밀너 수

수학, 특히 특이점 이론에서, 존 밀너(John Milnor)의 이름을 딴 밀너(Milnor) 수는 함수 세균의 불변수다.

f가 복합 값 홀로모르픽 함수 세균인 경우 milnor number of f, μ(f), 음이 아닌 정수 또는 무한정이다.그것은 기하학적 불변성과 대수학적 불변성 둘 다로 간주될 수 있다.대수 기하학과 특이성 이론에서 중요한 역할을 하는 이유다.

대수적 정의

홀로모픽 복합함수 세균을 고려

${\displaystyle f:(\mathb {C} ^{n},0)\to(\mathb {C},0)\}$

and denote by ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ the ring of all function germs ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)}$. Every level of a function is a complex hypersurface in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, therefore we will call ${\displaystyl$$e f}$ 과급면$$ 특이점.

고립된 특이점이라고 가정하자: 홀로모르픽 매핑의 경우, 초외면 $특이점{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f$$}$이(가) $0$ $∈$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$displaystyle$ $0$$\$$in$ $\$$mathb{C}$$$^{$n}}}}$에서 단수점인$$ 경우$$ 단수점이라고 한다.충분히 작은 이웃의 특이점.특히 그라데이션의 다중성

${\displaystyle \mu(f)=\dim _{\mathb {C}{\mathcal {O}_{n}/\nabla f}$

유한하다.이 숫자 $\mu {\displaystyle (f}$) ${\displaystyle \mu(f)}$은(는$)$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle 0}$에 $있는{\displaystyle }$ Milnor의 특이점$$f {\$displaystyle f}$ 수입니다$.$

gradient의 다중성은 원점이 f의 격리된 임계점인 경우에만 유한하다는 점에 유의한다.

기하학적 해석

밀너는 원래^[1] 다음과 같은 방법으로 $\mu {\displaystyle (f}$) ${\디스플레이$ 스타일 $\mu(f)}$을 기하학적 용어로$$ 도입했다.$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$에 근접한 $값{\displaystyle }$ c$${\$displaystyle c}$에 대한 모든 섬유 $f{\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}c}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle f^{-1(c)}$은 실제 치수 $2{\displaystyle \mathrm{}(n}$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystystyle 2(n-1$)의 비경련 다지관이다$.$$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$을(를) 중심으로$$ $작은{\displaystyle {}_{}}$ 오픈 ${\displaystyle {디스크}_{}}$ D$display$ {\$displaystyle D_${\epsilon$$}}}}과(와) 교차하는 것은 밀너 섬유라고 불리는 매끄러운$$ $다지관{\displaystyle }$ F ${\displaystystyle F}$이다.차이점 유형 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$까지가 충분히 작을 경우$$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$ 또는$$ $or{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$에 의존하지 않는다$$.그것은 또한 밀너 진동 지도의 섬유와 다른 형태다.

Milnor 섬유 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $F$$}$은 치수 $($- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle 2(n-1$)의 부드러운 다지관으로$$, $\mu {\displaystyle (f}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaysty \mu(f)}$ 구 $S$ -${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ S$^{n-1}$의 부케트와 동일한 호모토피 유형을 가지고 있다$.$This is to say that its middle Betti number ${\displaystyle b_{n-1}(F)}$ is equal to the Milnor number and it has homology of a point in dimension less than ${\displaystyle n-1}$. For example, a complex plane curve near every singular point ${\displaystyle z_{0}}$ has its Milnor fiber homotopic to${\displaystyle {\mu z{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}f}$) ${\displaystyle \mu _{z_{0}(f)}$ 원의$$ 쐐기(Milnor number는 로컬 속성이므로 다른 단수 지점에서 다른 값을 가질 수 있음)

그러므로 우리는 평등하다.

Milnor number = number of spheres in the wedge = middle Betti number of ${\displaystyle F}$ = degree of the map ${\displaystyle z\to {\frac {{\nabla }f(z)}{\ {\nabla }f(z)\ }}}$ on ${\displaystyle S_{\epsilon }}$ = multiplicity of the gradient ${\displaystyle \nabla f}$$$

밀너 숫자를 보는 또 다른 방법은 동요에 의한 것이다.$우리$는 점이 퇴보적인 ${\displaystyle {}^{}}$이라고 말하거나, f가 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에서, z ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle z_{0}}}$이 단수점이고$$ 모든 2차 부분파생물의 헤시안 행렬이 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\\\$에 결정인 경우$$:

${\displaystyle \left\frac {\reft}{\put z_{i}\{j}}\right)_{1\leq i\leq j}^{z=z_{0}=0}=0.}$

우리는 f가 0에서 변질된 특이점을 가지고 있다고 가정한다.우리는 얼마나 많은 점들이 무한히 접착되어 있는지 생각함으로써 이 퇴보적인 특이성의 다양성에 대해 말할 수 있다.만약 우리가 지금 특정한 안정적인 방법으로 f의 이미지를 교란시킨다면, 0에서 고립된 퇴행된 특이점들은 퇴행되지 않는 다른 고립된 특이점들로 분열될 것이다!이와 같이 격리된 비감소 특이점의 수는 무한히 접착된 점의 수입니다.

정확히 말하면, 우리는 원점에서 비성어인 또 다른 기능 세균 g를 취해서 ε이 매우 작은 새로운 기능 세균 h :=f + εg를 고려한다.ε = 0이면 h = f.함수 h는 f의 모르쇠화라고 불린다.h의 특이점을 계산하는 것은 매우 어렵고, 실제로 계산적으로 불가능할 수도 있다.이 점들이 아주 많이 접착된 점들, 이 국소적인 f의 다양성은 정확히 Milnor의 f의 수이다.

추가 기여는^[2] 다변형 변형의 공간의 치수 측면에서 Milnor 숫자에 의미를 부여한다. 즉, Milnor 숫자는 초기 특이성에 대한 모든 정보를 전달하는 변형의 매개변수 공간의 최소 치수다.

예

여기서는 두 가지 변수에 대해 몇 가지 작업한 예를 제시한다.한 가지 변수만으로 작업하는 것은 너무 간단하고 기술에 대한 느낌을 주지 않는 반면에 세 가지 변수를 사용하여 작업하는 것은 상당히 까다로울 수 있다.2는 좋은 숫자다.또한 우리는 다항식들을 고수한다.만약 f가 다항식이 아닌 홀로모르퍼스(holomorphic)일 뿐이라면, 우리는 f의 파워 시리즈 확장으로 작업할 수 있었을 것이다.

1

0에서 비감소 특이점을 갖는 함수 세균을 고려하십시오. 예를 들어 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$Jacobian 이상은 단지 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ⟩}$ =${\displaystyle ⟨}$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle$ \langle $2x, 2y\angle$ =\langle $x,y\angle }$에 불과하다$.$ 다음에 우리는 지역 대수학을 계산한다.

${\displaystyle {\mathcal {A}_{f}={\mathcal {O}/\langle x,y\langle =\langle 1\angle .}$

이것이 왜 사실인지 알아보기 위해 우리는 Hadamard의 보조정리기를 사용할 수 있는데, 이 보조정리기는 우리가 어떤 함수 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle O\mathcal{}}$ ${\$을(를) 다음과 같이$$ 쓸 수 있다는 것이다.

${\displaystyle h(x,y)=k+xh_{1}(x,y)+yh_{2}(x,y)}$

$일부{\displaystyle \mathcal{}}$ 상수 k 및 함수 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $h_{1}$및 $O$ ${\displaystyle$ h_{$O}}$의 h ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$displaystyle h_{2}}($$여기서 ${\displaystyle {h\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}$$또는$$$$ 둘 다 정확히 0일 수 있음).그래서 x와 y의 modulo 함수 배수로 h를 상수로 쓸 수 있다.상수함수의 공간은 1로 확장되므로 A ${\displaystyle f_{}}$ =${\displaystyle {}_{}}$⟨${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle {\mathcal$ {A$}_{f}=\langle 1\angle }}$

μ(f) = 1. 0에서 비감소 특이점을 가진 함수 세균 g의 경우 μ(g) = 1이 발생하는지 쉽게 확인할 수 있다.

이 방법을 비음속 함수 세균 g에 적용하면 μ(g) = 0이 나온다는 점에 유의하십시오.

2

Let $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ x ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$

${\displaystyle {\mathcal {A}_{f}={\mathcal {O}/\langle 3x^{2}+y^{2},xy\angle =\langle 1,x,y,x^{2}\angle .}$

따라서 이 경우 $\mu {\displaystyle (f}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \mu(f)=4$

3

$f{\displaystyle (x}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$}인 경우 이를 보여줄 수 있다.$}}}$ $\mu$(f )${\displaystyle }$=${\displaystyle \mathrm{}\infty .}$ ${\displaystyle \mu(f)=\ft.}$

이는 x축의 모든 점에서 f가 단수라는 사실로 설명할 수 있다.

베르살 변형

f는 유한 Milnor 수 μ를 가지도록 하고, g ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, …${\displaystyle }$, ${\displaystyle g_{}}$ μ ${\$, $g_{\mu }}}}$은 벡터 공간으로 간주되는 국소 대수학의 기초가 되게$$ 한다.그 다음 f의 미니버전 변형이 주어진다.

${\displaystyle F:(\mathb {C} ^{n}\time \mathb {C} ^{\mu },0)\to(\mathb {C},0),}$

${\displaystyle F(z,a):=f(z)+a_{1}g_{1}g_{1}g(z)+\cdots +a_{\mu }g_{\mu }(z),}$

여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {\mu }_{}}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ $\}\}\}.$이러한 변형(또는 전개)은 과학의 많은 부분에 큰 관심을 가지고 있다.^{[citation needed]}

인비언스

우리는 기능 세균을 모아서 동등성 등급을 만들 수 있다.표준 등가성 중 하나는 A등가성이다.We say that two function germs ${\displaystyle f,g:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)}$ are A-equivalent if there exist diffeomorphism germs ${\displaystyle \phi :(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ^{n},0)}$ and ${\displaystyle \psi :(\mathbb{C},0)\to (\mathbb{C},0)}$${\displaystyle \psi :(\mathb {C},0)\to(\$mathb {C},0)\to(\$mathb {C},0):$ $f$ ϕ = ${\displaystyle \psi }$ =$\displaysty f\circi \cirg$ f to g에 이르는 영역과 범위에 차이점 형태의 변수가 존재한다.

f와 g가 A 등가라면 μ(f) = μ(g)이다.

그럼에도 불구하고, 밀너 수는 기능 세균에 대해 완전한 불변성을 제공하지 않는다. 즉, 반대는 거짓이다: 기능 세균 f와 g가 존재하며 μ(f) = μ(g)는 A와 같지 않다.To see this consider ${\displaystyle f(x,y)=x^{3}+y^{3}}$ and ${\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{5}}$. We have ${\displaystyle \mu (f)=\mu (g)=4}$ but f and g are clearly not A-equivalent since the Hessian matrix of f is equal to zero while that ofg는 그렇지 않다(그리고 헤시안의 계급은 쉽게 알 수 있듯이 A-invariant이다).

참조

• Arnold, V.I.; Gusein-Zade, S.M.; Varchenko, A.N. (1985). Singularities of differentiable maps. Vol. 1. Birkhäuser.
• Gibson, Christopher G. (1979). Singular Points of Smooth Mappings. Research Notes in Mathematics. Pitman.
• Milnor, John (1963). Morse Theory. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press.
• Milnor, John (1969). Singular points of Complex Hypersurfaces. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press.