클로스 함수

수학에서 토마스 클로스엔(1832년)이 도입한 클로스엔 함수는 단일 변수의 초월적이고 특별한 함수다.그것은 확정적분, 삼각계열, 그리고 다양한 특수함수의 형태로 다양하게 표현될 수 있다.폴리로그리듬, 역접합적분, 폴리감마함수, 리만제타함수, 디리클레에타함수, 디리클레 베타함수와 밀접하게 연결되어 있다.

순서 2의 클로스 기능(클로스 기능이라고도 함)은 여러 부류의 한 종류에 속함에도 불구하고 다음과 같은 필수 구성 요소에 의해 제공된다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=-\int _{0}^{0}{\varphi }\log \왼쪽 2\sin {\frac {x}{2}}\오른쪽 \dx:}$

< < <2 π {\$displaystyle$ 0<\$varphi <2\$pi $\},}$ 범위에서 절대값 부호 내부의 사인 함수는 엄격히 양성으로 유지되므로 절대값 부호는 생략할 수 있다.클라우센 기능에는 푸리에 시리즈 표현도 있다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\varphi }{k^{2}}}=\sin \varphi +{\frac {\sin 2\varphi }{2^{2}}}+{\frac {\sin 3\varphi }{3^{2}}}+{\frac {\sin 4\varphi }{4^{2}}}+\cdots }$

클라우센 기능은 기능의 한 종류로서 현대 수학 연구의 많은 분야에서 광범위하게 특징지어지며, 특히 확정적이거나 비한정적인 로그와 다의 적분 부류의 평가와 관련하여 더욱 그러하다.또한 초기하계수 합계, 중심 이항계수의 역순을 포함하는 합계, 다감마함수의 합계, 디리클레 L계열과 관련된 수많은 응용프로그램을 가지고 있다.

기본 속성

${\displaystyle K\mathbb{}}$en Z $displaystyle k\in \mathb {Z} \,}$이(가) 정수인$$ 경우 ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \backslash }$= 0 ${\displaystyle \pi =0}$이(가) 클로스겐 함수(순서 2)에는 z${\displaystyle }$, ${\$$pi$ = 0$}$의 단순한 0배수가 있다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(m\pi )=0,\quad m=0,\,\pm 1,\pm 2,\pm 3\,\cdots }}$

$\theta {\displaystyle }$ =${\displaystyle \pi \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{3}{}}$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{m}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle [m}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{3}+2m\pi \quad [m\in \mathb {Z} ]}}$에 maxima가 있다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\왼쪽({\frac {\pi }{3}+2m\pi \right)=1.01494160\ldots }$

$and{\displaystyle }$= -${\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{}}$ 3${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$ m ${\displaystyle \pi }$[ ${\displaystyle m\mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ Z ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \theta =-{\frac {\pi }{3}+2m\pi \quad [m\in \mathb {Z} ]}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\왼쪽(-{\frac {\pi }{3}+2m\pi \right)=-1.01494160\ldots }$

다음 특성은 시리즈 정의의 즉각적인 결과물이다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta +2m\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\teta )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(-\theta )=-\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$

(Ref: 증거가 제공되지는 않지만 이러한 결과는 아래의 루와 페레즈를 참조한다.)

일반적 정의

보다 일반적으로는 두 가지 일반화된 클로스 기능을 정의한다.

${\displaystyle \operatorname {S} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{k=1}{\flac{\sin k\ta}{k^{z}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \operatorname {C} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{k=1}{\flac{\cos k\theta}{k^{z}}}}}}}}}}}}$

이 값은 Re z >1의 복합 z에 유효하다.이 정의는 분석적 연속성을 통해 모든 복잡한 평면으로 확장될 수 있다.

z가 음이 아닌 정수로 대체될 때 표준 클로센 함수는 다음과 같은 푸리에 시리즈로 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{1}{k=1}^{\fract{\sin k\ta}{k^{2m+2}}:$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{k=1}}{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}}}}}:{2m+2}}:$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{k=1}^{\fract {\cos k\theta}{k^{2m+2}}:$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{k=1}{k^{2m+1}}{\frac {\sin k\ta }{k^{k^{2m+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

N.B. SL형 Closen 함수는 대체 표기법 ${\displaystyle {Glm}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle \theta }$ ) ${\$을 가지며$$, 때때로 Glaisher-Clausen 함수(James Whitbread Lee Glaisher, 따라서 GL-notation)라고 한다.

베르누이 다항식과의 관계

SL형 Closen 함수는$$${\displaystyle \theta }$ ${\$의 다항식이며 베르누이 다항식과 밀접한 관련이 있다.이러한 연결은 베르누이 다항식의 푸리에 시리즈 표현에서 분명히 나타난다.

${\displaystyle B_{2n-1}(x)={\frac {2(-1)^{n}(2n-1)!}{{{(2\pi )^{2n-1}\,\sum _{k=1}^{\inflac {\sin 2\pi kx}{k^{2n-1}}.}$

${\displaystyle B_{2n}(x)={\frac {2(-1)^{n-1}(2n)!}}{{(\pi )^{2n}}\,\sum _{k=1}^{\inflt }{\frac {\cos 2\pi kx}{2n}}}.}$

${\displaystyle 위}$의 x$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle \theta }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\$을(를) 설정하고 용어를 재정렬하면 다음과 같은 닫힌 형식(폴리놈) 식이 제공된다.

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m}(\theta )={\frac {(1)^{m-1}(2\pi )^{2m}{2m(2m)!}}}}{2m}\왼쪽({\frac {\theta }{2\pi }}\오른쪽),}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m-1(\theta )={\frac {(1)^{m}(2\pi )^{2m-1}{2m-1(2m-1)!}}{{2m-1}\왼쪽({\frac {\theta }{2\pi }}\오른쪽),}$

여기서 베르누이 다항식 ${\displaystyle B{}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x}$) ${\$은(는) 버누이 번호 ${\displaystyle B{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ B ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle 0}$) ${\$의 관점에서 다음과$$ 같은 관계를 정의한다$$.

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}B_{j}x^{n-j}.}$

위에서 도출한 명시적 평가는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{1}(\theta )={\frac {\pi }{2}}-{\fract {\tea},}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2}(\theta )={\frac {\pi ^{2}}-{6}-{\frac {}}{2}}+{\fraca{2}},}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{3}(\theta )={\frac {\pi ^{2}\}{6}-{6}-{\frac {\2}}+{\fraca{3}}},}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{4}(\theta )={\frac {\pi ^{4}}{90}-{\frac {\pi ^{2}\pi ^{12}}}}+{12}{\frac {\pietta ^3}}}}.}$

중복식

< < ${\displaystyle$ 0$<\theta <\pi$ }}의 경우 중복 공식은 적분 정의에서 직접 증명할 수 있다(그 결과는 아래 Lu 및 Perez, 1992년 참조). (증거는 제공되지 않지만).

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )}$

$K{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{Cl}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ⁡ ${\displaystyle \frac{2}{}}$) ${\$ 중복 공식의 즉각적인 결과에는 다음과 같은 관계가 포함된다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\좌({\frac {\pi }{4}\우)-\operatorname {Cl} _{2}\좌({\frac {3\pi }}}}\우)={\frac {K}{2}}}$

${\displaystyle 2\operatorname {Cl} _{2}\왼쪽({3}\pi }\오른쪽)=3\operatorname {Cl} _{2}\왼쪽({\frac {2\pi }}{3}\오른쪽)}$

고차 Closen 함수의 경우, 중복 공식을 위에 주어진 공식을 통해 얻을 수 있다. ${\displaystyle simply}$ ${\$을(를) 더미 $변수{\displaystyle }$ x ${\\displaysty$ x$\}$로 교체하고${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle ].}$ ${\$ ] 간격으로 통합하면 된다$.$$\,}$ 동일한 프로세스를 반복적으로 적용하면$$ 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3}(2\theta )=4\operatorname {Cl}{3}(\theta )+4\operatorname {Cl} _{3}(\pi -\ta )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{4}(2\theta )=8\operatorname {Cl} _{4}(\pi -\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{5}(2\theta )=16\operatorname {Cl}{5}(\theta )+16\operatorname {Cl} _{5}(\pi -\ta )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{6}(2\theta )=32\operatorname {Cl}{6}(\theta )-32\operatorname {Cl} _{6}(\pi -\ta )}$

그리고 보다 일반적으로 ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle m1}$ 1 ${\displaystyle$\,$m,\,m\geq$ 1$}$을(를) 유도할 때

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{m+1}(2\theta )=2^{m}{\Bigg [}\\operatorname {Cl} _{m+1}(\theta )+(-1)^{m+1}(\pi -ta ){big ]}}}}}}}}}$

일반화된 복제 공식을 사용하면 카탈로니아의 상수를 포함하는 순서 2의 클로스 기능에 대한 결과의 연장이 가능하다.${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{Z}}$ ${\displaystyle \ge }$ 1 ${\$ 1$\,}$의 경우

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=2^{2m-1}\left[\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{4}}\right)-\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)\right]=\beta (2m)}$

여기서 ${\displaystyle \beta }$( x${\displaystyle }$) ${\$은(는) 디리클레 베타 함수다.

중복식 증명

본질적인 정의로 볼 때론

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=-\int _{0}^{2\theta}\log {\Bigg }2\sin {\frac {x}{2}}{\Bigg }\,dx}$

사인 함수 ${\displaystyle \sin }$sin ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle x\frac{}{}\frac{2}{}}$ ${\displaystyle \mathrm{coses}}$에 중복 수식을 적용하여 sin x = 2 sin ${\displaystyle x\frac{}{}}$ ${\$ x$=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}$을 얻으십시오$$.

${\displaystyle {\begin}&-\int _{0}^{2\theta }\log {\Bigg }\좌측(2\sin {\frac {x}{4}\우측)\좌측(2\cos {\frac {x}{4}}\우측){\\\\\\\Bigg }\,dx\\={}&-\int _{0}^{2\theta }\log {\Bigg }2\sin {\frac {x}{4}}{\Bigg }\,dx-\int _{0}^{2\theta }\log {\Bigg }2\cos {\frac {x}{4}}{\Bigg }\,dx\end{aligned}}}$

대체 x = ${\displaystyle 2y}$,${\displaystyle }d{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x=2y,dx=2\,dy}$을(를) 두 통합에$$ 적용하십시오.

${\displaystyle {\begin{aligned}&-2\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg }2\sin {\frac {x}{2}}{\Bigg }\,dx-2\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg }2\cos {\frac {x}{2}}{\Bigg }\,dx\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg }2\cos {\frac {x}{2}}{\Bigg }\,dx\end{aligned}}}$

On that last integral, set ${\displaystyle y=\pi -x,\,x=\pi -y,\,dx=-dy}$, and use the trigonometric identity ${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}$ to show that:

${\displaystyle{\begin{정렬}&,\cos \left({\frac{\pi -y}{2}}\right)=\sin{\frac{y}{2}}\\\Longrightarrow \qquad&\operatorname{당분이나 지방 말고도}_ᆰ(2\theta)=2\,\operatorname{당분이나 지방 말고도}_ᆲ(\theta)-2\int _{0}^{\theta}\log{\Bigg}2\cos}{\Bigg}\,dx\\={}&{\frac{)}{2}, 2\,\operatorname{당분이나 지방 말고도}_ᆻ(\theta)+2\int _{\pi}^{\pi -\theta}\log{\Bigg}2\.죄{\frac{y}{{2}}:{{{}}\,dy\\\}\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\,\operatorname {Cl}(\pi -\theta )+2\,\opername {Cl} _{2}(\pi )\ended}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\pi )=0\,}$

그러므로

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\\\\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )-2\\\\\Box }$

일반 주문형 Closen 함수의 파생 모델

클라우센 기능을 위한 푸리에 시리즈 확장의 직접적인 차별화는 다음을 제공한다.

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=-\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=-\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )}$

미적분학의 제1차 기본 정리에 호소함으로써 우리는 또한 다음과 같은 것을 얻게 된다.

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\left[-\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg }2\sin {\frac {x}{2}}{\Bigg }\,dx\,\right]=-\log {\Bigg }2\sin {\frac {\theta }{2}}{\Bigg }=\operatorname {Cl} _{1}(\theta )}$

역 탄젠트 적분과의 관계

역 접선 적분은 간격 < < ${\displaystyle 0<z<1$}에 의해 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(z)=\int_{0}^{z}{\frac {\tan^{-1x}{x}}\,dx=\sum_{k=0}^{k=0}^{\frac{z^{2k+1}}}}{{{{{{{{}k+1^2k+1^2}}}}}^2}}}}}}^2}^2}^2}}}}}}}}}}}}^2}}}}}}}$

클로스 기능 면에서는 다음과 같은 폐쇄형태를 가지고 있다.

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\time \log(\tan \theta )+{1}{1}{2}(pi -2\theta}) _{2}\operatorname {Cl}$

역접선 적분 관계 증명

역 탄젠트 적분의 적분 정의에서 우리는

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\tan \tan \theta )=\int_{0}^{0}{\tan \tan }{-1}x}}\dx}$

부품별 통합 수행

${\displaystyle \int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx=\tan ^{-1}x\log x\,{\Bigg }_{0}^{\tan \theta }-\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\log x}{1+x^{2}}}\,dx=}$

${\displaystyle \tan \tan \tan \tan -\int_{0}^{\tan \tan }{\fract {\log x}{1+x^{2}}}}\,dx}$

대체 $x{\displaystyle }$=${\displaystyle \mathrm{황갈색}}$ ${\displaystyle y,}$ y${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{황갈색}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle d}$= ${\displaystyle d\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ $displaystyle$ x$=\tan y,\,y=\tan^{-1x,\,dy={\frac {dx}{1+x^{2$} 적용$}}\,}$을(를) 얻으려면

$\displaystyle \tan \tan \tan \tan -\int_{0}^{\theta }\log(\tan y)\,dy}$

마지막 적분인 경우 $$을 적용하십시오$$. ${\displaystyle y}$= x${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{},d}$ = ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\$

${\displaystyle{\begin{정렬}&, \theta\log \tan \theta -{\frac{1}{2}}\int _{0}^{2\theta}\log \leftᆪ\,dx\\[6pt]={}&, \theta\log \tan \theta -{\frac{1}{2}}\int _{0}^{2\theta}\log \left({\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}}\right)\,dx\\[6pt]={}&, \theta\log \tan \theta -{\frac{1}{2}}\int _{0}^{2\theta}\log \left({\f.rac{2\sin()/2)}{2\cos(x/2)}}\right)\,dx\\[6pt]={}&, \theta\log \tan \theta -{\frac{1}{2}}\int _{0}^{2\theta}\log \left(2\sin{\frac{x}{2}}\right)\,dx+{\frac{1}{2}}_{0}^{2\theta}\log \leftᆬ\,dx\\[6pt]={}& \int, \theta\log \tan \theta +{\frac{1}{2}}\operatorname{당분이나 지방 말고도}_ᆼ(2\theta)+{\frac{1}{2}}\int _{0}^{2\theta}\log \l.eft(2\cos {\frac {x}{2}}\\오른쪽)\,dx.\end{aigned}}$

마지막으로, 중복 공식의 증명과 마찬가지로 대체 $x{\displaystyle }$= (${\displaystyle \pi }$- ${\displaystyle y}$) ${\$은(는) 마지막 통합인

${\displaystyle \int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx=\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )-\operatorname {Cl} _{2}(\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )}$

그러므로

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\theta \log \tan \theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )\,.\,\Box }$

반스의 G-기능과의 관계

실제 < < ${\displaystyle 0<1}$의 경우 두 번째 순서의 Closen 함수는 반스 G-함수와 (Uler) 감마 함수의 관점에서 표현될 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}}}\pi z\log \left({\pi {}}{\sin \pi z}\rig)}\rig\rig)}\rig\rig\rig)}}}오른쪽)}}}}}}$

또는 동등하게

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}}}\pi \log \Gamma(z)+2\log \log \{\frapi \}{\}{\pi z}}}}}}오른쪽)$

Ref: 아래의 Adamchik, "Barnes 함수 이론에 대한 기여"를 참조하십시오.

다각측량과의 관계

Closen 함수는 단위 서클에서 다원체의 실제와 가상의 부분을 나타낸다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}(\theta )=\Im(\operatorname {Li}) _{2m}(e^{i\theta }),\quadm\in \matteb {Z}\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\Re(\operatorname {Li}) _{2m+1}(e^{i\theta }),\quad m\in \mathb {Z} \geq 0}$

이것은 다로그의 시리즈 정의에 호소하면 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}\quad \Longrightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(e^{i\theta }\right)^{k}}{k^{n}}=\sum _{k=1}^{\inflt }{\frac{e^{ik\}}}{k^{n}}}}}}}$

오일러의 정리로는

$\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$

그리고 드 모이브르의 정리(De Moivre의 공식)에 의해

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{k}=\cos k\theta +i\sin k\theta \quad \Rightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{n}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{n}}}}$

그러므로

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2m}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )+i\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2m+1}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )+i\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}$

다감마 함수에 대한 관계

클로스겐 기능은 일부다감마 기능과 밀접하게 연결되어 있다.실제로, 클라우센 함수를 사인함수와 다감마 함수의 선형 결합으로 표현할 수 있다.이러한 관계 중 하나는 아래에 제시되어 있으며, 아래에 제시되어 있다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\왼쪽({\frac {q\pi }}{p}\오른쪽)={\frac {1}{1}{(2p)^{2m-1)!}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left[\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right]}$

${\displaystyle p}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle q}$ ${\$$displaystyle \,q$$\,}$을(를) 양의 정수(예: q$/p$\,})로$$ 두십시오. 그러면 ${\displaystyle q/}$$p$$\$는 인 $숫자$ 0<$>$ $[\$ \,\even 색인:

${\displaystyle \operatorname {Cl}_{2m}\왼쪽({\frac {q\pi }{p}\오른쪽)=\sum _{k=1}^{k=1}{\frac {\sin(kq\pi /pi){k^{2m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

We split this sum into exactly p-parts, so that the first series contains all, and only, those terms congruent to ${\displaystyle \,kp+1,\,}$ the second series contains all terms congruent to ${\displaystyle \,kp+2,\,}$ etc., up to the final p-th part, that contain all terms congruent to ${\display$$스타일 \,kp+p\,}$

${\displaystyle {\begin{aigned}&\operatorname {Cl} _{2m}\왼쪽({\frac {q\pi }{p}\오른쪽)\\={}&, \sum _{k=0}^{\infty}{\frac{\sin \left[(kp+1){\frac{q\pi}{p}}\right]}{(kp+1)^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty}{\frac{\sin \left[(kp+2){\frac{q\pi}{p}}\right]}{(kp+2)^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty}{\frac{\sin \left[(kp+3){\frac{q\pi}{p}}\right]}{(kp+3)^{2m}}}+\cdots, \cdots _{k=0}^{\infty}+\sum \\&{\frac{\sin \left는 경우(kp+p-2){\frac{quaque\pi}{p}}\right]}{(kp+p-2)^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+p-1){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(kp+p-1)^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+p){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(kp+p)^{2m}}}\end{aligned}}}$

우리는 이중 합계를 만들기 위해 이 합계를 색인화할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)=\sum _{j=1}^{p}{\Bigg \{}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(kp+j)^{2m}}}{\Bigg \}}\\={}&\sum _{j=1}^{p}{\frac {1}{p^{2m}}}{\Bigg \{}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(k+(j/p))^{2m}}{\Bigg \}}\end{정렬}}}$

사인함수에 대한 추가 ${\displaystyle \mathrm{공식}}$인${\displaystyle }$sin${\displaystyle +}$ ${\displaystyle (x}$ + ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= sin ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cos \cos }$ y${\displaystyle }$+ cos ${\displaystyle \sin }$ x ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \backslash }$ ${\displaystyle y,}$ ${\$ x\$sin$ y$,\}$을(으)를 적용하면 분자의 사인$$ 항은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}\right]=\sin \left(kq\pi +{\frac {qj\pi }{p}}\right)=\sin kq\pi \cos {\frac {qj\pi }{p}}+\cos kq\pi \sin {\frac {qj\pi }{p}}}$

$\displaystyle \sin m\pi \equiv 0,\quad \cos m\pi \equiv (-1)^\m}\quad \Longleftrightarrow m=0,\,\pm 1,\\pm 2,\pm3,\dots }$

${\displaystyle \sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}}{p}}=(-1)^{kq}\sin {\frac {qj\pi }{p}}}}}}}$

결과적으로,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)=\sum _{j=1}^{p}{\frac {1}{p^{2m}}}\sin \left({\frac {qj\pi }{p}}\right)\,{\Bigg \{}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{kq}}{(k+(j/p))^{2m}}{\Bigg \}}$

이중 합에 포함된 내부 합을 대체 합으로 변환하려면 이전의 합이 p-parts로 분할된 것과 정확히 같은 방식으로 두 부분으로 분할하십시오.

${\displaystyle {\displaystyle {\j/p}{k=0}^{\flac {(-1)^{kq}{(k+(j/p))^{2m}}=\sum _{k=0}^{\inflat }{\frac {(1)^{(2k)q}}{{(2k)+(j/p))^{2m}}+\sum _{k=0}^{\inflat }{\frac {(-1)^{(2k+1)q}}{{{(k+1)+(j/p))^{2m}}\\={}&\sum _{k=0}^{\inflt }{\frac {1}{(2k+(j/p))^{2m}}+(-1)^{q}\,\sum _{k=0}^{\inflt }{\frac {1}{{{k+1+(j/p))^{2m}}\\={}&#{{\frac {1}{2^{p}}}\좌측[\sum _{k=0}^{\inflt }{{\frac {1}{(k+(j/2p)))^{2m}}}+(-1)^{q}\,\sum _{k=0}^{\inflit }{\frac {1}{(k+\left({\frac {j+p}{2p}}\오른쪽)^{2m}}\오른쪽]\end{aigned}}$

${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\$\m\in \$mathb {Z} \geq 1\,}$의 경우$,$ 다감마 함수에 영상 시리즈 표현이 있다.

${\displaystyle \psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}m!\sum _{k=0}^{\inflt }{\frac {1}{{(k+z)^{m+1}:{m+1}:{n2}}:$

그래서 다감마 함수의 관점에서 이전의 내적 합은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\frac {1}{2^{2m}(2m-1)!}}}\{2m-1}\left\tfrac {j}{2p}\오른쪽)+(-1)^{q}\pa _{2m-1}\lfrac {j+p}{2p}\right]}}}}$

이를 다시 더블섬에 연결하면 원하는 결과가 나온다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\왼쪽({\frac {q\pi }}{p}\오른쪽)={\frac {1}{1}{(2p)^{2m-1)!}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left[\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right]}$

일반 로그 적분과의 관계

일반화된 로그인의 적분은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\mathcal {L}s_{n}^{m}^{m}-\int _{0}^{0}{0}^{0}}\theta }x^{m-1}\log ^{n-m-1}{\Bigg }{{}}}}:{\Bigg }\,dx}$

이 일반화된 표기법에서 클라우센 함수는 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\mathcal {L}s_{2}^{0}(\theta )}$

쿠메르와의 관계

에른스트 쿠머와 로저스가 관계를 맺는다.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(e^{i\theta })=\zeta(2)-\theta(2\pi -\theta )/4+i\operatorname {Cl} _{2}(\ta )}$

$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 2}$ 2$$ {\$displaystyle$ 0\$leq \theta \leq$2\$pi }$에 유효$.$

로바체프스키 함수와 관계

로바체프스키 함수 function 또는 л은 기본적으로 변수의 변화를 수반하는 동일한 함수다.

${\displaystyle \Lambda(\theta )=-\int _{0}^{\ta }\log 2\sin(t) \,dt=\operatorname {Cl} _{2}(2\ta )/2}$

비록 "Lobachevsky 함수"라는 이름은 역사적으로 정확하지 않지만, Lobachevsky의 쌍곡 볼륨 공식은 약간 다른 함수를 사용했기 때문이다.

$\displaystyle \int _{0}^{\tea }\log \sec(t) \,dt=\Lambda(\theta +\pi /2)+\ta \log 2.}$

디리클레 L-기능과의 관계

For rational values of ${\displaystyle \theta /\pi }$ (that is, for ${\displaystyle \theta /\pi =p/q}$ for some integers p and q), the function ${\displaystyle \sin(n\theta )}$ can be understood to represent a periodic orbit of an element in the cyclic group, and thus ${\displaystyle {\mathrm{Cl}}_s(\theta )}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{s}(\theta )}$은(는) Hurwitz zeta 함수와 관련된 간단한 합으로 표현할 수 있다$$.^{[citation needed]}이를 통해 특정 디리클레 L 기능 간의 관계를 쉽게 계산할 수 있다.

직렬 가속

Closen 함수에 대한 직렬 가속은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=1-\log \theta +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}}$

< ${\displaystyle \theta <2\pi }$을(를) 보유함 여기서 $\zeta {\displaystyle }$($){\displaystyle \zeta(s)}$은 리만 제타 함수다.보다 빠르게 수렴되는 형태는 에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\log \left[ \theta \left(1-{\frac {\theta ^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\right]-{\frac {2\pi }{\theta }}\log \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}.}$

$수렴$은${\displaystyle n}$(${\displaystyle \mathrm{n}}$ )${\displaystyle }$- 1$${\$displaystyle \zeta$ ($n)-1}$이 n의 큰 값에 대해 빠르게 0에 접근한다는$$ 사실에 의해 뒷받침된다.두 형태 모두 합리적인 제타 시리즈를 얻기 위해 사용되는 재기동 기법의 유형을 통해 얻을 수 있다.(ref. Borwein, 등, 2000, 이하).

특수값

반스 G-기능과 카탈란의 상수 K를 떠올려 보라.어떤 특별한 가치는 다음을 포함한다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\왼쪽({\frac {\pi }{2}}\오른쪽)=K}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-3\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+\pi \log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+{\frac {2\pi }{3}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)+{\frac {\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {5}{8}}\right)}{G\left({\frac {3}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)+{\frac {3\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {11}{12}}\right)}{G\left({\frac {1}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{12}}\right)+{\frac {\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}-1}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {5\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{12}}\right)}{G\left({\frac {5}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {5}{12}}\right)+{\frac {5\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}+1}}\right)}$

일반적으로 반즈 G-기능반영 공식으로 볼 때

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}}}\pi \log \Gamma(z)+2\log \log \{\frapi \}{\}{\pi z}}}}}}오른쪽)$

동등하게, 감마함수에 오일러의 반사식을 사용하여,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}}\pi \log \Gamma(z)\big(})\big(}\1-z)$

일반화된 특수 값

상위 순서의 Closen 함수에 대한 몇 가지 특별한 값에는 다음이 포함된다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}(0)=\operatorname {Cl}(\pi )=\operatorname {Cl} _{2m}(2\pi )=0}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\왼쪽({\frac {\pi }{2}}\오른쪽)=\베타(2m)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(0)=\operatorname {Cl} _{2m+1}(2\pi )=\제타(2m+1)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\pi )=-\eta(2m+1)=-\좌측({\frac {2^{2m1}-1}{2^{2m}}\우측)\제타(2m+1)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=-{\frac {1}{2^{2m+1}}}\eta (2m+1)=-\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{4m+1}}}\right)\zeta (2m+1)}$

여기서 $\beta {\displaystyle (x}$) ${\$$displaystyle$ $\beta$$(x$$)}$은 Dirichlet 베타 함수, $\eta {\displaystyle (x}$) ${\displaystyle$ $\eta$$(x)}$은 Dirichlet eta 함수(교류 제타$$ $함수$라고도 함), $)($은 Riemann Zeta 함수다.

직접 함수의 통합

다음과 같은 통합은 클로스 함수의 시리즈 표현에서 쉽게 증명된다.

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m}(x)\,dx=\zeta(2m+1)-\operatorname {Cl} _{2m+1}(\ta )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m+1}(x)\,dx=\operatorname {Cl} _{2m+2}(\teta )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m}(x)\,dx=\operatorname {Sl} _{2m+1}(\teta )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m+1}(x)\,dx=\zeta(2m+2)-\operatorname {Cl} _{2m+2}(\ta )}$

푸리에-분석적 방법을 사용하여 [${\displaystyle }$0 ,${\displaystyle }$] ${\displaystyle ]}$ ${\$$displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(x)}$ 기능의 사각형의 ${\displaystyle {첫}_{}}$ ${\displaystyle {순간}_{}}$을${\displaystyle {}_{}}$[${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle \pi }$ ] {\$displaystyle [0,\pi ]}$ 간격으로 찾을$$ 수 있다$.$^[1]

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=\zeta (4),}$

${\displaystyle \int _{0}^{}^{}t\operatorname {Cl}_{2}(x)\,dx={\frac {221}{90720}}\pi ^{6}-4\zeta({\overline{5},1},1)-2\zeta({\4,}),}),}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }t^{2}\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=-{\frac {2}{3}}\pi \left[12\zeta ({\overline {5}},1)+6\zeta ({\overline {4}},2)-{\frac {23}{10080}}\pi ^{6}\right].}$

여기서 $\zeta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \zeta }$은 다중 제타 함수를 나타낸다$$.

직접 기능을 포함하는 통합 평가

클로스 함수의 관점에서 많은 수의 삼각 및 로그트리모-트리거계 통합체를 평가할 수 있으며, ${\displaystyle K}$ ${\$카탈란의 상수), ${\displaystyle \mathrm{로그}2}$ 2 ${\$ 2$\backslash \},$ 그리고 제타함수의 특수 사례인 ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle (2}$) ${\$\\\)와 같은 다양한 일반적인 수학 상수를 평가할 수 있다.$eta$(2$)\,},$ ${\displaystyle \zeta }$ ( ${\displaystyle 3}$) ${\$(3$)\backslash ,\}.$

아래에 열거된 예는 클로스 함수의 적분표현에서 직접 따르며, 증명에는 기본 삼각법, 부품별 통합, 클로스 함수의 푸리에 시리즈 정의의 기간별 통합 이상이 거의 필요하지 않다.

${\displaystyle \int_{0}^{0}^{}\theta }\log(\sin x)\\,dx=-{\tfrac {1}{1}2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\thea )-\ta \log 2}$

${\displaystyle \int_{0}^{0}^{}\theta }\log(\cos x)\,dx={\tfrac {1}{1}2}}\\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\tea )-\talog 2}$

${\displaystyle \int_{0}^{0}^{}\teta }\log(\tan x)\,dx=-{\tfrac {1}{1}:{1}{\tfrac {1}-{1}{1}}\operatorname {Cl}{2}(pi -2\ta )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(1+\cos x)\,dx=2\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\teta )-\theta \log 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(1-\cos x)\,dx=-2\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-\theta \log 2}$

${\displaystyle \int_{0}^{0}^{\theta }\log(1+\sin x)\,dx=2K-2\operatorname {Cl} _{2}\좌측({\frac {}{\pi \2}}+\오른쪽)-\ta \log 2}$

${\displaystyle \int_{0}^{0}^{\theta }\log(1-\sin x)\,dx=-2K+2\operatorname {Cl}_{2}\좌측({\frac {}-\pi \right)-\ta \log 2}$

참조

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