벡터 최적화

벡터 최적화는 주어진 부분 순서와 관련하여 벡터 값 객관적 함수의 최적화 문제가 최적화되고 특정 제약조건에 따르는 수학적 최적화의 하위 영역이다.다목적 최적화 문제는 벡터 최적화 문제의 특별한 경우다.목표 공간은 구성 요소 순서에 따라 "보다 작거나 같은" 순서에 의해 부분적으로 정렬된 유한 치수 유클리드 공간이다.

문제 제식

수학 용어로 벡터 최적화 문제는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle C\operatorname {-} \min _{x\in S}f(x)}$

여기서 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f:X\to$ Z$}$ 부분 순서의 벡터 $공간{\displaystyle }$ Z ${\displaystyle Z}$에 대한 $.$부분 순서는 원뿔 $C{\displaystyle }$⊆ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle C\subseteq Z}$에 의해 유도된다$.$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$는 임의의 집합이며 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$은 실현 가능한 집합이라고 한다.

솔루션 개념

다음과 같은 여러 가지 최소성 개념이 있다.

• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$ is a weakly efficient point (weak minimizer) if for every ${\displaystyle x\in S}$ one has ${\displaystyle f(x)-f({\bar {x}})\not \in -\operatorname {int} C}$.
• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$ is an efficient point (minimizer) if for every ${\displaystyle x\in S}$ one has ${\displaystyle f(x)-f({\bar {x}})\not \in -C\backslash \{0\}}$.
• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$ is a properly efficient point (proper minimizer) if ${\displaystyle {\bar {x}}}$ is a weakly efficient point with respect to a closed pointed convex cone ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ where ${\displaystyle C\backslash \{0\}\subset$$eq \operatorname {int} {\tilde{C}}$.

모든 적절한 미니마이저는 미니마이저다.그리고 모든 미니마이저는 약한 미니마이저다.^[1]

현대 솔루션 개념은 최소성 개념으로 구성될 뿐만 아니라 최소 달성도 고려한다.^[2]

솔루션 방법

• 선형 벡터 최적화 문제에 대한 벤슨의 알고리즘.^[2]

다목적 최적화에 대한 관계

모든 다목적 최적화 문제는 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle \mathb {R} _{+}^{d}\operatorname {-} \min _{x\in M}f(x)}$

$여기$서 f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\d {R} \mathb {$R} ^{$d}$ 및 $R$ + ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 표시style $\mathb {R} _{+}^{d}}}$는 ${\displaystyle {}^{}}$ d$${\$dapstyle \mathb {R}$^{$d$의 음이 아닌 직교정제이므로 이 벡터 최적화 문제의 최소치는 Pare 효율적이다.

참조