등분포순서

수학에서, 실수의 순서(s₁₂, s, s, s₃, ...)는 하위격차에 속하는 용어의 비율이 하위격차의 길이에 비례하는 경우 등분포되거나 균일하게 분포된다고 한다.그러한 시퀀스는 디오판틴 근사 이론에서 연구되며 몬테카를로 통합에 응용된다.

정의

실수의 시퀀스(s₁, s₂, s, s₃, ...)는 하위간격 [c, d ]에 대해 [a, b]가 있는 경우 비분산간격[a, b]에 등분한다고 한다.

${\daystyle \lim _{n\to \ft \}{\\\{\\\\\\\c\c\c,d]\\오른쪽 \overn n}={d-c \over b-a}}$

(여기서 표기법 {s₁,...,s_n} ∩ [c, d ]은 c와 d 사이에 있는 원소의 수를 나타낸다.)

예를 들어, 시퀀스를 [0, 2]로 등분할 경우, 간격 [0.5, 0.9]가 간격[0, 2]의 1/5을 차지하므로, n이 커짐에 따라 0.5와 0.9 사이에 속하는 시퀀스의 첫 번째 n 멤버의 비율은 1/5에 근접해야 한다.느슨하게 말하면, 각 순서의 구성원이 그 범위 어디든 똑같이 떨어질 가능성이 있다고 말할 수 있다.그러나 이는 (s_n) 랜덤 변수의 시퀀스라고 말하는 것이 아니라 실제 숫자의 결정적인 시퀀스라고 할 수 있다.

차이

구간 [a, b]과 관련하여 시퀀스(s₁₂, s, s₃, s, ...)에 대한 불일치 D를_N 정의한다.

${\dplaystyle D_{N}=\sup _{a\leq c\leq d\leq d\leq d\leq b}\left\{\\\\\\\\\frac {\\\\\\\\c\c\c\c\c\c\}}\cap [c,d]\오른쪽.$

따라서 불일치 D가_N 0인 경향이 있는 경우 순서는 N이 무한인 경향이 있는 경우 등분한다.

등분포는 시퀀스가 세그먼트를 채운다는 사실을 표현하는 다소 약한 기준이다.예를 들어, 세그먼트 위에 있는 임의 변수 유니폼의 도면은 세그먼트에 등분할 것이지만, 일부 작은 for에 대해서는 적절하게 선택한 방법으로 세그먼트에서 ε의 배수를 먼저 열거한 다음, 점점 작은 ε의 값에 대해 이 작업을 계속하는 시퀀스에 비하여 큰 차이가 있을 것이다.더 강력한 기준과 더 균등하게 분포된 시퀀스 구성에 대해서는 낮은 점수의 시퀀스를 참조하십시오.

등분포를 위한 리만 적분 기준

f가 구간[a, b]에 리만 적분을 갖는 함수인 경우, 그 적분은 구간의 미세한 분할에서 선택한 점 집합에서 함수 f를 샘플링하여 얻은 리만 합계의 한계임을 상기한다.따라서 일부 시퀀스를 [a, b]로 등분할 경우 이 시퀀스를 사용하여 리만 통합 함수의 적분을 계산할 수 있을 것으로 예상된다.이에 따라 등분산 시퀀스에 대한 다음과 같은 기준이^[1] 제시된다.

(s₁, s₂, s₃, s, ...)는 [a, b] 구간에 포함된 순서라고 가정한다.그 다음 조건은 동일하다.

1. 순서는 [a, b]에 등분한다.
2. 모든 Riemann-integrated (복제값) 함수 f : [a, b] → ℂ에 대해 다음 한계는 유지된다.

${\displaystyle \lim_{N\to \flt}{1}{{N}\sum_{n=1}^{N}f\left(s_{n}\right)={\frac {1}{b-a}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

증명

첫번째 노트 간격을 할 때 f는 지표 기능이equidistributed 시퀀스의 정의 적분 기준에 해당합니다:순서가 간격[c, d]에 빠지는 점의 만약 f)1[c, d], 왼 손 쪽에 비율과 오른 쪽은 정확하게에 식사하 − cb.{\displaystyle −.\text$스타일 {\frac {d-c}{b-a}.$$}$ 즉, 표시기 함수는 Riemann-integrable이므로 2㎛ 1을 의미하며, f는 1㎛ 2를 구간의 표시기 함수는 1㎛ 2이다.통합 기준이 지표 기능을 보유한다고 가정하고 일반 리만 통합 기능을 보유한다는 것을 증명해야 한다. 적분 기준 방정식의 양쪽은 f로 선형이며, 따라서 구간 지표의 선형 결합, 즉 단계 함수에 대한 기준이 유지된다는 점에 유의한다. F가 일반 리만 통합 함수로 유지된다는 것을 보여주기 위해 먼저 f가 실제 값이라고 가정한다.Then by using Darboux's definition of the integral, we have for every ε > 0 two step functions f1 and f2 such that f1 ≤ f ≤ f2 and ${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}(f_{2}(x)-f_{1}(x))\,dx\leq \varepsilon (b-a).$$}$ 주의할$$ 점은 ${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f_{1}(x)\,dx=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f_{1}(s_{n})\leq \liminf _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(s_{n})}$ ${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f_{2}(x)\,dx=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f_{2}(s_{n})\geq \limsup _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(s_{n})}$ 뺄셈을 통해 ${\displaystyle \frac{\mathrm{1N}}{}}$ ${\displaystyle \sum \underset{n}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ N ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$($){\${\$frac{$1}{$N}\sum$_{$n=1$}^{N}f$(s_{n}}})$의 상한과 하한은 최대 ε마다 차이가 있음을$$ 알 수 있다.ε은 자의적이기 때문에 우리는 한계의 존재를 가지고 있으며, 다부스의 적분에 대한 정의에 따르면 그것은 올바른 한계다. 마지막으로 복합 값 리만 통합 함수의 경우 선형성에서 다시 결과가 따르며, 그러한 모든 함수는 f = u + vi로 쓸 수 있다는 사실에서 u, v는 실제 값이고 리만 통합이 가능하다.∎

이 기준은 몬테카를로 통합의 개념으로 이어지며, 이 개념은 그 간격에 등분된 일련의 랜덤 변수에 대해 함수를 표본으로 추출하여 통합이 계산된다.

리만 통합 기능보다 더 큰 기능의 종류에 대한 통합 기준을 일반화하는 것은 불가능하다.예를 들어, Lebesgue 적분을 고려하고 f가 L에¹ 있는 것으로 간주되면, 이 기준은 실패한다.counterexample로 f를 같은 비율로 분산된 일부 시퀀스의 표시기 함수로 삼으십시오.그러면 그 기준에서 왼손은 항상 1인 반면 오른손은 0인 데, 그 순서는 셀 수 있기 때문에 f는 거의 모든 곳에서 0이다.

사실, de Bruijn-Post Organization은 위의 기준의 역설을 기술하고 있다: f가 [a, b]의 동일한 분포 순서에 대해 위의 기준이 유지되는 함수라면, f는 [a, b]^[2]의 Rieman-integrated이다.

등분포모듈로1길

실수의 순서₁(a_n, a, a, a₂₃, a, ...)는 (a_n) 또는 - ⌊a_n⌋로 표시된 a의_n 분수 부분의 순서가 구간에 등분포된 경우 등분포된 모듈로 1 또는 균일하게 분포된 모듈로 1이라고 한다[0, 1].

예

• 등분포 정리:비이성 α의 모든 배수의 순서는,

0, α, 2α, 3α, 4α, ...

등분산 모듈로 1이다.^[3]

• 보다 일반적으로, p가 상수 용어 비합리적인 것 외에 최소한 하나의 계수를 갖는 다항식이라면, p(n) 시퀀스는 균일하게 분포된 모듈로 1이다.

이것은 Weyl에 의해 증명되었고 반 데르 코퍼트의 차이 정리를 적용한 것이다.^[4]

• 시퀀스 로그(n)는 균일하게 분포된 모듈로 1이 아니다.^[3]이 사실은 벤포드의 법과 관련이 있다.
• 연속적인 소수들에 의한 불합리한 α의 모든 배수의 순서는,

2α, 3α, 5α, 7α, 11α, ...

등분산 모듈로 1이다.이것은 I. M. 비노그라도프가 1948년에 발표한 분석수 이론의 유명한 정리다.^[5]

• 반 데르 코퍼트 순서는 등분포되어 있다.^[6]

바일 기준

Weyl의 기준은 모든 0이 아닌 정수의 경우, 그리고 and에 대해서만 sequence a가_n modulo 1이라고 명시한다.

${\displaystyle \lim _{n\to \flat }{1}{n}\sum _{j=1}^{n^{n}e^{2\pi i\ell a_{j}}=0.}$

이 기준은 헤르만 바일이 처음 공식화한 이름이다.^[7]그것은 등분포 질문을 기본적이고 일반적인 방법인 지수 합에 대한 한계로 줄일 수 있도록 한다.

증거 스케치

시퀀스가 등분산 모듈로 1인 경우, 리만 적분 기준(위 설명)을 간격 [0, 1]에 적분 0을 갖는$$ $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= e ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\ell }^{}}$ x${\displaystyle {}^{}}$, ${\$ i$\ell x}$에 적용할 수 있다.이것은 바일의 기준을 즉시 제시한다. 반대로, Weyl의 기준이 유지된다고 가정하자.그런 다음 리만 적분 기준은 위와 같은 함수 f를 유지하며, 기준의 선형성에 의해 어떤 삼각 다항식도 f를 유지한다.스톤-바이어스트라스 정리 및 근사치 인수에 의해, 이것은 모든 연속 함수 f까지 확장된다. 마지막으로, f를 구간의 지표 함수로 한다.임의의 ε에 의해 통합이 다른 두 개의 연속함수에 의해 위아래에서 f를 바인딩할 수 있다.리만 적분 기준의 입증과 유사한 논거에 의해, 어떤 구간 지표 함수 f까지 결과를 확장할 수 있어, 주어진 시퀀스의 등분포 모듈로 1을 증명할 수 있다.∎

일반화

• Weyl 기준의 양적 형태는 Erdds-에 의해 주어진다.투란 부등식
• Weyl의 기준은 자연적으로 더 높은 차원으로 확장되며, 등분포 모듈로 1의 정의의 자연적인 일반화를 가정한다.

R에서^k 벡터의 시퀀스 v는_n 0이 아닌 벡터 ℓ Z에 대한^k 경우에만 등분산 모듈로 1이다.

${\displaystyle \lim _{n\to \flat }{1}{n1}\sum _{j=0}^{n-1e^{2\pi i\ell \cdot v_{j}}=0.}$

사용 예

일부 실수 α의 배수 0, α, 2α, 3α, ...의 배수의 순서는 α가 비합리적인 경우에만 등분산 모듈로 1이라고 명기하면서 위일의 기준은 등분포 정리를 쉽게 증명하는 데 사용할 수 있다.^[3]

α가 비이성적이며 우리의 순서를 a_j = jα(여기서 j는 0부터 시작하여 공식을 나중에 단순화함)로 나타낸다고 가정하자.ℓ 0 0을 정수로 한다.α는 비이성적이기 때문에 α는 결코 정수가 될 수 $없으므로{}^{}$ e ${2\mathrm{}}^{}$ ${\pi }^{}$ i ${\alpha }^{}$ ${\$는 결코 1이 될 수 없다$$.유한 기하계열의 합계에 대한 공식을 사용하여,

${\displaystyle \left \sum \{j=0}^{n-1e^{2\pi i\ell j\\n1}\rift \sum _{j=0}^{n-1}\left(e^{2\pi i\ell \}\reight)^{j}\오른쪽 =\frac {1-e^{2\pi i\ell n\n\pi }}{1-e^{2\pi \el}}}\오른쪽 \eq {\frac {2}{\frac {2}{\e^{2\pi \el \}}}}}오른쪽 },},}$

n에 의존하지 않는 유한한 경계따라서 n으로 나누고 n이 무한대로 경향을 보이도록 한 후 왼손은 0이 되는 경향이 있고, 웨일의 기준은 만족된다.

반대로, α가 합리적이라면, 이 순서는_j a = jα의 부분적 부분에 대한 옵션의 수가 한정되어 있기 때문에 등분산 모듈로 1이 아니라는 점에 주목한다.

완전한 균등분포

A sequence ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots )}$ of real numbers is said to be k-uniformly distributed mod 1 if not only the sequence of fractional parts ${\displaystyle a_{n}':=a_{n}-[a_{n}]}$ is uniformly distributed in ${\displaystyle [0,1]}$ but also the sequence ${\displaystyle (b_{1},b_{2},\dots )}$, where ${\displaystyle b_{n}}$ is defined as ${\displaystyle b_{n}:=(a'_{n+1},\dots ,a'_{n+k})\in [0,1]^{k}}$, is uniformly distributed in ${\displaystyle [0,1]$$^{k}}$.

${\displaystyle {}_{}}$ 숫자의 시퀀스$$$({\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle ...}$) ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots )$는 완전히 균일하게 분포된 모드 $1$이며, $각{\displaystyle }$ 자연수 k${\displaystyle }k{\displaystyle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaysty k}$ - 균일하게 분포된 것으로$$ 알려져$$있다.

예를 들어, 순서$({\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$) ${\displaystyle (\alpha ,2\alpha ,\dots )$는 불합리한 수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 대해 균일하게 분포된 모드 1(또는 1-균일하게 분포)이지만$,$ 결코 2-균일하게 분포되지 않는다.대조적으로 시퀀스$($ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$, …${\displaystyle {}^{}}$)$displaystyle (\alpha$,\$alpha ^{2},\alpha ^{3},\dots$)는 거의 모든$$ > ${\displaystyle \alpha$ >1$}(즉,$ 측정값 0의 집합을 제외한 모든$$ $,$ 디스플레이 스타일 $\alpha$ \$displaypa }).$

판데르 코퍼트의 차이 정리

요하네스 판 데르 코퍼트의^[8] 정리에서는 각 h에 대해 s_n+h - s_n 시퀀스가 균일하게 분포된 modulo 1이라면 s도_n 마찬가지라고 기술하고 있다.^[9][10][11]

반 데어 코퍼트 세트는 H의 각 h에 대해 s_n+h - s 시퀀스가_n 균일하게 분포된 모듈로 1인 경우 s인_n 정수의 집합 H이다.^[10][11]

미터법 정리

미터법 이론은 일부 매개변수 α의 거의 모든 값에 대한 파라메트레이션 시퀀스의 동작을 기술한다. 즉, 르베그 측정값의 예외적인 집합에 놓여 있지 않은 α의 값에 대한 것이다.

• 구별되는 정수 b의_n 모든 시퀀스에 대해, 순서(bα_n)는 거의 모든 α 값에 대해 등분산 모드 1이다.^[12]
• 시퀀스(α ⁿ)는 거의 모든 α > 1 값에 대해 등분산모드 1이다.^[13]

시퀀스(eⁿ ) 또는 (iii ⁿ )가 등분산 모드 1인지 알 수 없다.그러나 α가 PV 번호일 경우 시퀀스(αⁿ)가 등분산 mod 1이 아닌 것으로 알려져 있다.

잘 분포된 순서

실수의 시퀀스(s₁, s₂, s, s₃, ...)는 하위간격 [c, d ]에 대해 [a, b]에 잘 분포되어 있다고 한다.

${\displaystyle \lim _{n\to \ft \}{n\{n\\\\\\\\cap [c,d]\오른쪽 \n}={d-c \over b-a}}}}}={d-c \over b-a}}}}}$

일률적으로 k분명히 모든 잘 분배된 순서는 균일하게 분포되어 있지만, 그 역은 유지되지 않는다.잘 분포된 모듈로 1의 정의는 유사하다.

임의의 측정에 대해 등분산된 시퀀스

임의 확률 측정 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle ($$X,\mu$ $)}$의 경우$,$ 점 측정 평균이 $\mu$에 약하게 수렴되는 경우$$$$$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$ $}$에 대해 일련의 점$({\displaystyle x_{}}$ $displaystyle \mu$ })이(가$)$에 대해 등분한다고 한다$$$.$^[14]

${\displaystyle {\frac {\sum _{k=1}^{n}\delta _{x_{k}}}{n}}\오른쪽 화살표 \mu \.}$

분리 가능하고 측정 가능한 공간에 대한 보렐 확률 측정에는 해당 측정치에 대해 등분산 순서가 존재하며, 실제로 이는 그러한 공간이 표준이라는 사실에서 즉시 나타난다.

등분포의 일반적인 현상은 예를 들어 오펜하임 추측에 대한 마굴리스의 해법에서와 같이 리 그룹과 관련된 역동적인 시스템에서는 많이 나타난다.

참고 항목

• 등분포 정리
• 저점수열
• 에르데스-투란 부등식

메모들

참조

• Kuipers, L.; Niederreiter, H. (2006) [1974]. Uniform Distribution of Sequences. Dover Publications. ISBN 0-486-45019-8.
• Kuipers, L.; Niederreiter, H. (1974). Uniform Distribution of Sequences. John Wiley & Sons Inc. ISBN 0-471-51045-9. Zbl 0281.10001.
• Montgomery, Hugh L. (1994). Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis. Regional Conference Series in Mathematics. Vol. 84. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0737-4. Zbl 0814.11001.

추가 읽기

• Granville, Andrew; Rudnick, Zeév, eds. (2007). Equidistribution in number theory, an introduction. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on equidistribution in number theory, Montréal, Canada, July 11–22, 2005. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. Vol. 237. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4020-5403-7. Zbl 1121.11004.
• Tao, Terence (2012). Higher order Fourier analysis. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 142. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8986-2. Zbl 1277.11010.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Equidistributed Sequence". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Weyl's Criterion". MathWorld.
• 플래닛매트릭스에서 Weyl의 기준.
• Weyl's Criteria의 기준에 대한 증거를 가지고 있는 Charles Walkden의 강의 노트