다목적 최적화

다목적 최적화(다목적 프로그래밍, 벡터 최적화, 다중 기준 최적화, 다중 속성 최적화 또는 파레토 최적화라고도 함)는 동시에 최적화되는 두 개 이상의 목적 함수를 포함하는 수학적 최적화 문제와 관련된 다중 기준 의사 결정 영역입니다.sky. 다목적 최적화는 공학, 경제학, 로지스틱스 등 여러 과학 분야에 적용되어 왔다.이 분야에서는 두 가지 이상의 상충하는 목표 간의 트레이드오프가 존재하는 상황에서 최적의 의사결정을 내려야 한다.차량 구입 시 편안함을 극대화하면서 비용을 최소화하고, 차량의 연료 소비와 오염물질 배출을 최소화하면서 성능을 극대화하는 것은 각각 두 가지와 세 가지 목표를 수반하는 다목적 최적화 문제의 예다.실제 문제에서는 세 가지 이상의 목적이 있을 수 있습니다.

중요하지 않은 다목적 최적화 문제의 경우 각 목표를 동시에 최적화하는 단일 솔루션은 존재하지 않습니다.이 경우 목적 함수는 상충된다고 합니다.다른 객관적 값의 일부를 저하시키지 않고 값을 개선할 수 있는 객관적 함수가 없는 경우, 해법은 비도메인화, 파레토 최적, 파레토 효율 또는 비초과라고 불립니다.추가적인 주관적 선호 정보가 없다면, 파레토 최적 해법(아마도 무한대)이 존재할 수 있으며, 이들 모두 동일하게 양호한 것으로 간주됩니다.연구자들은 다양한 관점에서 다목적 최적화 문제를 연구하기 때문에 이를 설정하고 해결할 때 다양한 솔루션 철학과 목표가 존재합니다.목표는 파레토 최적 솔루션의 대표 세트를 찾거나 다양한 목표를 달성하거나 인간 의사결정자(DM)의 주관적 선호도를 충족하는 단일 솔루션을 찾는 데 있을 수 있다.

바이트리테리아 최적화는 두 가지 객관적 기능이 있는 특수한 경우를 의미한다.

서론

다목적 최적화 문제는 여러 목적 ^[1][2][3]함수를 포함하는 최적화 문제입니다.수학적 용어로 다목적 최적화 문제는 다음과 같이 공식화할 수 있다.

$\displaystyle \min _{x\in X}(f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots, f_{k}(x))}}$

$여기$서 정수 k${\displaystyle 2}$2(\$displaystyle$ k$\geq$ 2$)$는 목적의 수이고 $집합{\displaystyle }$X(\$displaystyle$$$X)는$$ 실행 가능한 결정 벡터의 집합입니다. $일반적$으로 X$$ R \ $subseteq$\ $mathbb${ $R$} $^{n}$이지만 n$$\$displaystyle$ n$$}$차원$ 응용 프로그램에 따라 달라집니다.실현 가능한 집합은 일반적으로 일부 제약 함수에 의해 정의됩니다.또한, 벡터 값 목적 함수는 종종 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle\aligned}f:X&\to \mathbb {R}^{k}\x&\mapto {begin{pmatrix}f_{1}(x)\vdots \\f_{k}(x)\end{pmatrix}\end{aligned}}}$

파레토 프런티어의 예(빨간색으로 표시), 파레토 최적 솔루션 세트(다른 실현 가능한 솔루션이 지배하지 않는 솔루션).상자 안의 점은 실행 가능한 선택을 나타내며, 큰 점보다 작은 값이 선호됩니다.점 C는 점 A와 점 B가 모두 지배하고 있기 때문에 파레토 경계에 있지 않습니다.포인트 A와 포인트B는 엄밀하게 다른 것에 의해 지배되지 않기 때문에 경계에 있습니다.

어떤 목적 함수를 최대화하려면 음수 또는 역함수를 최소화하는 것과 같습니다.$우리$는 Y R k \$displaystyle$Y \$subseteq \mathbb {R$$\}$ $^{k$$}$ ^{k} {$X$의 $이미지{\displaystyle }$, $x{\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {}^{}x}$X {\$displaystyle$ x$^{*}\in$X$$} 、 z or ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ( x$$ )$$ ${\displaystyle {}^{}}$ $display style$ z =$$f$$（$$f ） 。

다목적 최적화에서는 일반적으로 모든 목적 함수를 동시에 최소화하는 실현 가능한 솔루션이 존재하지 않습니다.따라서 파레토 최적 솔루션, 즉 다른 목표 중 적어도 하나를 저하시키지 않고는 어떤 목표에서도 개선할 수 없는 솔루션에 주목해야 합니다.수학적인 용어로 실현 가능한 ${\displaystyle {솔루션\mathrm{}}_{}}$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}_{}}$X (\$displaystyle x_{1}\in$X)는 (Pareto)가 다른 $솔루션{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}}$ (\$displaystyle x_{2}\in$ X$)$를 지배한다고 합니다.

1. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathrm{i}、}$ { ${\displaystyle 1、}$ ...${\displaystyle }$、 ${\displaystyle {}_{}}$ }${\displaystyle {}_{}}$、 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$i ( x 1${\displaystyle }$)$$、 $f$ i (${\displaystyle {}_{}}$x$$2 $){ display style$ \ $forall i$ \$in$ \ 1, \ $display$ style , k \ , \ , f$$_ { i$}$ ( x _ {1} )\$leq$f _ { i ${\displaystyle \mathrm{（}}$ $x$_ { 2$）$。
2. § { ..., }, f (x ) < i ( 2 ) \ $style$ \ display \$in \ 1,$ \ $display$ , k \ , $f$_ { i } ($x _${ 1 ) <$f$_ { i } ($x$_ {2}

$해{\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle {}^{}}$ X$($$및$ 대응하는 $결과{\displaystyle }$ f$x$ {$display$ f$(x$를 지배하고 있는 다른 해 x ${\displaystyle x}$ X가 존재하지 않는 경우 Pareto optimal이라고 한다.The set of Pareto optimal outcomes, denoted ${\displaystyle X^{*}}$, is often called the Pareto front, Pareto frontier, or Pareto boundary.

다목적 최적화 문제의 파레토 전면은 소위 nadir ${\displaystyle {객관}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{벡터}}^{}}$ z$$ a $di$ r {$nadir}$과(가) 유한한 경우 이상적인 객관 $벡터{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle z^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ d ${\displaystyle e^{}}$ a ${\displaystyle l^{}}$\ $displaystyle$ z$^{ideal$에 의해 경계된다.최하위 목적 벡터는 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle z^{pmatrix}={x^{*}\sup _{x^{*})f_{1}(x^{*})\\vdots \\sup _{x^{*}\in X^{*}f_{k}(x^{*})\end{pmatrix}\sup$

그리고 이상적인 객관적 벡터는

$\displaystyle z^{pmatrix}=inf _{x^{*}\f_{1}(x^{*})\vdots \\inf _{x^{*}\inf_{k}(x^{*})\end{pmatrix}\vdots \\in X^{*}f_{k}$

다시 말해, 최저 및 이상적인 목적 벡터의 성분은 파레토 최적 솔루션의 목적 함수의 상한과 하한을 정의한다.실제로는 파레토 최적 집합 전체를 알 수 없기 때문에 최하위 목적 벡터는 근사할 수 있다.게다가입니다 p{\displaystyle z^{utop} 있어, 이상적인 객관적인 벡터 zu}, ziu top)나는 나는 − ϵ e, ∀ 나는}이ϵ>0{\displaystyle \epsilon>0} 작은 상수입니다{1,…, km그리고 4.9초 만}{\displaystyle z_{나는}^{utop}=z_{나는}^{이상적인}-\epsilon ,\forall i\in \{1,\dots ,k\}∈, 자주 나는 정의된다 친절 zbecau.의 땅수치상의 이유

응용 프로그램의 예

경제학

경제학에서 많은 문제들은 달성 가능한 목표의 조합에 대한 제약과 함께 여러 목표를 수반한다.예를 들어, 다양한 재화에 대한 소비자의 수요는 그러한 재화에서 파생된 효용의 최대화 과정에 의해 결정되며, 그러한 재화와 그 재화의 가격에 소비할 수 있는 소득의 양에 기초한 제약을 받는다.이러한 제약조건은 다른 재화를 덜 소비하는 희생을 감수해야만 한 재화를 더 많이 구매할 수 있게 한다. 따라서 다양한 목적(각 재화의 더 많은 소비를 선호함)이 서로 상충된다.이러한 문제를 분석하는 일반적인 방법은 선호도를 나타내는 무관심 곡선 그래프와 소비자가 직면한 트레이드오프를 나타내는 예산 제약 조건을 사용하는 것이다.

또 다른 예는 생산가능성 프런티어(productivency possibility frontier)를 포함하는데, 이것은 일정한 양의 다양한 자원을 가진 사회에 의해 생산될 수 있는 다양한 종류의 재화의 조합을 규정한다.프런티어는 사회가 직면한 트레이드오프를 규정한다.-만약 사회가 자원을 충분히 활용하고 있다면, 한 가지 재화의 더 많은 재화의 생산은 오직 다른 재화의 더 적은 생산 비용으로만 이루어질 수 있다.사회는 국경의 가능성 중에서 선택하기 위해 몇 가지 과정을 이용해야 한다.

거시경제 정책 수립은 다목적 최적화를 필요로 하는 맥락이다.통상, 중앙은행은, 저인플레이션, 저실업, 무역수지 적자등의 경쟁 목표의 균형을 잡는 통화 정책의 자세를 선택할 필요가 있다.이를 위해 중앙은행은 경제의 다양한 인과관계를 정량적으로 설명하는 경제모델을 사용한다.중앙은행은 다양한 관심 변수에 대해 가능한 예측 결과의 메뉴를 얻기 위해 통화정책의 다양한 가능한 스탠스 하에서 모델을 반복적으로 시뮬레이션한다.그리고 원칙적으로 중앙은행은 대안들의 순위를 매기고 정책을 선택하기 위해 비양적, 판단 기반의 프로세스를 사용하지만, 예측 결과의 대안들을 평가하기 위해 종합 목적 함수를 사용할 수 있다.

자금

재무에서 공통적인 문제는 두 가지 상반되는 목표가 있을 때 포트폴리오를 선택하는 것입니다. 즉, 포트폴리오 수익률의 기대치를 가능한 한 높게 하고 싶은 욕구와 포트폴리오 수익률의 표준 편차에 의해 측정되는 위험을 최대한 낮게 하고 싶은 욕구입니다.이 문제는 종종 이용 가능한 위험과 기대 수익의 최선의 조합을 효율적인 프런티어가 보여주는 그래프와 다양한 위험 기대 수익 조합에 대한 투자자의 선호도를 보여주는 무관심 곡선으로 나타난다.포트폴리오 수익률의 기대치(제1의 순간)와 표준 편차(제2의 중심 모멘트의 제곱근)의 함수를 최적화하는 문제를 2순간 의사결정 모델이라고 한다.

최적의 제어

공학 및 경제학에서 많은 문제는 더 나은 것 또는 덜 나은 것으로 묘사할 수 없는 여러 목표를 수반합니다. 대신, 각 목표에는 이상적인 목표값이 있으며, 각 목표의 원하는 가치에 가능한 한 근접하는 것이 목표입니다.그래서 둘 모두 물가 상승률과 실업률 예를 들어, 에너지 시스템은 일반적으로 또는 사람이 지정된 곳 과 을 모두 지정한 시간에에 도착하는 로켓의 연료 사용과 방향을 조정하거나, 사람 공개 시장 조작을 실시하고 싶을 것을 원하는 성능과 cost[4][5]을 절충하고 가까운 aspos원하는 값에 맞출 수 있습니다.

그러한 문제는 특히 제어 가능한 변수의 수가 목표의 수보다 적고 무작위 충격의 존재가 불확실성을 생성할 때 모든 목표가 동시에 완벽하게 충족되는 것을 방해하는 선형 평등 제약조건에 따르는 경우가 많다.일반적으로 다목적 2차 목적함수가 사용되며, 목표와 관련된 비용은 목표의 이상값으로부터의 거리에 따라 2차적으로 증가한다.이러한 문제는 일반적으로 다양한 시점의 제어 변수 조정 및/또는 다양한 시점의 목표 평가를 포함하므로 시간 간 최적화 기법을 사용한다.^[6]

최적의 설계

최신 모델링, 시뮬레이션 및 최적화 ^{[citation needed]}기술을 사용하여 제품 및 프로세스 설계를 크게 개선할 수 있습니다.최적 설계의 핵심 질문은 설계에 대해 무엇이 좋거나 바람직한지에 대한 측도입니다.최적의 설계를 찾기 전에 설계의 전체 가치에 가장 많이 기여하는 특성을 식별하는 것이 중요합니다.우수한 설계에는 일반적으로 자본 비용/투자, 운영 비용, 이익, 품질 및/또는 제품의 회수, 효율성, 프로세스 안전성, 가동 시간 등의 여러 기준/목표가 포함됩니다.따라서 실제 적용에서는 프로세스 및 제품 설계의 성능이 여러 가지 목적에 대해 측정되는 경우가 많습니다.이러한 목표는 일반적으로 상충됩니다. 즉, 한 목표에 대한 최적의 가치를 달성하려면 하나 이상의 다른 목표에 대한 타협이 필요합니다.

예를 들어 제지공장을 설계할 때 제지공장에 투입되는 자본금 절감과 동시에 용지 품질 향상을 도모할 수 있다.제지공장의 설계가 대용량으로 정의되고 용지 품질이 품질 파라미터로 정의되는 경우 제지공장의 최적설계 문제에는 다음과 같은 목표가 포함될 수 있다. i) 공칭값에서 예상되는 품질 파라미터의 변동을 최소화하고 ii) 예상 휴식시간을 최소화하고 iii) 최소화를 최소화할 수 있다.스토리지 볼륨의 투자 비용 시각화여기서 타워의 최대 부피는 설계 변수입니다.제지 공장의 최적 설계 예는 ^[7]에 사용된 모델을 단순화한 것입니다.Multi-objective은 설계 최적화 또한 엔지니어링 시스템에서 제어 캐비닛 레이아웃 optimization,[8]날개 모양 같은 상황에서 구현되어 왔다 최적화를 사용하여 과학적 workflows,[9]디자인의nano-CMOS semiconductors,[10]시스템에 칩 디자인, 디자인의 태양열 관개 systems,[11]최적화의 모래 주형 sys.tems,[12][13]엔진설계,^[14][15] 최적의 센서 배치^[16] 및 최적의 컨트롤러 설계.^[17][18]

프로세스 최적화

다목적 최적화는 화학 공학 및 제조 분야에서 점점 더 많이 채택되고 있습니다.2009년에 피안다카와 프라가는 압력 변동 흡착 과정(순환 분리 과정)을 최적화하기 위해 다목적 유전 알고리즘(MOGA)을 사용했다.설계상의 문제는 질소 회수와 질소 순도의 이중 극대화를 수반했다.그 결과 파레토 국경의 근사치를 얻을 수 있었고 목표들 ^[19]간의 허용 가능한 트레이드오프도 얻을 수 있었다.

2010년, Sendin 등은 식품의 열가공에 관한 다목적 문제를 해결했다.그들은 비선형 동적 모델을 사용하여 두 가지 사례 연구(이중 객관적 및 삼중 객관적 문제)를 다루었고 가중치 Tchebychef와 정규 경계 교차로 접근방식으로 구성된 하이브리드 접근방식을 사용했다.새로운 하이브리드 접근방식은 식품의 ^[20]열처리를 위한 파레토 최적 세트를 구성할 수 있었다.

2013년, 가네산 등은 복합 이산화탄소 개질 및 메탄 부분 산화의 다목적 최적화를 실시했다.메탄 변환, 일산화탄소 선택성, 일산화수소 대 일산화탄소 비율이 목적이었다.가네산은 이 ^[21]문제를 해결하기 위해 두 가지 군집 기반 기술(GSA)과 입자 군집 최적화(PSO)와 함께 NBI(Normal Boundary Intersection) 방법을 사용했습니다.화학 추출^[22] 및 바이오 에탄올 생산^[23] 공정과 관련된 응용 분야에서도 유사한 다목적 문제가 제기되었다.

2013년 아바카로프 외 ^[24]연구진은 식품 공학에서 발생하는 다목적 최적화 문제를 해결하기 위한 대안 기술을 제안했다.집계 함수 접근법, 적응 랜덤 검색 알고리즘 및 패널티 함수 접근법은 비지배적 또는 파레토 최적 솔루션의 초기 집합을 계산하기 위해 사용되었다.분석 계층 프로세스와 표 형식 방법은 동시에 삼투압 탈수 ^[25]프로세스에 대한 지배적이지 않은 솔루션의 계산된 하위 집합 중에서 최상의 대안을 선택하기 위해 사용되었다.

2018년 피어스 등은 생산 시간과 인간 노동자에 대한 인체공학적 영향을 두 가지 목표로 고려하여 인간과 로봇 노동자에 대한 작업 할당을 다목적 최적화 문제로 공식화했다.이들의 접근방식은 혼합 정수 선형 프로그램을 사용하여 파레토 최적 솔루션 세트를 계산하기 위한 두 가지 목표의 가중치 합계에 대한 최적화 문제를 해결했다.여러 제조 작업에 대한 접근방식을 적용한 결과, 대부분의 작업에서 최소 한 가지 목표와 일부 ^[26]공정에서 두 가지 목표 모두에서 개선이 나타났다.

무선 자원 관리

무선 자원 관리의 목적은 셀룰러 ^[27]네트워크 사용자가 요구하는 데이터 레이트를 충족시키는 것입니다.주요 자원은 시간 간격, 주파수 블록 및 전송 전력입니다.각 사용자에게는 데이터 레이트, 레이텐시, 에너지 효율의 조합을 나타낼 수 있는 독자적인 목적 함수가 있습니다.주파수 자원이 매우 부족하기 때문에 이러한 목표는 상충됩니다.따라서 적절한 제어를 하지 않으면 사용자 간 간섭을 일으킬 수 있는 엄격한 공간 주파수 재사용이 필요합니다.오늘날 다중 사용자 MIMO 기술은 적응형 프리코딩을 통해 간섭을 줄이기 위해 사용됩니다.네트워크 오퍼레이터는 높은 커버리지와 높은 데이터 레이트를 모두 가져오기를 원하기 때문에 총 네트워크 데이터 스루풋과 사용자의 공정성을 적절한 주관적인 방법으로 균형 있게 유지하는 최적의 솔루션을 찾고자 합니다.

무선 자원 관리는 스칼라화, 즉 throughput과 사용자 공정성의 균형을 맞추는 네트워크 유틸리티 기능의 선택에 의해 해결되는 경우가 많습니다.효용 함수의 선택은 결과적으로 발생하는 단일 객관적 ^[27]최적화 문제의 계산 복잡성에 큰 영향을 미친다.예를 들어 가중합률의 공통효용은 사용자 수에 따라 기하급수적으로 확장되는 복잡도의 NP-하드 문제를 발생시키는 반면 가중합계 max-min 공정성 유틸리티는 ^[28]사용자 수에 따른 다항식 스케일링만으로 준볼록 최적화 문제를 발생시킨다.

전력 시스템

시스템 요소 간에 기능 링크를 교환함으로써 재구성은 배전 시스템의 동작 성능을 개선할 수 있는 가장 중요한 조치 중 하나입니다.배전 시스템의 재구성을 통한 최적화의 문제는 정의 측면에서 보면 제약조건에 관한 역사적 단일 객관적 문제이다.1975년 멀린과 백이 능동적 전력손실 감소를 위한 배전 시스템 재구성 아이디어를 도입한 이후 지금까지 많은 연구자들이 재구성 문제를 하나의 객관적인 문제로 해결하기 위한 다양한 방법과 알고리즘을 제안해 왔다.일부 저자는 파레토 최적성에 기초한 접근법(목표로서 능동 전력 손실 및 신뢰성 지수 포함)을 제안했다.이러한 목적을 위해, 미세 유전학,^[30] 분기 교환,^[31] 입자 군집 최적화 및 비지배적 정렬 유전 ^[33]알고리즘과 같은 다양한 인공지능 기반 방법이 사용되었다.

기반 시설 점검

인프라스트럭처에 대한 자율적인 검사는 비용, 리스크 및 환경에 미치는 영향을 줄일 수 있을 뿐만 아니라 검사 대상 자산의 정기적인 유지보수를 개선할 수 있습니다.일반적으로 이러한 임무를 계획하는 것은 하나의 객관적인 최적화 문제로 간주되어 전체 대상 ^[34]구조물을 검사하는 데 소비되는 에너지 또는 시간을 최소화하는 것을 목표로 한다.그러나 복잡한 현실 구조에서는 검사 대상을 100% 포괄하는 것이 불가능하며 검사 계획을 생성하는 것은 검사 범위를 최대화하고 시간과 비용을 최소화하는 것을 목표로 하는 다목적 최적화 문제로 보는 것이 더 나을 수 있습니다.최근의 연구는 다목적 검사 계획이 복잡한 구조에서^[35] 기존의 방법을 능가할 가능성이 있다는 것을 보여준다.

솔루션

일반적으로 다목적 최적화 문제에 대해 여러 개의 파레토 최적 솔루션이 존재하기 때문에, 이러한 문제를 해결하는 것이 의미하는 것은 기존의 단일 목적 최적화 문제에 대한 것처럼 간단하지 않습니다.따라서 여러 연구자들이 "다목적 최적화 문제 해결"이라는 용어를 다양한 방법으로 정의했습니다.이 항에서는 이들 중 일부와 그것들이 사용되는 컨텍스트에 대해 요약합니다.많은 방법이 여러 목표를 가진 원래 문제를 단일 목표 최적화 문제로 변환합니다.이것을 scalized 문제라고 부릅니다.얻어진 단일 목적 솔루션의 파레토 최적성을 보장할 수 있다면 스칼라화는 깔끔하게 이루어지는 것이 특징이다.

다목적 최적화 문제를 해결하는 것은 파레토 최적 ^[36][37]솔루션의 전체 또는 대표 세트를 근사 또는 계산하는 것으로 이해되기도 합니다.

의사결정이 강조될 때, 다목적 최적화 문제를 해결하는 목표는 의사결정자가 주관적 ^[1][38]선호에 따라 가장 선호하는 파레토 최적 솔루션을 찾을 수 있도록 지원하는 것이다.기본적인 가정은 실제로 구현하려면 문제에 대한 하나의 해결책을 식별해야 한다는 것입니다.여기서 인간의 의사결정자(DM)는 중요한 역할을 합니다.DM은 문제 영역의 전문가여야 합니다.

가장 선호하는 결과는 다른 철학을 사용하여 찾을 수 있습니다.다목적 최적화 방법은 4가지 ^[2]클래스로 나눌 수 있습니다.

1. 이른바 비선호 방식에서는 DM을 사용할 수 없을 것으로 예상되지만 선호도 정보가 ^[1]없는 중립 타협 솔루션이 식별됩니다.다른 클래스는 이른바 priori, postori 및 인터랙티브 방식이며, 이들은 모두 DM의 선호 정보를 다른 방식으로 포함합니다.
2. priori 방법에서는 우선 DM에서 선호 정보를 요청한 후 이러한 선호도를 가장 잘 충족하는 솔루션을 찾습니다.
3. postori 방법에서는 먼저 파레토 최적 솔루션의 대표 세트를 찾은 후 DM은 그 중 하나를 선택해야 합니다.
4. 대화형 방법에서 의사결정자는 가장 선호하는 해결책을 반복적으로 찾을 수 있다.대화형 방법의 각 반복에서 DM은 파레토 최적 솔루션을 나타내며, 솔루션이 어떻게 개선될 수 있는지를 설명한다.의사결정자가 제공한 정보는 다음 반복에서 DM을 연구하기 위해 새로운 Pareto 최적 솔루션을 생성할 때 고려됩니다.이와 같이 DM은 자신의 희망의 실현 가능성에 대해 학습하고, 자신에게 흥미로운 솔루션에 집중할 수 있습니다.DM은 원할 때마다 검색을 중지할 수 있습니다.

4가지 클래스의 다양한 메서드에 대한 자세한 내용과 예는 다음 섹션에서 설명합니다.

비선호 방식

의사결정자가 선호 정보를 명시적으로 명시하지 않는 경우, 다목적 최적화 방법은 선호하지 않는 ^[2]방법으로 분류할 수 있다.잘 알려진 예는 글로벌 ^[39]기준의 방법인데, 이 방법에서는 다음과 같은 형식의 scalized problem of the global criteria가

$\displaystyle { begin { aligned } \ min & \ f ( x ) - z^ { ideal } \ { \ text { s . t } } xx X \ end { aligned } }$

해결되었습니다.위의$$ 문제에서는${\displaystyle }$$({$ $({$ $L$ }({$displaystyle L_${\$infty$^[1] 등의 $공통{\displaystyle {}_{}}$ 선택지를 사용하여 임의의 ${\displaystyle L_{}}$p$({$$displaystyle L_$${$$p$$})$ 규범으로 할 수 있습니다${\displaystyle .}$전역 기준의 방법은 목적 함수의 스케일링에 민감하므로, 목표를 균일하고 차원 없는 ^[1][38]척도로 정규화할 것을 권고한다.

선험적 방법

priori 방법에서는 솔루션 프로세스 ^[2]전에 충분한 선호도 정보가 표현되어야 합니다.priori 방법의 잘 알려진 예로는 효용 함수 방법, 사전 편찬 방법 및 목표 프로그래밍이 있습니다.

효용기능법은 의사결정자의 효용기능을 이용할 수 있다고 가정한다.A매핑 u:YR→{\displaystyle u\colon Y\rightarrow \mathbb{R}}는 효용 기능 모든 y1,2∈ Y{\displaystyle \mathbf{y}^{1},\mathbf{y}^{2}\in Y}만약 유지하고 있을 때 그런 식으로(y 1)>;(y 2){\displaystyle u(\mathbf{y}^{1})>, u(\mathbf{y}^{2})}이 의사 결정자 prefe y.개발 ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$$$ $(\$$displaystyle \mathbf$${y}$^{$1$} ) ~ $y$2$$(\$displaystyle \mathbf$${y$}$$$2$})$$$및{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$$(y$1) (\$displaystyle$$$${\displaystyle u}$ (\$mathbf${y}$^{2$}) (\displaystyle {$y})$ $사이$에 의사 결정자가 무관심한 경우${2$ 유틸리티 함수는 결정 벡터의 순서를 지정합니다(많은 방법으로 벡터의 순서를 지정할 수 있는 호출).$displaystyle$u를$$ $얻으면{\displaystyle }$ 해결하기에 충분합니다.

$\displaystyle \max \;u(\mathbf {f}(\mathbf {x})){\text{}\mathbf {x} \in X,}$

그러나 실제로 의사결정자의 선호도를^[1] 정확하게 나타내는 효용 함수를 구축하는 것은 매우 어렵다. 특히 최적화가 시작되기 전에 파레토 전면을 알 수 없기 때문이다.

사전 편찬 방법에서는 목표가 중요도 순으로 순위가 매겨질 수 있다고 가정합니다.의사결정자에게는 $({$이 가장 ${\displaystyle {중요}_{}}$하며$$fk({$displaystyle f_{$k$$})가 가장 중요하지 $않은{\displaystyle {}_{}}$ 순서의 객관적 기능이 있다고 가정할 수 있다.사전 편찬 방법은 형식의 단일 객관적 최적화 문제의 시퀀스를 해결하는 것으로 구성된다.

$(\displaystyle\mathbf {x}\text{s.t}).}&f_{j}(\mathbf {x})\leq \mathbf {y} _{j}^*},\;j=1,\dotsc,l-1,\&\mathbf {x} \in X,\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}_{}^{}}$서 y j$$ { $displaystyle$\ $mathbf { y$ }$_$ { $j$}^{*}}는$$ l ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$ l$=j$에 $대한{\displaystyle }$ 위의 문제의 최적값입니다.따라서 y ${\displaystyle {}_{}^{}display}$ : $=$min { ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$1 (${\displaystyle x\mathbf{}}$ )$$ x${\displaystyle \mathrm{display}}$ X $}$ { $displaystyle$$$\ $mathbf { y$ } $_${ { }^{ * }} $:=\min$\{$f_{1$}\$mid \mathbf {x}$ \$in$ X$\}$는 $새로운{\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ $제약조건$에 따라 $위$의 문제의 새로운 문제가 추가됩니다$.$여기서 목표나 목표값이 명시되어 있지 않기 때문에 사전적 목표 프로그래밍 방법과는 다릅니다.

스칼라라이징

다목적 최적화 문제를 스칼라화하는 것은 선험적 방법이며, 이는 단일 목표 최적화 문제에 대한 최적 솔루션이 다목적 최적화 ^[2]문제에 대한 파레토 최적 솔루션이 되도록 단일 목표 최적화 문제를 공식화하는 것을 의미한다.또한 스칼라화의 몇 ^[2]가지 파라미터를 사용하여 모든 Pareto 최적 솔루션에 도달해야 하는 경우가 많습니다.스칼라화를 위한 다른 매개 변수를 사용하여 다양한 파레토 최적 솔루션이 생성됩니다.다목적 최적화의 스칼라화를 위한 일반적인 공식은 다음과 같다.

$X_{\theta},\end{array},\displaystyle {begin{1}(x),\ldots,f_{k}(x),\theta)\{\text{s.t}}x\in X_{\theta},\end{array}}}}$

$여기$서$$\$displaystyle \theta }$는 벡터 파라미터입니다.$세트{\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle \theta }$ X {\$displaystyle$ X_${\theta$}\$seteq$ X$$}는 $파라미터 {\$ ${\displaystyle$ \theta$$$$$}$ 및${\displaystyle }$g : ${\displaystyle {\mathrm{R}}^{}}$+ 1 ${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle$ g$:\mathbb {$right$}$에 따라 $설정됩니다.$

매우 잘 알려진 예는 이른바

• 선형 스칼라화

$\displaystyle \min _{x\in X}\sum _{i=1}^{k}w_{i}f_{i}(x),}$

$여기$서 i 0 { $w$_ { $i$} >$0$ 의 목표의 가중치는 스칼라라이제이션의 파라미터입니다.

• $§$ $(\displaystyle$\ilon$)$ - 구속방법 ($예$:^[1] 참조)

${\displaystyle {begin{array}{ll}\min &f_{j}(x)\{\text{s.t.}}\in X\\\&f_i}(x)\leq \epsilon _{i}{\text{}in 1,\ldots,k\}\setus\{array}}\}\}\}\}\}\x\},\},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\$

여기서 $상한치{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle j_{}}$ \ $displaystyle$ \$explilon$_ {$j$ }는$$ 위와 같은 $파라미터$이고 ${\displaystyle f_{}}$j \ $displaystyle f_{j}$는 최소화하는 목표입니다.

보다 고도의 예를 다음에 나타냅니다.

• Wierzbicki의 ^[40]스칼라화 문제를 달성합니다.달성 스칼라화 문제의 한 예는 다음과 같이 공식화할 수 있습니다.

${\displaystyle {displaystyle {array} {ll} \ max _ {i= 1, \ldots , k} \ left [ { \ frac { f _ i } - { z } _ { z _ { i } { \ text { i } } { \ text { i } } ^{ \ \ \ \ r sumi } { k } } \ right = { k }$

여기서 용어 ρ ∑ 나는 갈1kfi())zi의 스녀는 d− z나는 유토피아적인{\displaystyle \rho \sum_{i=1}())}{z_{나는}^{1600}-z_{나는}^{\text{유토피아}}}}};0{\displaystyle \rho>0} 작은,와 znad{\displaystyle z^{\text{nad}상수입니다}}과 연장선이 용어ρ하라고 불린다. zutopian$(\$ z$^{\text{positian}})$은 각각 최하위 및 유토피아 벡터입니다.상기 문제에서 파라미터는 의사결정자가 선호하는 객관적인 함수값을 나타내는 이른바 $기준점{\displaystyle \stackrel{}{}}$ z$$δ(\$displaystyle\bar {z})$이다.

• Sen의 다목적 프로그래밍^[41]

$여기$서 ${\displaystyle W_{}}$ j$(\$는 $최대화{\displaystyle }$r(\$displaystyle$r) 및$$ $최소화{\displaystyle }$r + $(\displaystyle$ r$+1$$)$ ~ $(\displaystyle$ s$)$의 목표에 대한 개별 최적화(Absolute)입니다.

• 하이퍼볼륨/체비셰프 스칼라화^[42]

$\displaystyle \min _{x\in X}\max _{i}{\frac {f_{i}(x)}{w_{i}}}$

$여기$서 목표 w > 0 { $displaystyle w_{i$}> 0 의 가중치는 스칼라라이제이션 파라미터입니다.파라메타/무게가 정의 직교에서 균일하게 그려지면, 이 스칼라화는 전면이 볼록하지 않은 경우에도 파레토 ^[42]전면으로 확실히 수렴되는 것을 알 수 있다.

예를 들어 포트폴리오 최적화는 종종 평균-분산 분석 측면에서 수행됩니다.여기서 효율적인 세트는 포트폴리오의 수익률 변동을 최소화하기 위해 포트폴리오 점유율을 선택하는 문제에서 포트폴리오 평균 $수익률{\displaystyle {}_{}}$ $({$에 의해 파라미터화된 포트폴리오의 서브셋으로,$$$({$${P})$의 $주어진{\displaystyle {}_{}}$ 값을 조건으로 한다.$_{P$ ; 자세한 내용은 뮤추얼펀드 분리정리를 참조하십시오.또한 효율적인 포트폴리오 세트는 $함수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}P}$ - b ${\displaystyle p_{}}$P \ $displaystyle \mu$_ {$P}-b\sigma$_ {$P$을 최대화하도록 포트폴리오 공유를 선택함으로써 지정할 수 있으며, 효율적인 포트폴리오 세트는 0 ~ 무한대의 범위에서 솔루션들로 구성되어 있다.

사후적 방법

postori 방법은 모든 파레토 최적 솔루션 또는 파레토 최적 솔루션의 대표적인 하위 집합을 생성하는 것을 목표로 한다.대부분의 postori 메서드는 다음 두 가지 클래스 중 하나로 분류됩니다.

• 알고리즘이 반복되고 알고리즘의 각 실행이 하나의 파레토 최적 솔루션을 생성하는 수학 프로그래밍 기반의 사후 방법.
• 알고리즘의 1회 실행으로 파레토 최적 솔루션 세트가 생성되는 진화 알고리즘.

수학적programming-based 사후적 방법의 잘 알려 진 예로는 있는 사범 경계 교차(비전투 상해 또는 질병자)[43]수정된 사범 경계 교차(NBIm)[44]사범 구속 조건(NC)[45][46]Successive 파레토 최적화(부장 박영수)[47]와 다목적 최적화를 풀검색 도메인(DSD)[표창 필요한]방법 Directed. 몇 계단을 생성하여 문제 같습니다리케이션.각 스칼라라이제이션에 대한 솔루션은 로컬이든 글로벌이든 최적의 Pareto 솔루션을 제공합니다.NBI, NBIm, NC 및 DSD 방법의 스칼라화는 실제 파레토 포인트 세트에 대한 양호한 균등하게 분포된 근사치를 제공하는 균등하게 분포된 파레토 포인트를 얻는 것을 목표로 구성된다.

진화 알고리즘은 다목적 최적화 문제에 대한 파레토 최적 솔루션을 생성하는 데 널리 사용되는 접근법이다.현재 대부분의 진화적 다목적 최적화(EMO) 알고리즘은 파레토 기반 순위 체계를 적용하고 있습니다.비지배적 정렬 유전 알고리즘 II(NSGA-II)^[48]와 강도 파레토 진화 알고리즘 2(SPEA-2)^[49]와 같은 진화 알고리즘은 입자 군 최적화와 시뮬레이션^[50] 어닐링에 기초한 일부 계획이 중요하지만 표준 접근법이 되었다.진화 알고리즘의 주요 장점은 다목적 최적화 문제를 해결하기 위해 적용되었을 때 일반적으로 솔루션 세트를 생성하여 전체 파레토 전면의 근사치를 계산할 수 있다는 사실이다.진화 알고리즘의 주요 단점은 속도가 느리고 솔루션의 파레토 최적성이 보장되지 않는다는 것입니다.생성된 어떤 솔루션도 다른 솔루션을 지배하지 않는 것으로만 알려져 있습니다.

진화 알고리즘을 이용한 신규성에 기초한 다목적 최적화를 위한 또 다른 패러다임이 최근에 ^[51]개선되었다.이 패러다임은 비지배적 해결책에 대한 탐색 외에 객관적 공간(즉, 객관적 공간에 대한 참신성^[52] 탐색)에서 새로운 해결책을 탐색한다.참신성 검색은 이전에 탐험되지 않은 곳으로 검색을 안내하는 디딤돌과 같습니다.이는 특히 편견과 고원을 극복하고 다목적 최적화 문제에 대한 검색을 안내하는 데 유용합니다.

일반적으로 알려진 사후 방법은 다음과 같습니다.

• γ-제약법^[53][54]
• 다목적 분기^[55][56][57] 및 경계
• 정규 경계 교차로(NBI)^[43]
• 수정된 정규 경계 교차로(NBIm)^[44] 정규 구속조건(NC),^[45][46]
• 연속 Pareto 최적화(SPO)^[47]
• 다이렉트 서치 도메인(DSD)^{[citation needed]}
• NSGA-II^[48]
• PGEN(볼록한 다목적 ^[58]인스턴스용 예비 표면 생성)
• IOSO(자기조직에 근거한 간접 최적화)
• SMS-EMOA(S 메트릭 선택 진화적 다목적 알고리즘)^[59]
• 근사 유도 진화(이론적인 컴퓨터 ^[60]과학에서 공식적인 근사 개념을 직접 구현하고 최적화하는 첫 번째 알고리즘)
• LIONsolver에서 구현된 사후 대응 검색 최적화(전략 및 ^[61][62]목표 조정에 기계 학습을 사용)
• 다중 목적 선형 프로그램과 다중 목적 볼록 프로그램을 위한 벤슨의 알고리즘
• 다목적 입자 군집 최적화
• 신규성에 근거한^[51] 서브인포메이션 알고리즘

인터랙티브 메서드

여러 객관적 문제를 최적화하는 대화형 방법에서는 솔루션 프로세스가 반복되며 의사결정자는 가장 선호하는 해결책을 찾을 때 지속적으로 방법과 상호작용한다(예: 참조).Miettinen 1999,^[1] Miettinen 2008^[63]).즉, 의사결정자는 의사결정자가 관심을 갖는 파레토 최적 솔루션을 얻고 어떤 종류의 솔루션을 얻을 수 있는지 알기 위해 각 반복마다 선호도를 표현해야 한다.

대화형 최적화 ^[63]방법에는 일반적으로 다음 단계가 있습니다.

1. 초기화(예: 이상적이고 근사적인 최소 목적 벡터를 계산하여 의사결정자에게 제시)
2. 파레토 최적 출발점을 생성한다(예: 의사결정자가 제공한 비선호 방법 또는 솔루션을 사용하여)
3. 의사결정자에게 선호도 정보(예: 생성되는 새로운 솔루션의 수 또는 포부 수준)를 요청한다.
4. 선호도에 따라 새로운 파레토 최적 솔루션을 생성하여 의사결정자에게 해당 솔루션 및 문제에 대한 기타 정보를 제시합니다.
5. 여러 개의 솔루션이 생성된 경우 의사결정자에게 지금까지의 솔루션 중 가장 적합한 솔루션을 선택하도록 요청한다.
6. 정지(의사결정자가 원할 경우 스텝3으로 넘어갑니다).

위의 흡인 수준은 기준점을 형성하는 바람직한 목적 함수 값을 나타냅니다.수학적 최적화 방법에서 종종 정지 기준으로 사용되는 수학적 수렴 대신, 상호작용 방법에서는 심리적 수렴이 종종 강조된다.일반적으로 의사결정자가 이용 가능한 가장 선호되는 솔루션을 발견했다고 확신하면 방법은 종료된다.

선호도 정보의 종류

다양한 유형의 선호 정보를 포함하는 다양한 대화형 방법이 있습니다.이러한 유형 중 3가지를 식별할 수 있는 것은

1. 트레이드오프 정보,
2. 참조점 및
3. 객관적 ^[63]기능의 분류.

한편, 소규모 솔루션 샘플을 생성하는 네 번째 유형은 ^[64][65]다음과 같습니다.트레이드오프 정보를 이용하는 인터랙티브 방법의 예로는 Zionts-Wallenius ^[66]방법이 있다.이 방법에서는 의사결정자는 반복마다 몇 가지 객관적인 트레이드오프를 나타내며, (s) 각각의 트레이드오프를 좋아하는지, 싫어하는지, 무관심한지를 말할 것으로 예상된다.기준점 기반 방법(예를 ^[67][68]들어 참조)에서 의사결정자는 각 반복에서 목표별로 원하는 값으로 구성된 기준점을 특정할 것으로 예상되며, 그 후 대응하는 파레토 최적 솔루션이 계산되어 분석을 위해 의사결정자에게 제시된다.분류 기반의 대화형 방법에서 의사결정자는 현재의 파레토 최적 솔루션에서 목표를 다른 클래스로 분류하는 형태로 선호도를 부여하는 것으로 가정되며, 이는 보다 선호하는 솔루션을 얻기 위해 목표의 값이 어떻게 변경되어야 하는지를 나타낸다.그런 다음, 새로운 (더 선호되는) 파레토 최적 솔루션이 계산될 때 주어진 분류 정보가 고려된다.만족 트레이드오프 방식(STOM)^[69]에서는 1) 값을 개선해야 하는 목표, 2) 완화해야 하는 목표, 3)의 세 가지 클래스가 허용된다.NIMBUS ^[70][71]방법에서는 두 가지 추가 클래스도 사용됩니다. 즉, 값 4)가 지정된 한계까지 개선되어야 하며 5) 값이 지정된 한계까지 완화될 수 있는 목표입니다.

하이브리드 방식

다양한 하이브리드 방법이 존재하지만 여기서는 MCDM(다기준 의사결정)과 EMO(진화적 다목적 최적화)의 하이브리드화를 고려한다.다목적 최적화의 맥락에서 하이브리드 알고리즘은 이 두 가지 필드의 알고리즘/접근법의 조합이다(예:^[63] 참조).EMO와 MCDM의 하이브리드 알고리즘은 장점을 살려 단점을 극복하는 데 주로 활용된다.문헌에는 여러 가지 유형의 하이브리드 알고리즘이 제안되고 있다. 예를 들어 로컬 검색 운영자로서 EMO 알고리즘에 MCDM 접근 방식을 통합하고 DM을 가장 선호하는 솔루션(들)으로 이끄는 등.로컬 검색 연산자는 주로 EMO 알고리즘의 수렴 속도를 높이기 위해 사용됩니다.

하이브리드 다목적 최적화의 뿌리는 2004년 11월에 개최된 제1회 Dagstuhl 세미나에서 찾을 수 있습니다(여기를 참조).여기에서는, EMO(Kalyanmoy Deb 교수, Jurgen Branke 교수 등)와 MCDM(Kaisa Miettinen 교수, Ralph E 교수)의 최고^{[citation needed]} 지성이 몇명 있습니다.Steuer 등)는 MCDM과 EMO 분야의 아이디어와 접근방식을 결합하여 하이브리드를 준비할 수 있는 가능성을 실현했습니다.그 후 협업을 촉진하기 위해 더 많은 Dagstuhl 세미나가 준비되었습니다.최근 하이브리드 다목적 최적화는 EMO 및 MCDM 분야의 여러 국제 회의에서 중요한 주제가 되었다(예:^[72][73] 참조).

파레토 전면 시각화

파레토 전면의 시각화는 다목적 최적화의 사후 선호 기술 중 하나이다.사후 선호 기법은 다목적 최적화 ^[1]기법의 중요한 클래스를 제공한다.일반적으로 사후 선호 기술은 4단계를 포함한다. (1) 컴퓨터는 파레토 전면을 근사한다. 즉, 목표 공간에 설정된 파레토 최적이다. (2) 의사결정자는 파레토 전면의 근사치를 연구한다. (3) 의사결정자는 파레토 전면의 선호점을 식별한다. (4) 컴퓨터는 파레토 최적 결정을 제공한다.n. 이 출력은 의사결정자가 식별한 목표 지점과 일치한다.의사결정자의 관점에서 사후 선호 기법의 두 번째 단계는 가장 복잡한 것이다.의사결정자에게 알리는 방법은 크게 두 가지가 있습니다.첫째, 파레토 전면의 많은 포인트를 목록 형식으로 제공하거나(에 흥미로운 토론 및 참조가 제공됨^[74]) 히트맵을 ^[75]사용하여 제공할 수 있습니다.

이중 객관적 문제 시각화: 트레이드오프 곡선

이중 객관적인 문제의 경우, 파레토 전선에 대해 의사결정자에게 알리는 것은 보통 그 시각화에 의해 이루어진다.이 경우 트레이드오프 곡선이라고 불리는 파레토 전선은 종종 대상 평면에 그려질 수 있다.트레이드오프 곡선은 객관적 가치와 객관적 트레이드오프에 대한 완전한 정보를 제공하며, 이는 트레이드오프 곡선을 따라 이동하는 동안 한 가지 목표를 개선하는 것이 두 번째 목표를 악화시키는 것과 어떻게 관련이 있는지를 알려준다.의사결정자는 선호되는 파레토 최적 목표 지점을 지정하면서 이 정보를 고려한다.S는 선형 바이 오브젝티브 결정 문제에 대해 파레토 전면을 근사하고 시각화하는 아이디어를 도입했다.가스와 T.사티.^[76] 이 아이디어는 J.L.에 의해 개발되고 환경 문제에 적용되었습니다.코혼.^[77] 소수의 목적(주로 2개)을 가진 다양한 의사결정 문제에 대해 파레토 전선을 근사하는 방법에 대한 검토가 ^[78]에 제공된다.

고차 다목적 최적화 문제에서의 시각화

상위 다목적 의사결정 문제(목표가 두 개 이상인 문제)에서 파레토 전선을 시각화하는 방법에 대한 두 가지 일반적인 아이디어가 있다.그 중 하나는 파레토 전방을 나타내는 객관적인 점의 수가 비교적 적은 경우에 적용할 수 있으며, 통계에서 개발된 시각화 기법(다양한 다이어그램 등 – 아래 하위 섹션 참조)을 사용한다.두 번째 아이디어는 파레토 전면의 이중 객관적 단면(슬라이스)의 표시를 제안한다.그것은 W.S.에 의해 도입되었다.1973년^[79] Meisel은 그러한 조각이 의사결정자에게 객관적인 트레이드오프를 제공한다고 주장했다.세 가지 객관적인 문제에 대해 파레토 전면의 일련의 이중 객관적인 슬라이스를 표시하는 그림을 의사결정 맵이라고 합니다.그들은 세 가지 기준 사이의 트레이드오프를 명확하게 보여준다.이러한 접근법의 단점은 다음의 두 가지 사실과 관련이 있다.첫째, 파레토 전면은 보통 안정적이지 않기 때문에 파레토 전면의 바이오브젝트 슬라이스를 구성하기 위한 연산 절차가 안정적이지 않다.둘째, 3가지 목적에만 적용할 수 있다.1980년대에 W.S.라는 발상이 있었다.다른 형태로 구현된 Meisel - Interactive Decision Maps(IDM; 인터랙티브 의사 결정 맵) 기술.^[80]최근에는 N.웨스너는^[81] 파레토 국경의 탐험과 최적 솔루션의 선택을 위해 벤 다이어그램과 객관적 공간의 다중 산점도 뷰를 조합하여 사용할 것을 제안했다.

「 」를 참조해 주세요.

• 복수기준결정분석
  • 다중 기준 의사결정
• 다목적 선형 프로그래밍
• 다방면에 걸친 설계 최적화
• 파레토 효율
• 목표 프로그래밍
• 동시 프로그래밍
• 벡터 최적화
• 대화형 의사결정 맵
• 효용 함수
• 의사결정 소프트웨어

레퍼런스

외부 링크

• 국제 복수 기준 의사결정 학회
• 진화적 다목적 최적화, Wolfram 데모 프로젝트
• 다목적 최적화 및 유전자 알고리즘에 대한 튜토리얼, Scilab Professional Partner
• 보그단주 토모이아거주, 미르체아주, 섬퍼주, 안드레아스주, 수드리아안드레우주, 안토니주, 빌라필라로블레스주, 로베르토주2013. "NSGA-II에 기반한 유전 알고리즘을 이용한 배전 시스템의 최적 재구성" 에너지 6, No. 3: 1439-1455.
• 진화적 다목적 최적화에 관한 참고 자료 목록