후르비츠 쿼터니온

수학에서 후르비츠 쿼터니온(또는 후르비츠 정수)은 모든 정수 또는 모든 반정수(홀수 정수의 하프; 정수와 반정수의 혼합물은 제외)인 쿼터니온이다. 후르비츠 쿼터니온들의 집합은

${\displaystyle H=\왼쪽\{a+bi+cj+dk\in \mathb {H} \mid,b,c,d\in \mathb {Z}\;{\mbox{} 또는 }\a,b,c,d\in \mathb {Z}+{1}:{2}}\rig.}$

즉, a, b, c, d는 모두 정수이거나 모두 반정수다. H는 쿼터니온 곱셈과 덧셈으로 닫히므로 모든 쿼터니온 H의 링의 하위 링이 된다. 후르비츠 쿼터니온은 아돌프 후르비츠(1919)에 의해 소개되었다.

Lipschitz quaternion(또는 Lipschitz 정수)은 구성 요소가 모두 정수인 쿼터니온이다. 모든 립스치츠 쿼터니온의 세트

${\displaystyle L=\왼쪽\{a+bi+cj+dk\in \mathb {H}\mid a,b,c,d\in \mathb {Z}\오른쪽\}}$

후르비츠 쿼터니온 H의 서브링을 형성하다. 후르비츠 정수는 립슈비츠 정수에 비해 유클리드 분업을 수행할 수 있어 잔여량이 적다는 장점이 있다.

후르비츠와 립스치츠 쿼터니온 모두 디비전 링이 아닌 비커밋 도메인의 예다.

후르비츠 쿼터니온스의 고리 구조

첨가제 그룹으로서 H는 발전기 {(1 + i + j + k)/2, i, j, k}을(를) 가진 자유 아벨리안이다. 그러므로 그것은⁴ R에서 격자를 형성한다. 이 격자는 반이행 리 대수 F의₄ 뿌리 격자라 하여 F 격자로₄ 알려져 있다. Lipschitz Quaternions L은 H의 지수 2를 형성한다.

L 단위의 그룹은 8 쿼터니온 그룹 Q = {±1, ±i, ±j, ±k}의 순서 그룹이다. H의 단위 그룹은 이진 사면체 그룹으로 알려진 순서 24의 비아벨리안 그룹이다. 이 소분류의 요소는 어떤 조합에서도 기호를 취할 수 있는 16 쿼터니온 {(±1 ± i ± j ± k)/2}과 함께 Q의 8개 요소를 포함한다. 쿼터니온 그룹은 이항 4면체 그룹 U(H)의 정상 하위 그룹이다. 모두 규범 1을 가지고 있는 U(H)의 원소는 3-sphere에 새겨진 24-셀의 정점을 형성한다.

후르비츠 쿼터니온은 이성적인 요소들을 가진 쿼터니온의 분할 링에서 (링 이론의 의미에서) 질서를 형성한다. 그것은 사실 최대 주문이다. 이것이 그것의 중요성을 설명해준다. 일체형 콰테니온 사상의 더욱 확실한 후보인 립슈치츠 콰테니온도 주문을 형성한다. 그러나 이 후자의 질서는 최대의 질서가 아니므로 (그것이 밝혀진 바와 같이) 대수적 수 이론에 비견할 만한 좌뇌 이상 이론을 개발하는 데는 덜 적합하다. 그러므로 아돌프 후르비츠가 깨달은 것은, 후르비츠 일체 쿼터니온에 대한 이 정의가 운용하기에 더 좋다는 것이었다. H와 같은 비확정 링의 경우 최대 순서는 고유할 필요가 없으므로 대수 정수의 개념을 이어받을 때 최대 순서를 고정할 필요가 있다.

후르비츠 콰테니온스의 격자

후르비츠² 쿼터 a + b + c² + d에² 의해 주어지는 후르비츠 쿼터 a + bi² + cj + dk의 (산술 또는 필드) 규범은 항상 정수다. 라그랑주의 정리로는 모든 음이 아닌 정수는 최대 네 칸의 합으로 쓸 수 있다. 그러므로 모든 음이 아닌 정수는 어떤 립스치츠(또는 후르비츠) 쿼터니온의 규범이다. 보다 정확히 말하면, 주어진 양성규범 n의 허위츠 쿼터의 숫자 c(n)는 n의 홀수 구분자의 합계의 24배이다. 숫자 c(n)의 생성 기능은 레벨 2 중량 2 모듈 형태로 제공된다.

${\displaystyle 2E_{2}(2\tau )-E_{2}(\tau )=\sum _{n}c(n)q^{n}=1+24q+24q^{2}+96q^{3}+24q^{4}+144q^{5}+\cdots }}}}$ OEIS: A004011

어디에

${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

그리고

${\displaystyle E_{2}(\tau )=1-24\sum _{n}\sigma _{1}(n)q^{n}}}}$

무게 2 레벨 1 아이젠슈타인 시리즈(Quasimodular 형태)이며, σ₁(n)은 n의 디비저의 합이다.

되돌릴 수 없는 요소로 인자화

후르비츠 정수는 0이나 단위가 아니고 단위가 아닌 경우 irreducible이라고 불린다. 후르비츠 정수는 그것의 규범이 소수일 경우에만 재조정할 수 없다. 불분명한 쿼터는 때때로 프라임 쿼터니온이라고 불리기도 하지만, 이것은 그들이 통상적인 교환 대수적 의미에서는 프리마임이 아니기 때문에 오도될 수 있다: 불분명한 쿼터니온이 a나 b 중 하나를 나누지 않고 제품 ab를 나누는 것은 가능하다. 모든 Hurwitz 쿼터는 돌이킬 수 없는 쿼터의 산물로 간주될 수 있다. 이러한 요소화는 일반적으로 고유하지 않으며, 최대 단위와 순서도 아니다. 왜냐하면 양의 홀수 p는 표준 p의 두 가지 불가해한 Hurwitz 쿼터의 산물로서 24(p+1)의 방법으로 쓰여질 수 있고, 큰 p의 경우 이 모든 것이 단위가 24개뿐이기 때문에 단위에 의한 좌우 곱셈에서 동등할 수는 없기 때문이다. 그러나 이 경우를 제외한다면 독특한 요소화 버전이 있다. 더 정확히 말하면, 모든 후르비츠 쿼터니온은 양수와 원시 쿼터니온의 산물로서 독특하게 쓰여질 수 있다. 원시적인 쿼터를 무적합물로 인자화하는 것은 다음과 같은 의미에서 질서와 단위까지 유일하다.

p₀p₁...p_n

그리고

q₀₁...q_n

p가_k 모든 k에 대해 q와_k 동일한 규범을 갖는 어떤 원시적인 Hurwitz quaternion의 두 가지 요인이다.

${\displaystyle {\regated}q_{0}&=p_{0}u_{0}u_{0}\\\1}^{1}p_{1}{1}^{1}p_{1}u_{2}\\\\\,\,\,\dots \\q_{n}>{n}p_{n}{n}}}}}{n}{n}}}}}{n}{n}}}}}}}{n}}}}{n}}}\{n}}}}}\{n}$

일부_k 유닛의 경우.

분할(잔량 포함)

일반적인 실제 정수와 가우스 정수는 나머지 정수와 함께 분할 또는 유클리드 분할을 허용한다. 양의 정수 N과 D의 경우 항상 다음과 같은 지수 Q와 음이 아닌 나머지 R이 있다.

• N = QD + R 여기서 R < D.

콤플렉스 또는 가우스 정수 N = a + ib 및 D = c + id의 경우, 표준 N(D)이 0보다 큰 Q = p + iq, R = r +가 항상 존재한다.

• N = QD + R, 여기서 N(R) < N(D)이다.

단, Lipschitz 정수 N = (a, b, c, d) 및 D = (e, f, g, h)의 경우 N(R) = N(D)이 발생할 수 있다. 이것은 Hurwitz 정수로의 전환을 동기가 되어, 조건 N(R) < N(D)이 보장된다.^[1]

많은 알고리즘은 분할에 의존하고 나머지 알고리즘은 예를 들어 최대 공통 구분자에 대한 유클리드 알고리즘이다.

참고 항목

• 가우스 정수
• 아이젠슈타인 정수
• 아이코시안
• 더₄ 리 그룹 F
• E₈ 격자

참조

• Conway, John Horton; Smith, Derek A. (2003). On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry. A.K. Peters. ISBN 1-56881-134-9.
• Hurwitz, Adolf (2013) [1919]. Vorlesungen Über die Zahlentheorie der Quaternionen. Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-47536-8. JFM 47.0106.01.