재조정 범위

재조정 범위는 영국 수문학자 해롤드 에드윈 허스트(1880~1978)가 도입한 시계열의 변동성에 대한 통계적 척도다.^[1]그 목적은 일련의 명백한 변동성이 고려되는 기간의 길이에 따라 어떻게 변하는지 평가하는 것이다.

재조정된 시계열 범위는 평균 조정된 누적 편차 시리즈 범위(아래 계산 섹션 참조)를 시계열 자체의 표준 편차로 나눈 값이다.예를 들어 평균 m = 2 및 표준 편차 S = 1.79인 시계열 {1,3,1,0,2,5}을(를) 고려하십시오.영상 시리즈의 각 값에서 m을 빼면 평균 수정 영상 시리즈 {-1,1,-1,-2,0,3}이(가) 제공된다.누적 편차 영상 시리즈를 계산하려면 첫 번째 값 -1을 선택한 다음 처음 두 값 -1+1=0을 합한 다음 처음 세 값의 합을 합하여 {-1,-1,-3,-3,0} 범위를 구하며, 범위는 R = 3이므로 재조정된 범위는 R/S = 1.68이다.

동일한 시계열을 고려하지만 시계열의 관측치 수를 늘리면 일반적으로 축소된 범위도 증가한다.재조정된 범위의 증가는 R/S의 로그 대 표본 수의 로그 그림을 그리는 것으로 특징 지을 수 있다.이 선의 기울기는 허스트 지수를 H로 한다. 무작위 보행(또는 브라운 운동 프로세스)에 의해 시계열이 생성되는 경우 H =1/2의 값을 갖는다.분석에 적합한 긴 시계열을 갖는 많은 물리적 현상은 1/2보다 큰 허스트 지수를 나타낸다.예를 들어, 여러 해에 걸쳐 매년 측정된 나일강의 높이에 대한 관측치는 H = 0.77의 값을 제공한다.

여러 연구자(Peters, 1991년 포함)는 많은 금융상품(환율, 주식가치 등)의 가격도 H의 1/2을 가지고 있다는 것을 알아냈다.^[2]이는 무작위 보행과 구별되는 행동을 가지고 있다는 것을 의미하며, 따라서 시계열은 이 이전의 모든 값과 독립된 n번째 값을 갖는 확률적 과정에 의해 생성되지 않는다.프랙탈 브라운 운동 모델에 따르면 이것은 양의 선형 자기 상관에 대한 긴 기억이라고 한다.그러나 이 측정은 선형 평가에 대해서만 정확하다는 것이 입증되었다. 메모리를 가진 복잡한 비선형 공정은 추가적인 기술 매개변수를 필요로 한다.Lo의 수정된 재정렬 범위 통계를 사용한 여러 연구는 피터스의 결과와 모순되기도 했다.

계산

재조정 범위는$$X${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{X\mathrm{}}_{}}$ 2 ,${\displaystyle }$…${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$X ${\displaystyle n_{}}$ $displaystyle X=X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\,}$에 대해 다음과 같이 계산된다.^[6]

1. 평균 계산

   ${\displaystyle m={\frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\,}$

2. 평균 수정 영상 시리즈 생성

   ${\displaystyle Y_{t}=X_{t}-m{\text{{}}: }}t=1,2,\dots,n\,}$

3. 누적 편차 영상 시리즈 Z를 계산한다.

   ${\displaystyle Z_{t}=\sum _{i=1}^{t}Y_{i}{\text{{}}{}}}}}}}}: 1,2,\dots,n\,}$

4. 범위 영상 시리즈 R 만들기;

   ${\displaystyle R_{t}=\max \left(Z_{1}, Z_{t}\right)-\min \left(Z_{1}, Z_{2}, Z_{t}\right){{}}\text{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}-.$

5. 표준 편차 시리즈 S를 생성한다.

   ${\displaystyle S_{t}={\sqrt{1}{t}\sum_{i=1}^{t}\왼쪽(X_{i}-m(t)\right)^{2}}{{{}}{{}}}}}{{}}}}}{}}}}}}}$

   여기서 m(t)은 $시간{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$ $X$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{X\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ X ${\displaystyle t_{}}$ $displaystyle X_{1}, X_{2},\dots ,X_{t}\,},}$를 통과하는 시계열 값의 평균이다.

6. 재조정된 범위 영상 시리즈(R/S) 계산

   ${\displaystyle \left(R/S\right)_{t}={\frac {R_{t}}{{S_{t}}{\text{{}}}{}}}{}}}{}}}}}{}t=1,2,\dots,n\,}$

Lo(1991)는 시계열에서 단거리 자기 상관으로 인한$$ $범위{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$의 예상 증가에 대해$$ 표준 편차 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을(를) 조정하는 것을 지지한다.^[5]여기에는 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을(를) $S{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\${S}(으$$)로 교체하는 작업이 포함되며$,$ 이는 S의 제곱근이다.

${\displaystyle {\hat{S}^{2}=S^{2}+2\sum _{j=1}^{q}\좌측(1-{{\frac {j}{q+1}\오른쪽)C(j),}$

여기서 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$은(는) 단거리 자기 상관성이 상당할 수 있는 최대 지연이고 $C{\displaystyle }$( j${\displaystyle }$) ${\displaystyle C(j)}$은 지연 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$에서의 샘플 자기 분산이다$.$ 이 조정된 범위를 사용하여 그는 주식 시장 수익 시계열은 장거리 메모리의 증거를 나타내지 않는다고 결론짓는다.

구현

• R/S, DFA, Hurst 지수의 주기각 회귀 분석 및 파장 추정치를 계산하기 위한 Matlab 코드 및 해당 신뢰 구간은 RePEC: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html에서 확인할 수 있다.
• Python의 구현: https://github.com/Mottl/hurst

참고 항목

• 프랙탈
• 프랙탈 브라운 운동
• 살꼬리

참조

추가 읽기