종 삼각형

Bell triangle
종 삼각형 건설

수학에서 벨 삼각형은 파스칼의 삼각형과 유사한 숫자의 삼각형이며, 그 값은 주어진 원소가 가장 큰 단일톤인 집합의 분할을 세는 값이다.그것은 삼각형의 양쪽에서 발견될 [1]수 있는 벨 번호와 밀접한 연관성을 가지고 있으며, 차례로 에릭 템플 벨의 이름을 따서 이름이 붙여졌다.벨 삼각형은 찰스 샌더스 피르체(1880년)를 시작으로 알렉산더 에이트켄(1933년)과 콘 외 연구진(1962년)을 포함한 복수의 저자에 의해 독자적으로 발견되어 왔으며, 그 때문에 아이트켄의 배열 또는 페어체 삼각형이라고도 불렸다.[2]

가치

서로 다른 출처는 다른 방향으로 같은 삼각형을 주고, 일부는 서로 뒤집는다.[3]파스칼의 삼각형과 유사한 형식과 온라인 정수순서 백과사전 목록에 나열된 순서대로, 처음 몇 개의 행은 다음과 같다.[2]

1                  1     2               2     3     5            5     7    10    15        15    20    27    37    52     52    67    87   114   151   203 203   255   322   409   523   674   877

건설

벨 삼각형은 숫자 1을 첫 번째 위치에 배치하여 구성할 수 있다.그 배치 후, 이전 행에서 가장 오른쪽 값을 복사하여 삼각형의 각 행에서 가장 왼쪽 값을 채운다.각 행의 나머지 위치는 파스칼의 삼각형에 대한 것과 매우 유사한 규칙으로 채워진다: 그들은 위치의 왼쪽과 왼쪽 위에 있는 두 값의 합이다.

따라서 맨 위 행에 숫자 1을 처음 배치한 후에는 행의 마지막 위치가 되며 다음 행의 가장 왼쪽 위치에 복사된다.삼각형의 세 번째 값인 2는 그 왼쪽 위와 왼쪽 위의 두 이전 값의 합이다.그 행의 마지막 값으로서, 2는 3번째 행으로 복사되고, 그 과정은 같은 방식으로 계속된다.

조합해석

벨 번호 자체는 삼각형의 왼쪽과 오른쪽에서 유한 집합을 부분 집합으로 분할하는 방법의 수 또는 집합의 동등성 관계의 수를 계산한다.Sun & Wu(2011)는 삼각형의 각 값에 대한 다음과 같은 조합 해석을 제공한다.Sun과 Wu를 따라 A는n,k 삼각형의 n번째 행에서 왼쪽에서 k 위치하는 값을 나타내며, 삼각형의 맨 위는 A로1,1 번호가 매겨진다.그런 다음 A는n,k 요소 k + 1이 해당 집합의 유일한 요소이고 각 상위 번호 요소가 둘 이상의 요소 집합에 있는 집합 {1, 2, ..., n + 1}의 파티션 수를 계산한다.즉, k + 1은 칸막이의 가장 큰 싱글톤이어야 한다.

예를 들어, 삼각형의 세 번째 행 가운데에 있는 숫자 3은 표기법에서 A로3,2 표시되며, 3이 가장 큰 싱글톤 요소인 {1, 2, 3, 4}의 파티션 수를 계산한다.다음과 같은 세 개의 파티션이 있다.

{1}, {2, 4}, {3}
{1, 4}, {2}, {3}
{1, 2, 4}, {3}.

이 네 가지 요소의 나머지 칸막이는 그 자체로 한 세트에 3개가 없거나, 더 큰 싱글톤 세트 {4}이(가) 있으며, 두 경우 모두 A에3,2 포함되지 않는다.

같은 표기법에서, 태양과 우 (2011)는 다른 값들의 왼쪽에 대각선으로 삼각형을 확대한다.

An,0 = 1, 0, 1, 1, 4, 11, 41, 162, ...(OEIS에서 순차 A000296)

첫 번째 항목만 싱글톤인 동일한 n + 1 항목 집합의 파티션 카운트그들의[4] 증강된 삼각형은

1                     0     1                  1     1     2               1     2     3     5            4     5     7    10    15        11    15    20    27    37    52     41    52    67    87   114   151   203 162   203   255   322   409   523   674   877

이 삼각형은 벨의 삼각형의 원래 버전과 유사하게 구성될 수 있지만, 각 행의 시작에 대한 다른 규칙으로 구성될 수 있다: 각 행의 가장 왼쪽 값은 이전 행의 가장 오른쪽 값과 가장 왼쪽 값의 차이다.

동일한 증강 삼각형의 숫자에 대한 대안이지만 더 기술적인 해석은 Quaintance & Kwong(2013)이 제공한다.

대각선 및 행 합계

벨 삼각형의 가장 왼쪽 대각선과 오른쪽 대각선 모두 벨 번호의 순서 1, 1, 2, 5, 15, 52를 포함한다(가장 오른쪽 대각선의 경우 초기 요소가 누락된 경우).가장 오른쪽 대각선에 평행한 다음 대각선은 1, 3, 10, 37, ...의 두 연속된 벨 번호의 차이의 순서를 제공하며, 각각의 후속 대각선은 이전 대각선의 차이의 순서를 제공한다.

이와 같이, 에이트켄(1933)이 관찰한 바와 같이, 이 삼각형은 연속적인 차이를 이용하여 연속적인 정수에서 값의 순서로부터 다항식의 계수를 찾아내는 그레고리-뉴턴 보간식을 구현한 것으로 해석할 수 있다.이 공식은 벨 번호를 정의하는 데 사용할 수 있는 재발 관계와 매우 유사하다.

삼각형의 각 행 1, 3, 10, 37, ...의 합은 삼각형의 두 번째 오른쪽 대각선에 나타나는 첫 번째 차이의 순서와 같다.[5]또한 이 시퀀스의 n번째 숫자는 n 요소의 파티션 수를 하위 집합으로 계산하는데, 여기서 하위 집합 중 하나는 다른 하위 집합과 구별된다. 예를 들어, 3개의 항목을 하위 집합으로 분할한 다음 하위 집합 중 하나를 선택하는 10가지 방법이 있다.[6]

관련 구성

벨 번호가 한 면에만 있고, 각 숫자가 앞의 행에 있는 근처 숫자의 가중 합으로 결정되는 다른 삼각형 숫자들을 아이그너(1999년)가 기술했다.

메모들

  1. ^ 가드너(1978년)에 따르면, 이 이름은 제프리 핼릿에 의해 제안되었는데, 그의 삼각관계에 관한 논문은 나중에 핼릿(1980년)과 같은 내용이 발표되었다.샬릿은 차례로 삼각형의 정의에 대해 Cohn 외 연구진(1962)을 인정하지만, Cohn 외 연구진은 삼각형의 이름을 짓지 않았다.
  2. ^ a b Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A011971 (Aitken's array)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
  3. ^ 예를 들어, 가드너(1978)는 두 가지 방향을 보여주는데, 둘 다 여기의 방향과 다르다.
  4. ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A106436". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
  5. ^ 가드너(1978년).
  6. ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A005493". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation..

참조

외부 링크