(n-1)\sigma _{e}}}\,=\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}$

임의의 수의 구성요소를 갖는$$ 유클리드 공간 $차원{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle n}$ 시스템에서 합계는 모든 구성요소에 대해 이루어진다.^[8] ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$와 ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ i ${\$는 각 성분의 분율과 전도도이며, $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\$는 매질의 유효 전도도이다. $($$\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$s에 대한 합은 통합이다.)

타원형 및 타원형 포함물

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\,\delta \alpha +{\frac {(1-\delta )(\sigma _{m}-\sigma _{e})}{\sigma _{m}+(n-1)\sigma _{e}}}\,=\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}$

전도성 ${\displaystyle \sigma }$을(를) 포함한 타원성 포함 biphasic 시스템에 Eq.(1)을 전도성 ${\displaystyle {matrixm}_{}}$ ${\$의 행렬로 일반화한$$ 것이다$.$^[9] 포함 비율은 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$이고, $시스템$은 n$${\$displaystyle n}$차원이다$$. 무작위 방향 포함의 경우,

${\displaystyle \,=\,{\frac {1}{n}\sum _{j=1}^{n}\, {\fractma -\e}{\e}}+L_{j}(\sigma -\sigma _{e}}})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (3)}$

여기서 L ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 는 타원형/엘립소이드 축 사이의 비율에 의해 제어되는 탈극화 인자의 적절한 이중/삼중형을 나타낸다. For example: in the case of a circle {${\displaystyle L_{1}=1/2}$, ${\displaystyle L_{2}=1/2}$} and in the case of a sphere {${\displaystyle L_{1}=1/3}$, ${\displaystyle L_{2}=1/3}$, ${\displaystyle L_{3}=1/3}$}. (The sum over ${\displaystyle L_{}}$ j ${\$s는 $$unity).

Bruggeman 접근법이 적용된 가장 일반적인 사례에는 이항등성 타원산염 포함이 포함된다.^[10]

파생

이 그림은 두 가지 요소로 이루어진 매체를 보여준다.^[8] conductivity의 교차합치 볼륨$σ$ 1${\$}을$$참고하여 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 구로 삼고 유효$$ conductivity $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\$에 포함된 것과 멀리 떨어져 있는 전기장이 E ${\displaystyle \stackrel{}{0_{}}}$인 경우 ${\$${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$$레이스타일 {\overline{E_{0}}$ 그러면 기본$$ 고려 사항이 볼륨과 관련된 쌍극자 모멘트로 연결됨

${\displaystyle {\overline {p}}\,\propto \,V\,{\frac {\sigma _{1}-\sigma _{e}}{\sigma _{1}+2\sigma _{e}}}\,{\overline {E_{0}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,.}$

이러한 양극화는 $E{\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{0_{}}}$의${\$에서 편차를 발생시킨다$.$ 평균 편차가 사라지려면 두 가지 포함 유형에 대해 합한 총 편차는 사라져야 한다. 그러므로

${\displaystyle \delta _{1}{\frac {\sigma _{1}-\sigma _{e}}{\sigma _{1}+2\sigma _{e}}}\,+\,\delta _{2}{\frac {\sigma _{2}-\sigma _{e}}{\sigma _{2}+2\sigma _{e}}}\,=\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)}$

여기서$$$$ $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\$} 및 ${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$\ \$_{2$}}는 각각 재료 1과 재료 2의 부피분율이다. 이것은 임의의 수의 구성요소가 있는$$ 차원 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 시스템으로 쉽게 확장될 수 있다. 모든 사례를 결합하여 (1)을 산출할 수 있다.

Eq. (1)도 전류 편차가 사라지도록 요구하여 얻을 수 있다.^[12] 이것은 포함물이 구형이고 다른 탈분극화 인자와 함께 모양에 맞게 수정될 수 있다는 가정으로부터 도출되었다. Eq. (2)로 이어진다.

이항성 물질에 적용되는 보다 일반적인 파생도 이용할 수 있다.^[10]

퍼콜링 시스템 모델링

주요 근사치는 모든 도메인이 등가 평균 필드에 위치한다는 것이다. 불행하게도 시스템이 가장 큰 도체 군집인 프랙탈과 브루게만의 단순한 공식에 전혀 없는 장거리 상관관계에 의해 지배되는 것은 퍼콜레이션 임계값에 가까운 경우가 아니다. 임계값은 일반적으로 올바르게 예측되지 않는다. 그것은 EMA에서 3차원에서는 33%로, 과대포장 이론에서 기대되고 실험에서 관찰되는 16%와는 거리가 멀다. 그러나, 2차원에서 EMA는 50%의 임계값을 제공하며, 비교적 잘 퍼콜레이션을 모델링하는 것으로 입증되었다.^{[13] [14][15]}

맥스웰 가넷 방정식

맥스웰 가넷 근사치에서 유효 매체는 ^[16]$[\$의 매트릭스 매체로 구성되며$$, ${\displaystyle {\epsilon }_{}}$ i ${\$의 포함.$$맥스웰 가넷은 물리학자 윌리엄 가넷의 아들로서 가넷의 친구인 제임스 맥스웰의 이름을 따서 명명되었다. 그는 금속 나노입자로 도핑된 안경에서 관찰되는 색상을 설명하는 공식을 제안했다. 그의 공식은 형식이다.

${\displaystyle \epsilon _{eff}=\epsilon _{d}\left[1+3c_{m}{\frac {\epsilon _{m}-\epsilon _{d}}{\epsilon _{m}+2\epsilon _{d}-c_{m}(\epsilon _{m}-\epsilon _{d})}}\right],}$ (1)

여기서 ${\displaystyle {ϵ}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\$는 혼합물의 상대적 복합적 허용률이며, $ϵ{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$ $\epsilon_{d}$는 상대적 허용률의$$ 작은 구면 포함을 포함하는 배경 매체의 상대적 복합 허용률이다$$. ${\$} 볼륨 프랙티오n of c ${\displaystyle c_{m}<1$ 이 공식은 동등성에 기초한다.

${\displaystyle \epsilon _{eff}=\epsilon _{d}+c_{m}{\frac {p_{m}}{\epsilon _{0},}$ (2)

여기서 $ϵ{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 자유 공간의 절대 허용률이며 ${\displaystyle p_{}}$ m ${\$은 외부$$ 전기장 E가 유도하는 단일 포함의 전기 쌍극모멘트다. 그러나 이러한 평등은 동질적 매체와 $ϵ{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \epsilon _{d}=1}$에만 좋다$.$ 더욱이 (1) 공식은 단일 포함물 사이의 상호작용을 무시한다. 이러한 상황 때문에 (1) 공식은 혼합물의 금속 나노입자 내 플라스몬 배설물에 대해 너무 좁고 너무 높은 공명 곡선을 제공한다.^[17]

공식

Maxwell Garnett 방정식은 다음과 같다.^[18]

${\displaystyle \left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {eff} }-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{\mathrm {eff} }+2\varepsilon _{m}}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{i}+2\varepsilon _{m}}}\right),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6)}$

여기서 ∆ ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}_{}}$ ${\${$eff$$}}}}}$은(는) 매질의 유효$$ 유전체 상수인$$ ${\displaystyle {\epsilon }_{}}$ i ${\$과(는$$) ${\displaystyle {매트릭스}_{}}$의 ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ i$${\$displaystylepton_{i}$이다.

Maxwell Garnett 방정식은 다음과 같이 해결된다.

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }\,=\,\varepsilon _{m}\,{\frac {2\delta _{i}(\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m})+\varepsilon _{i}+2\varepsilon _{m}}{2\varepsilon _{m}+\varepsilon _{i}-\delta _{i}(\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m})}},\,\,\,\,\,\,\,\,(7)}$^[19][20]

분모가 사라지지 않는 한. 이 공식을 이용한 간단한 MATLAB 계산기는 다음과 같다.

% 이 간단한 MATLAB 계산기는 https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_Medium_Approximations에서 소개한 바와 같이 Maxwell Garnett 이론에 따라 기본 매체 %에 포함된 재료 혼합물의 유효 유전체 % 상수를 계산한다: % https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_Medium_Approximations% 입력: % eps_base: 기본 재료의 유전체 상수; % eps_message: 유전체 원소: 유전체 원소포함 물질의 스텐트, % vol_incl: 포함 물질의 부피 부분, % OUTPUT: % eps_mean: 혼합물의 유효 유전 상수. 기능[eps_mean])MaxwellGarnettFormula(eps_base, eps_incl, vol_incl)small_number_cutoff=1e-6, 만약vol_incl<0vol_incl 1disp([:포함 물질의 볼륨 부분 'WARNING 범위 밖에!']), 끝 factor_up=2*(1-vol_incl)*eps_base+(1+2*vol_incl)*eps_incl, factor_down)(2+vol_incl)*eps_base+(1-.vol_포함) * eps_incl; 만약 abs(factor_incl; 만일 abs(factor_down) < small_number_cutoff disp(['WARNING: 유효 매체는 단수!']; eps_mean = eps_base *up / factor_down; end 

파생

Maxwell Garnett 방정식의 유래를 위해 우리는 편광 가능한 입자의 배열로 시작한다. 로렌츠 로컬 필드 개념을 사용하여 다음과 같은 Closius-Mossotti 관계를 얻는다.

${\displaystyle {\frac {\barepsilon -1}{\barepsilon +2}}={\frac {4\pi }{3}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}}}}}}}}}{j}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{j}}$

여기서 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 단위$$ 볼륨당 입자 수입니다. 기초 전기학을 사용하여 유전체 상수 $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$와 반지름 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$ 편광성$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$

${\displaystyle \cHB\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2}}\오른쪽)a^{3}}}$

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$을(를) Closius Mosotti 방정식과 결합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \leftpsilon _{\mathrm {frac}{{\mathrm {}+2}}\right)=\no_{i}\bar렙slon _{i}-1}{varepsilon _{i}+2}}\rig)}}$

여기서 $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}_{}}$ ${\$은 매질의 유효 유전체 상수인$$ 경우$$, ${\displaystyle i_{}}$ i$${\$displaystyle$$$\$varepsilon _{i},$ ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ i ${\$은 포함물의$$ 부피수분수이다.
Maxwell Garnett의 모델은 포함이 있는 매트릭스 매체의 구성이므로 다음 방정식을 강화한다.

${\displaystyle \left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {eff} }-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{\mathrm {eff} }+2\varepsilon _{m}}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{i}+2\varepsilon _{m}}}\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(8)}$

유효성

일반적으로 Maxwell Garnett EMA는 도메인이 선택된 포함물과 다른 모든 인접 포함물 사이의 공간적으로 분리되고 정전기적 상호작용이 무시된다고 가정하기 때문에 저용량 분율 ${\displaystyle {\Delta i}_{}}$ ${\$에서 유효할 것으로 예상된다$.$^[21] Maxwell Garnett 공식은, Bruggeman 공식과 대조적으로, 포함이 공명할 때 정확성을 중단한다. 플라스몬 공명의 경우, 맥스웰 가넷 공식은 포함 < - ${\$의 부피 부분에서만 정확하다^[22] 유전적 다변량자와 금속-유전성 다변량자에 대한 유효 매체 근사치의 적용가능성을 연구하여, 유효 매체 근사치가 유지되지 않는 특정 사례가 있으며 이론을 적용할 때 주의해야 한다.

크기 효과를 설명하는 공식

크기 효과를 설명하는 새로운 공식이 제안되었다.^[17] 이 공식은 형태가 있다.

${\displaystyle \epsilon _{eff}={\frac {H_{\epsilon }+i{\sqrt {-H_{\epsilon }^{2}-8\epsilon _{d}J(k_{m}a)}}}}{4},}}}}}},},},}$

${\displaystyle H_{\epsilon }=(2-3c_{m})\epsilon _{d}-(1-3c_{m})\epsilon _{m}J(k_{m}a),}$ (5)

${\displaystyle J(}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ -${\displaystyle \frac{x}{}}$ c ${\displaystyle \frac{\mathrm{o}}{}}$ t (${\displaystyle \frac{}{}}$x )${\displaystyle \frac{}{x}}$ 2 +${\displaystyle \frac{{}^{}{x\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{c}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{o}}{}}$ t (${\displaystyle \frac{}{}}$x )${\displaystyle \frac{}{}}$-${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\$J$(x)=2{\frac$ {$1-x\mathrm$ {$cot}(x)}{x^{2}+x\mathrm {cot}(x)-1$

여기서 $a$는 나노입자 반지름이고 ${\displaystyle k_{}}$ =${\displaystyle {}_{}\sqrt{{\mu m}_{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}_{}}}$/ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k_{m}={\sqrt {\\epsilon _{m}\m$}\m$}\omega /c}$는 파동 번호다. 여기서 전자기장의 시간 의존성은 $계수{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ x${\displaystyle \mathrm{p}}$( - ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Omega }$t${\displaystyle }$) . ${\displaystyle \matrmatrm {exp}(-i\omega$t)에 의해 주어지는 것으로 추정된다$.$$}}$ 본 논문에서는$$ Bruggeman의 접근법을 사용하였으나, 선택된 입자 내부의 전기-디폴 진동 모드에 대한 전자기장은 준정적 근사치를 적용하지 않고 계산하였다. 따라서 $함수{\displaystyle }$ J${\displaystyle (k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$a )$${\$displaystyle J(k_{m}a)}$는 선택한 입자 내부의 필드 불균일성으로 인해 발생한다$$. In quasi-static region ${\displaystyle (k_{m}a<<1}$, i.e. ${\displaystyle a}$ ≤ 10 nm for Ag${\displaystyle )}$ this function becomes constant ${\displaystyle J(k_{m}a)=1}$ and formula (5) becomes identical with Bruggeman's formula.

유효 투과성 공식

혼합물의 효과적인 투과성을 위한 공식은 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle \mu _{eff}={\frac {H_{\mu }+i{\sqrt {-H_{\mu }^{2}-8\mo_{d}J(k_{m}a)}}}}}{4}}},}}},}$ (6)

${\displaystyle H_{\mu }=(2-3c_{m})\mu _{d}-(1-3c_{m})\mu _{m}J(k_{m}a).}$

여기서 ${\displaystyle {\mu e}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\$는 혼합물의 상대적 복합 투과성이며, ${\displaystyle {\mu d}_{}}$ ${\$는 상대적 투과성 ${\displaystyle {\mu m}_{}}$ ${\$$}}$의 작은 구면 포함을 하는 배경 매체의 상대적 복합 투과 같다$$. ${\displaystyle c_{m}<1$ 이 공식은 쌍극자 근사치로 도출되었다. 자석 옥투폴 모드와 홀수 주문의 기타 모든 자석 진동 모드는 여기에서 무시되었다. ${\displaystyle {\mu m}_{}}$= ${\displaystyle {\mu d}_{}}$ ${\$ 및$$ a< ${\displaystyle k_{m}a<1}>$가 되면 이 공식은 단순한 형태를 갖는다.

${\displaystyle \mu _{dm}\left(1+{\frac{c_{m}}{10}}{\frac {\c^{2}}:{c^{2}}:a^{2}\epsilon _{m}\right)}{\frc}}}{{d}}}}\ripton.}$ (7)

저항기 네트워크의 유효 매체 이론

고밀도의 무작위 저항기로 구성된 네트워크의 경우, 각 개별 요소에 대한 정확한 해결책은 비현실적이거나 불가능할 수 있다. 이 경우 무작위 저항 네트워크는 2차원 그래프로 간주할 수 있으며, 효과적인 저항은 그래프 측정과 네트워크의 기하학적 특성 측면에서 모델링할 수 있다.^[25] 가장자리 길이 << 전극 간격과 가장자리가 균일하게 분포되어야 한다고 가정할 때, 전위는 한 전극에서 다른 전극으로 균일하게 떨어지는 것으로 간주할 수 있다. 이러한 임의의 네트워크(${\displaystyle {Rs}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 시트 저항은 에지(와이어) 밀도($$${\displaystyle N_{}}$ E ${\$ 저항성(${\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }),$ $$폭$($${\displaystyle }$$}),$ 두께(t\$displaystyle$ $t$ 측면에서 $$과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle R_{sn}\,=\,{\frac {\pi }{2}}{\frac {\rho }{w\,t\,{\sqrt {N_{E}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(9)}$

참고 항목

• 구성 방정식
• 과대산출 임계값

참조

추가 읽기

• Lakhtakia (Ed.), A. (1996). Selected Papers on Linear Optical Composite Materials [Milestone Vol. 120]. Bellingham, WA, USA: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-2152-4. {{cite book}}: last= 일반 이름 포함(도움말)
• Tuck, Choy (1999). Effective Medium Theory (1st ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851892-1.
• Lakhtakia (Ed.), A. (2000). Electromagnetic Fields in Unconventional Materials and Structures. New York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-36356-9. {{cite book}}: last= 일반 이름 포함(도움말)
• Weiglhofer (Ed.); Lakhtakia (Ed.), A. (2003). Introduction to Complex Mediums for Optics and Electromagnetics. Bellingham, WA, USA: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-4947-4. {{cite book}}: last1= 일반 이름 포함(도움말)
• Mackay, T. G.; Lakhtakia, A. (2010). Electromagnetic Anisotropy and Bianisotropy: A Field Guide (1st ed.). Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-4289-61-0.