말파티 서클

기하학에서 말파티 원(Malfatti circle)은 주어진 삼각형 안에 있는 세 개의 원으로, 각 원은 삼각형의 다른 두 변과 접합니다.삼각형 안에 있는 임의의 세 개의 서로소인 원들의 가능한 총 면적이 가장 클 것이라는 잘못된 믿음으로 이 원들을 구성하는 문제에 대한 초기 연구를 한 지안 프란체스코 말파티의 이름을 따서 명명되었습니다.

말파티의 문제는 말파티 원을 구성하는 문제와 삼각형 안에서 세 개의 면적을 최대화하는 원을 찾는 문제를 모두 언급하는 데 사용되었습니다.말파티 원의 간단한 구성은 슈타이너(1826)에 의해 제시되었고, 그 이후로 많은 수학자들이 이 문제를 연구해 왔습니다.말파티는 세 원의 반지름에 대한 공식을 제공했고, 삼각형의 아지마-말파티 점이라는 두 삼각형 중심을 정의하는 데에도 사용될 수 있습니다.

삼각형 안에 있는 세 개의 원의 전체 넓이를 최대로 하는 문제는 말파티 원으로는 결코 해결되지 않습니다.대신에, 최적의 해결책은 항상 주어진 삼각형 안에서 가장 큰 원, 첫 번째 원 밖에서 삼각형의 세 연결 부분집합 안에서 가장 큰 원, 처음 두 원 밖에서 삼각형의 다섯 연결 부분집합 안에서 가장 큰 원을 찾는 탐욕 알고리즘에 의해 찾을 수 있습니다.이 방법은 1930년에 처음 만들어졌지만, 1994년까지 정확성이 입증되지 않았습니다.

말파티 문제

지안 프란체스코 말파티(1803)는 삼각형의 대리석 프리즘에서 세 개의 원통형 기둥을 잘라내어 기둥의 전체 부피를 극대화하는 문제를 제기했습니다.그는 이 문제의 해결책이 쐐기의 삼각형 단면 안에 있는 세 개의 접선원에 의해 주어졌다고 가정했습니다.즉, 더 추상적으로, 그는 세 개의 말파티 원이 주어진 삼각형 안에서 임의의 세 개의 서로소인 원의 최대 총 면적을 갖는다고 추측했습니다.^[1]말파티의 작품은 그의 아날레스 1권(1811)에서 조셉 디아즈 게곤에 의해 프랑스어로 더 많은 독자층을 확보하기 위해 대중화되었고, 2권과 10권에서 더 많은 논의가 있었습니다.그러나 Gergonne은 원 접선 문제만 언급했고, 면적 극대화 문제는 언급하지 않았습니다.

두 문제가 동치라는 말파티의 가정은 틀렸습니다.Lob and Richmond (1930)는 이탈리아의 원문으로 거슬러 올라가, 어떤 삼각형의 경우 삼각형 안에 최대 반지름의 단 하나의 원을 새기고, 삼각형의 나머지 세 모서리 중 하나에 두 번째 원을 새기는 탐욕스러운 알고리즘에 의해 더 큰 면적이 달성될 수 있다는 것을 관찰했습니다.나머지 5개의 조각 중 가장 큰 부분 안에 세 번째 원을 새깁니다.정삼각형의 넓이 차이는 1%^[2]가 조금 넘지만, 하워드 이브(1946)가 지적한 것처럼 꼭짓점이 매우 뾰족한 이등변 삼각형의 경우 최적의 원(삼각형의 밑면 위에 서로 쌓여 있는 원)은 말파티 원의 넓이의 거의 두 배입니다.^[3]

사실, 말파티 서클은 결코 최적이 아닙니다.1960년대에 수치 계산을 통해 발견되었으며, 나중에 엄밀하게 증명된 로브-리치몬드 과정은 항상 가장 넓은 면적을 가진 세 개의 원을 생성하며, 이 원들은 항상 말파티 원보다 크다는 것이 밝혀졌습니다.^[4]Melissen(1997)은 일반적으로 임의의 정수 n에 대해 탐욕 알고리즘이 주어진 삼각형 내에서 n개의 원의 면적 극대화 집합을 찾는다고 추측했습니다. 이 추측은 n ≤ 3인 경우에 맞는 것으로 알려져 있습니다.^[5]

역사

삼각형 안에서 서로 맞닿아 있는 세 개의 원을 만드는 문제는 18세기 일본 수학자 아지마 나오노부가 말파티의 작품에 앞서 제기한 것으로, 제자 쿠사카 마코토가 아지마가 죽은 지 1년 후 만든 아지마의 미발표 작품집에 수록됐습니다.^[5][6]이보다 앞서, 이탈리아 시에나 시립 도서관에 있는 Gilio di Cecco da Montepulciano의 1384년 필사본에서도 같은 문제가 고려되었습니다.^[7]Jacob Bernouli (1744)는 특정한 이등변 삼각형에 대한 문제의 특별한 경우를 연구했습니다.

말파티의 연구 이래로, 말파티의 세 접선원을 구성하는 방법들에 대한 많은 연구가 있어 왔습니다; Richard. 가이는 이 문제에 대한 문헌들이 "광범위하고, 광범위하게 흩어져 있으며, 항상 자기 자신을 의식하고 있지는 않다"고 쓰고 있습니다.^[8]특히 Jakob Steiner(1826)는 이중항에 기초한 단순한 기하학적 구조를 제시했습니다. 이후 다른 저자들은 Steiner의 발표에 증거가 부족하다고 주장했고, 이는 나중에 Andrew Hart(1856)가 제공했지만, Guy는 Steiner 자신의 논문 중 두 개에 흩어져 있는 증거를 지적했습니다.문제의 대수적 공식에 기초한 해결책은 C. L. 레무스 (1819), E. C. 카탈란 (1846), C. 아담스 (1846, 1849), J. 데루소 (1895), 안드레아스 팜푸치 (1904)에 의한 해결책을 포함합니다.대수적 해는 원과 주어진 삼각형 사이의 내적 접선과 외적 접선을 구별하지 않습니다. 만약 문제가 어떤 종류의 접선을 허용하도록 일반화된다면, 주어진 삼각형은 32개의 다른 해를 가질 것이고 반대로 상호 접선원의 3배는 8개의 다른 삼각형에 대한 해가 될 것입니다.^[8]Bottema(2001)는 이러한 해결책의 열거를 Pampuch(1904)의 공으로 돌렸지만, Cajori(1893)는 해결책의 개수에 대한 이 계수가 Steiner(1826)의 발언에서 이미 주어졌다고 언급했습니다.이 문제와 그 일반화는 다른 많은 19세기 수학 출판물의 주제였고,^[9] 그 이후로 그 역사와 수학은 계속되는 연구의 주제가 되었습니다.^[10]그것은 또한 기하학에 관한 책에서 자주 다루어져 왔습니다.^[11]

가토(Gatto, 2000)와 마조티(Mazzotti, 1998)는 말파티 서클과 관련된 19세기 나폴리 수학의 한 에피소드를 이야기합니다.1839년, 합성 기하학자인 빈센조 플로티는 세 가지 기하학 문제의 해결과 관련된 도전을 제기했는데, 그 중 하나는 말파티의 원의 구성이었습니다. 그렇게 한 그의 의도는 합성에서 분석 기술의 우수성을 보여주는 것이었습니다.분석기하학의 라이벌 학교에 다니는 학생인 Fortunato Padula가 주는 해결책에도 불구하고, Flauti는 그의 학생인 Nicola Trudi에게 상을 수여했는데, 그의 해결책은 Flauti가 그의 도전을 제기했을 때 알고 있었던 것입니다.최근에는 말파티 원을 구성하는 문제가 컴퓨터 대수 시스템의 테스트 문제로 사용되고 있습니다.^[12]

슈타이너의 작도

말파티 원에 대한 초기 연구의 많은 부분이 분석 기하학을 사용했지만, 슈타이너 (1826)는 다음과 같은 간단한 합성 구조를 제공했습니다.

삼각형의 두 변에 접하는 원은 말파티 원과 마찬가지로 삼각형의 각 이등분선 중 하나(그림에서 녹색)에 중심을 두어야 합니다.이 이등분선들은 삼각형을 세 개의 작은 삼각형으로 분할하고, 슈타이너의 말파티 원 구성은 이 세 개의 작은 삼각형 안에 각각 새겨진 다른 세 개의 원을 그리는 것으로 시작됩니다.일반적으로 이 원들은 서로소이기 때문에 두 원의 각 쌍에는 4개의 비트접점(양쪽에 접하는 선)이 있습니다.두 개의 빗장은 원 사이를 지나갑니다. 하나는 각도 이등분선이고, 두 번째는 그림에서 빨간색 점선으로 표시됩니다.주어진 삼각형의 세 변을 a, b, c로 표시하고 각도 이등분선이 아닌 세 개의 빗장선을 x, y, z로 표시합니다. 여기서 x는 a변에 닿지 않는 두 원의 빗장선, y는 b변에 닿지 않는 두 원의 빗장선, z는 c변에 닿지 않는 두 원의 빗장선입니다.그 다음 세 개의 말파티 원은 세 개의 접선 4각형 abyx, aczx, bczy에 새겨진 원입니다.^[13]대칭의 경우, 두 개의 점선 원이 이등분선의 한 점에 닿아 두 개의 비트가 일치하지만, 말파티 원과 관련된 4각형을 설정할 수 있습니다.

세 개의 비탄젠트 x, y, z는 세 번째 내접원과 접선점에서 삼각형 측면을 가로지르며, 이들 원의 중심 쌍을 연결하는 선을 가로지르는 각도 이등분선의 반사로도 발견될 수 있습니다.^[8]

반지름 공식

세 개의 말파티 원 각각의 반지름은 삼각형의 세 변의 길이 a, b, c를 포함하는 공식으로 결정될 수 있고, 반지름 r, 반지름 $s$ =${\displaystyle }$(${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle b}$+ c${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ 2 ${\displaystyle$s = ($a$+ b + c ) / $2$ 그리고 삼각형의 중심으로부터 변의 반대쪽 꼭짓점들까지 세 거리 d, e, f를 포함하는 공식으로 결정될 수 있고,그리고 c.세 반지름의 공식은 다음과 같습니다.^[14]

변의 길이, 인라디우스 및 말파티 라디우스가 모두 유리수 또는 모든 정수인 삼각형의 예를 찾는 데 관련 공식이 사용될 수 있습니다.예를 들어, 변의 길이가 28392, 21000, 25872인 삼각형은 반경 6930과 말파티 라디 3969, 4900, 4356을 갖습니다.또 다른 예로, 변의 길이가 152460, 165000, 190740인 삼각형은 반경 47520과 말파티 라디 27225, 30976, 32400을 갖습니다.^[15]

아지마-말파티 점

삼각형 ABC와 세 개의 말파티 원이 주어졌을 때, D, E, F를 정점 A, B, C의 반대쪽에 있는 두 원이 서로 맞닿는 점이라고 합니다.그 다음 AD, BE, CF 세 개의 선은 원 문제에 대한 아지마와 말파티의 기여 후 첫 번째 아지마-말파티 점으로 알려진 삼각형 중심에서 만납니다.두 번째 아지마-말파티 점은 말파티 원의 접선과 삼각형의 외접원의 중심을 연결하는 세 개의 선이 만나는 점입니다.^[16][17]또한 말파티 원과 관련된 다른 삼각형 중심에는 Yff-Malfatti 점이 있는데, 이 점은 주어진 삼각형의 변들을 통해 선들과 모두 접하지만 부분적으로 삼각형 밖에 있는 세 개의 상호 접선 원들로부터 첫 번째 말파티 점과 같은 방식으로 형성됩니다.^[18]그리고 세 개의 말파티 원의 급진적인 중심(그들의 건축에 사용된 세 개의 앙금이 만나는 지점).^[19]

참고 항목

• 정삼각형의 원 패킹
• 이등변 직각 삼각형의 원 패킹
• 육원정리

메모들

참고문헌

외부 링크

• Eric W. Weisstein, Malfatti Circles (Malfatti's Problem) at MathWorld.
• 말파티의 문제점