다항식 루트의 기하학적 특성

수학에서, 실제 계수나 복잡한 계수를 가진 단변 다항식 n은 그들의 승수와 함께 계산된다면, n개의 복잡한 뿌리를 가지고 있다.그것들은 복잡한 평면에서 n개의 점들을 형성한다.이 글은 다항식의 정도와 계수에서 추론할 수 있는 복합 평면에서의 국산화 정보인 이러한 점들의 기하학에 관한 것이다.

이러한 기하학적 특성 중 일부는 모든 루트를 포함하는 디스크를 정의하는 뿌리의 절대값의 상한이나 두 뿌리 사이의 거리에 대한 하한과 같은 단일 다항식과 관련이 있다.이러한 한계는 다항식(다항식)의 뿌리 찾기 알고리즘을 조정하거나 계산 복잡성을 계산하는 데 널리 사용된다.

실제 계수가 있는 n 도수의 무작위 다항식의 예상된 실제 루트 수처럼 확률론적인 특성도 있는데, 이는 n이 충분히 큰 경우$$ 1${\displaystyle \mathrm{}}$+ 2 ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (n}$) ${\displaystyle$ 1$+{\frac{2}{\pi }}}}\ln(n)$보다 작다.

이 글에서는 항상 고려되는 다항식이 표시된다.

${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서,${\displaystyle n_{}}$은${\displaystyle }$0 , …, n ${\$$displaystyle$ $a_{0},\properties,$$a_{n}}$이며,${\displaystyle {}_{}}$n은 다항식의 수준이다$.$

계수에 대한 연속 의존도

n 도 다항식의 n 루트는 계수에 따라 연속적으로 달라진다.단순한 뿌리의 경우 이는 암묵적 함수 정리에서 바로 비롯된다.이것은 복수의 뿌리에 대해서도 마찬가지지만, 그 증명에 대해서는 어느 정도 주의가 필요하다.

계수의 작은 변화로 인해 실제 뿌리가 다소 큰 상상의 부분을 가진 복잡한 뿌리로 변하는 등 뿌리의 극적인 변화를 유도할 수 있다(윌킨슨의 다항식 참조).그 결과, 고전적인 숫자 뿌리 찾기 알고리즘의 경우, 계수가 주어진 근사치 문제는 잘못된 조건이다.

결합

복합결합근성정리는 다항식의 계수가 실재하면 비실재근성이 형태 쌍(a + ib, a – ib)으로 나타난다고 기술하고 있다.

실제 계수를 갖는 다항식의 뿌리는 실제 축에 관해서 거울 대칭이라는 것을 따른다.

이것은 대수적 결합으로 확장될 수 있다: 합리적인 계수를 가진 다항식의 뿌리는 다항식의 갈루아 그룹의 작용에 따른 결합(즉, 불변)이다.그러나 이 대칭은 기하학적으로 해석되는 경우는 거의 없다.

모든 뿌리에 대한 경계

다항식 뿌리의 절대값 상위는 뿌리를 검색할 영역을 제한하거나 이러한 알고리즘의 계산 복잡성을 계산하기 위해 뿌리 찾기 알고리즘에 널리 사용된다.

그러한 한계들이 많이 주어졌고, 더 날카로운 한계는 일반적으로 고려되는 특정 계수의 순서에 따라 결정된다.대부분의 경계는 1보다 크거나 같으며, 따라서 절대값의 뿌리만 1보다 낮은 다항식에서는 날카롭지 않다.그러나 그러한 다항식은 아래와 같이 매우 드물다.

뿌리의 절대값 상한이 있으면 그에 상응하는 하한을 제공한다.${\displaystyle \mathrm{실제로}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle a_{n}\neq 0,},$ U가 루트 절대값의 상한인 경우

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}}}$

그러면 1/U는 절대값의 하한이다.

${\displaystyle a_{n}+a_{n-1}x+\cdots +a_{0}x^{n}}}$

왜냐하면 어느 다항식의 뿌리는 다른 다항식의 뿌리에 대한 승법적인 내장이기 때문이다.따라서 나머지 조항에는 하한이 명시적으로 주어지지 않을 것이다.

라그랑주와 카우치의 경계

라그랑주와 카우치는 모든 복잡한 뿌리에 상한을 제공한 최초의 사람이었다.^[1]라그랑주의 바운드는^[2]

${\displaystyle \max\{1,\sum _{i=0}^{n-1}\왼쪽 {\frac {a_{n}}}\오른쪽 \right\}}}$ 

그리고 코치의 바운드는^[3]

${\displaystyle 1+\max\{n1}{\frac {a_{n-1}}\오른쪽,\frac {a_{n-2}}:{n}}\frac {a_{n}}\ldots,\왼쪽 {\frac {a_{0}}}}}\오른쪽\}}}}}}}}}}$ 

라그랑주의 바운드는 1이 ${\displaystyle \frac{{모든}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{a_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$의 $합$보다 클$$ 때만 $카우치 바운트$보다 더 선명하다$(작다).$이는 실제로 비교적 드물며, 왜 카우치의 바운드가 라그랑주보다 더 널리 사용되는지를 설명한다.

양쪽 경계는 다항식의 동반행렬과 그 전치행렬에 적용된 게르슈고린 원의 정리에서 비롯된다.그것들은 또한 기본적인 방법으로 증명될 수 있다.

이러한 경계는 스케일링으로 불변하는 것이 아니다.즉, 다항 p(sx)의 뿌리는 p의 뿌리에 의한 몫이고, p(sx)의 뿌리에 주어진 한계는 p의 한계에 의한 몫이 아니다.따라서, 사람들은 가능한 메스를 최소화함으로써 경계를 더 선명하게 할 수 있다.이것으로 알 수 있다.

${\displaystyle \min \in \mathb {R} _{+}\왼쪽(\max \left\{n-1}\sum _{i=0}^{n-1}\frac{a_{n}}}}\오른쪽 s^{i-n+1},}}$ 

그리고

${\displaystyle \min \in \mathb {R} _{+}\좌측(s+\max_{0\leq i\leq n-1}\좌측(\왼쪽 {\frac {a_{n}}}}}}\우측 s^{i-n+1}\rig)}$ 

라그랑주, 카우치주 경계선.

또 다른 바운드는 원래 라그랑주(Lagrange)가 주었지만 도널드 크누스가 자센하우스로 귀속시킨 바운드는 다음과 같다.

${\displaystyle 2\max \left\{a_{n-1}}\왼쪽 {\frac {a_{n1}}\오른쪽, 왼쪽 {\frac {a_{n}}}{n}}\frac {a_{n}}}\오른쪽 ^{1/n}.}$ 

이 바운드는 스케일링에 의해 불변한다.

라그랑쥬는 이 후자를 순서에서^[4] 가장 큰 두 값의 합으로 개선했다(아마도 같음).

${\displaystyle \left[\frac {a_{n-1}}{a_{n}}\오른쪽,\frac {a_{n-2}}:{n}}}\frac {a_{0}}\오른쪽 ^{1/n}.}$ 

라그랑주 또한 바운드^{[citation needed]} 제공

${\displaystyle \sum_{i}\왼쪽 {\frac {a_{i}}{a_{i+1}}\오른쪽,}$ 

여기서 ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 다항식 항이 증가하는 도에 의해 정렬될 때 ih nonzero 계수를 나타낸다$$.

홀더 부등식 사용

쾰더의 불평등은 모든 h-norm에 라그랑주 및 카우치 범위를 확장할 수 있게 한다.시퀀스의 h-norm

${\displaystyle s=(a_{0},\ldots ,a_{n}}}}$

이다

${\displaystyle \s\ _{h}=\left(\sum _{i=1}^{n} a_{i} ^{h}\오른쪽)^{1/h}}$

모든 실제 번호 h ≥ 1에 대해

${\displaystyle \ s\ _{\infit }=\textstyle {\max_{i=1}^{n} a_{i} .}$

$1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{h}{}}$+ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{k}{}}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle {\frac$ {$1}{h}+{{$h}+{\$frac${1$}{k}=1,$1 h h, k ∞ ∞, 1 / ∞ = 0인 경우 p의 뿌리의 절대값에 대한 상한이 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac{1}{a_{n}}}}{{n}}}}}\(a_{n1},\left\)(a_{n-1},\ldots, a_{0}\right)\{h}\right)\ _{k}}$ 

k = 1과 k = ∞의 경우 각각 카우치(Cauchy)와 라그랑주(Lagrange)의 경계를 얻는다.

h = k = 1/2의 경우, 1은 경계선을 가진다.

${\displaystyle {\frac {1}{a_{n}}}{{\sqrt { a_{n}} ^{2}+ a_{n-1} ^{2}+\cdots + a_{0} ^{0}}}}}}}.}$ 

이는 뿌리의 절대값의 한계일 뿐만 아니라, 1보다 큰 절대값의 산물의 한계일 뿐 아니라, 아래의 § Landau의 불평등을 참조한다.

기타 한계

모든 뿌리의 크기에 대한 다른 많은 상한이 주어졌다.^[5]

후지와라행^[6]

${\displaystyle 2\,\max \left\{\left {\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\right ,\left {\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\right ^{\frac {1}{2}},\ldots ,\left {\frac {a_{1}}{a_{n}}}\right ^{\frac {1}{n-1}},\left {\frac {a_{0}}{2a_{n}}}\right ^{\frac {1}{n}}\right\},}$  

최대값의 마지막 주장을 두 개로 나누어서 위에서 주어진 경계를 약간 개선한다.

코지마^{[7][verification needed]} 바운드는

${\displaystyle 2\,\max \left\{a_{n-1}}\좌측 {a_{n-1}}\우측,\frac {a_{n-2}}:\좌측,\frac {a_{0}{0}}}우측, \우측,}$ 

여기서 ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 다항식 항이 증가하는 도에 의해 정렬될 때 ih nonzero 계수를 나타낸다$$.모든 계수가 0이 아닌 경우에는 후지와라 바운드의 각 원소가 코지마 바운드의 제1 원소의 기하학적 평균이기 때문에 후지와라 바운드가 더 날카롭다.

쑨과 쉬는 카우치의 구속력을 또 한 번 향상시켰다.^[8]다항식이 일반 용어 도끼와_iⁱ 단일하다고 가정하십시오.Sun과 Shieh는 상한이 1 + d와₁ 1 + d를₂ 다음 방정식에서 얻을 수 있다는 것을 보여주었다.

${\displaystyle d_{1}={\tfrac {1}{1}{2}}\왼쪽(((a_{n-1} -1)+{nqrt {(a_{n-1} -1)^{2}+4a}\right),\qquad a=\max\{i}\}}}}$

d는₂ 입방정식의 양근이다.

${\displaystyle Q(x)=x^{3}+(2- a_{n-1})x^{2}+(1- a_{n-1} - a_{n-1})+(1- a-a,\qquad a=\max\{i} \}}}}}}}}$

그들은 또한₂ d ≤ d에₁ 주목하였다.

란다우의 부등식

이전 한계는 각 루트에 대해 개별적으로 상한이다.란다우의 불평등은 절대값이 1보다 큰 뿌리의 생산물에 대한 절대값의 상한선을 제공한다.1905년 에드먼드 랜도에^[9] 의해 발견된 이 불평등은 20세기 동안 적어도 세 번 이상 잊혀지고 재발견되었다.^[10][11][12]

뿌리의 생산물의 이 경계는 각 뿌리의 가장 좋은 선행 경계보다 별반 크지 않다.^[13]$z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle z_{}}$ n ${\$을 다항식 p의 n 루트가 되도록$$ 한다.만약

${\displaystyle M(p)= a_{n} \prod _{j=1}^{n}\max(1, z_{j} )}$

말러가 p의 척도인가?

${\displaystyle M(p)\leq {\sqrt {\sum _{k=0}^{n} a_{k}^{2}}.}$

놀랍게도, 뿌리의 1보다 큰 절대값의 산물의 이 경계는 한 근에 대해 위에서 주어진 한 근의 가장 좋은 한계보다 그리 크지 않다.이 경계는 심지어 쾰더의 불평등을 이용하여 얻은 경계 중 하나와 정확히 같다.

또한 이 바운드는 다항식 계수를 정수 계수로 묶는 데 유용하다.^[14]

${\displaystyle q=\sum _{k=0}^{m}b_{k}x^{k}}}}}$

그럼 p의 점수는?

${\displaystyle b_{m} \leq a_{n},}$

그리고, 비에타의 공식에 따르면,

${\displaystyle {\frac {b_{i}}{{b_{m}}{b_{b_leq {\binom {m}{i}}{\frac {M(p)}{a_{n}}}},}$

i = 0, ..., m, 여기서 (${\displaystyle m\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{i}{}}$) ${\$은(는) 이항 계수다.그러므로

${\displaystyle b_{i} \leq {\binom {m}{i}}}{\sqrt {\sum _{k=0}^{n} a_{2},}$

그리고

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m}b_{k} \leq 2^{m(p)\leq 2^{m}{\sum _{k=0}^{n} a_{k}{2}}.}$

일부 루트가 포함된 디스크

로셰 정리로부터

루제의 정리는 0에 중심을 두고 주어진 수의 뿌리를 포함하는 디스크를 정의할 수 있다.보다 정확히 말하면, 다음과 같은 양의 실수 R과 정수 0 k k n n이 있는 경우.

${\displaystyle a_{k} R^{k}{k} R^{0} +\cdots + a_{k-1} R^{k-1}+ a_{k+1}+ R^{k+1}+{k+1}+\cdots + a_{n} R^{n}}}}$

R보다 작은 절대값의 k 루트가 다량으로 계산된다.

다항식일 경우 위의 결과를 적용할 수 있다.

${\displaystyle h_{k}(x)= a_{0} +\cdots + a_{k-1}- a_{k}- x^{k}-+ a_{k+1}+ a_{k+1}+{k+1}+++\cdots + a_{n} x^{n}.}$

x의 일부 양의 실제 값에 대해 음의 값을 취한다.

이 절의 나머지 부분에서는 suppose 0을₀ 가정한다. 그렇지 않으면 0이 근본이며, 0이 아닌 상수 항을 가진 다항식을 얻기 위해 미확정의 힘으로 다항식을 나누어 다른 뿌리의 국산화도 연구할 수 있다.

k = 0과 k = n의 경우, 데카르트의 기호 규칙은 다항식이 정확히 하나의 양의 진짜 뿌리를 가지고 있음을 보여준다.$R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$과(와$)$ ${\displaystyle {Rn}_{}}$ {\$displaystyle$ R_${n}$이(가) 이러한 루트라면$$ 위의 결과는 모든 루트가 검증함을 보여준다.

${\displaystyle R_{0}\leq z \leq R_{1}.}$

이러한 불평등은 h ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 및 h ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle h_{n}$에도 적용되며, 이들$$ 한계는 계수의 절대값의 특정 시퀀스를 갖는 다항식에도 최적이다.따라서 그들은 앞의 절에서 주어진 모든 한계보다 더 날카롭다.

0 < k < n, ${\displaystyle \mathrm{데카르트}}$의 기호 법칙은 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle h_{k}(x)}$이(가) 다수가 아닌 두 개의 양의 진짜 뿌리를 가지고 있거나$$ x의 모든 양의 값에 대해 음수가 아니라는 것을 암시한다. 따라서 위의 결과는 첫 번째 경우에만 적용될 수 있다. , < , ${\$개가 이 두 뿌리라면, 위의 결과는 다음과 같은 것을 암시한다.

${\displaystyle z \leq R_{k,1}$

k 근의 p, 그리고 that에 대해서.

${\displaystyle z \geq R_{k,2}}$

n – k 다른 루트의 경우.

대신에 명시적으로 Rk컴퓨팅의, 1{\displaystyle R_{k,1}}와 Rk, 2,{\displaystyle R_{k,2},}는 일반적으로 값 Rk{\displaystyle R_{km그리고 4.9초 만}를 계산하기 위해 충분하다}가 hkm그리고 4.9초 만(Rkm그리고 4.9초 만)<0{\displaystyle h_{k}(R_{k})<. 0}일 경우(반드시 Rk, 1<>Rk<>Rk, 2. {\displayst$yle R_{k,1}<R_{k}<R_{k,2}}.$이 Rk{\displaystyle R_{km그리고 4.9초 만}}:h<>,;k, 둘 다 Rh{\displaystyle R_{h}}과 Rk{\displaystyle R_{km그리고 4.9초 만}}이 존재하는 곳은 그들의 절대 값의 관점에서 뿌리를 분리시키는 특성이 있정확히 k – h뿌리 z가 Rh<>z<>Rk.{\displaystyle R_{h}<, z<>.R_{k}.$}$

${\displaystyle {Rk}_{}}$, ${\displaystyle R_{k}}$을(를) 계산할 때 $h$ ( ${\displaystyle \frac{x}{}}$) ${\displaystyle \frac{x^{}}{}}$ k ${\$ {$h(x)}{x^{k}}}}}}$는 볼록함수(그 두 번째 파생상품은 양수)를$$ 사용할 수 있다.따라서 $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ $h{\displaystyle \frac{}{}}$( x${\displaystyle \frac{}{}}$) x ${\displaystyle \frac{k^{}}{}}$ ${\$이(가) ${\displaystyle \frac{\mathrm{고유}}{}}$한 최소값에서 음수인$$ 경우에만 존재한다$$.이 최소값을 계산하기 위해서는 어떤 최적화 방법이나, 또는 뉴턴의 방법으로는 $h{\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{}{}}$x ) ${\displaystyle \frac{x^{}}{}}$ k ${\$x^{k$}}}}}}{x^{k$}}}}}}}의 파생상품의 고유한 양의 0을 계산하는 방법을 사용할 수 있다.$$

Dandelin-Graeffe 반복의 루트 스퀴링 연산을 적용하면 기존 ${\displaystyle R_{}}$ k ${\$s를 늘릴 수 있다.만약 그 뿌리들이 뚜렷한 절대 값을 가지고 있는, 그들은 결국 절대 값의 조건,를 계산하다 n+1긍정적인 숫자 미국의 0<>R1<>⋯<>Rn{\displaystyle R_{0}<, 완전히 뿌리를 분리할 수 있다.R_{1}<, \dots <.R_{n}} 같은 딱 하나의 루트 개방된 간격에 절대적 가치(Rkm그리고 4.9초 만 − 1, R는 k와 함께 있습니다.${\displaystyle {}_{})}$, ${\displaystyle(R_{k-1},R_{k}),$ k = 1, ..., n에 대한$$ {\displaystyle}.

게르슈고린 원 정리로부터

라그랑주 보간과 관련된 기준으로 다항식의 동반행렬을 적용한 원리는 보간점에 중심을 두고 각각 다항식의 루트를 포함하는 디스크를 제공한다. 자세한 내용은 Gerschgorin의 원을 통한 § Root 포함을 참조한다.

보간점이 다항식의 뿌리에 가까우면 디스크의 반지름이 작으며, 이것이 다항식의 뿌리를 계산하는 듀란트-케너법의 핵심 성분이다.

진짜 뿌리의 한계

실제 계수가 있는 다항식의 경우 실제 뿌리만 묶는 것이 유용한 경우가 많다.p(x)의 음근은 p(-x)의 양근이기 때문에 양근을 묶는 것으로 충분하다.

분명히 모든 뿌리의 묶음은 진짜 뿌리에 대해서도 적용된다.그러나 어떤 맥락에서, 진짜 뿌리의 더 엄격한 한계는 유용하다.예를 들어, 실질 뿌리 절연을 위한 지속적인 분수법의 효율성은 양의 뿌리 묶음의 조임성에 크게 좌우된다.이로 인해 모든 뿌리의 일반적 한계보다 엄격한 새로운 한계를 정립하게 되었다.이러한 한계는 일반적으로 계수의 절대값뿐만 아니라 기호의 측면에서도 표현된다.

다른 경계는 모든 루트가 실제인 다항식에만 적용된다(아래 참조).

양의 진짜 뿌리의 한계

양의 뿌리를 경계로 하는 경우, 모든 계수의 부호를 변경해도 뿌리가 바뀌지 않기 때문에 일반성의 손실 n > ${\displaystyle a_{n}>0}$을 가정할 수 있다.

모든 양의 뿌리의 상한은

${\displaystyle q(x)=a_{n}x^{n}+\sum _{i=0}^{n-1}\min(0,a_{i}}x^{i}}}}}}}}}}}}$

또한 의 진짜 0에 대한 구속이기도 하다.

${\displaystyle p}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle a_{}}$ i ${\displaystyle x^{}}$ i ${\$

실제로 B가 그러한 경계라면, 모든 x > B에 대해 p(x) ≥ q(x) > 0이 있다.

카우치 바운드에 적용하면 상한이 주어진다.

${\displaystyle 1+{\textstyle \max_{i=0}^{n-1}{\frac {-a_{i}}{a_{n}}}}}}}}}$

실제 계수가 있는 다항식의 실제 루트에 대해.이 한계가 1보다 크지 않으면 0이 아닌 모든 계수의 부호가 같으며 양의 근이 없음을 의미한다.

마찬가지로 양근의 또 다른 상한은 다음과 같다.

${\displaystyle 2\,{\max_{a_{i}a_{n}{n}}<0}\precent\frac {-a_{n}}}\^{\frac {1}{n-i}}}}.}$

0이 아닌 모든 계수가 부호가 같을 경우 양의 근이 없고, 최대값을 0으로 정의해야 한다.

다른 한계들은 최근에 개발되었는데, 주로 실질 뿌리 분리를 위한 지속적인 분율 방법이 필요하기 때문이다.^[15][16]

뿌리가 모두 진짜인 다항식

만일 다항식의 모든 뿌리가 진짜라면, 라구에르르는 지금 사무엘슨의 불평등이라고 불리는 것을 사용함으로써 다음과 같은 뿌리의 하한과 상한을 증명했다.^[17]

$\sum {\displaystyle \underset{k}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle {0n}_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ x ${\displaystyle k^{}}${\$displaystyle \sum$ _${k=0}^{na_{k}x^{k}}}}}}}$은(는) 모든 실제 루트를 가진 다항식이다$$.그런 다음 해당 루트가 엔드포인트와의 간격에 위치함

${\displaystyle -{\frac {a_{n-1}{n1}}\pm {\frac {n-1}{na_{n}}}{\sqrt {a_{n-1}^{2}-{n1}-{n-1}-{n-2}}.}$

예를 들어 다항식 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ $4{\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$-${\displaystyle 6}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle 3}$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$+ 3${\displaystyle }$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$) ( x - 1 ) $(\displaysty x^{4}+5x^{3}+5x^{2}+5x-6=(x+3)(x+1)(x-1$)의 루트가 충족된다$.$

${\displaystyle -3.8118<-{\frac {5}{4}-{4}-{\frac{3}{3}}{\sqrt{3}}\leq -{5}{5}{4}}{4}}{\sqrac {35}{35}{318}{1.18}.$

뿌리분리

다항식의 뿌리 분리는 두 뿌리 사이의 최소 거리로서, 두 뿌리 차이의 절대값의 최소값이다.

${\displaystyle \p)=\min\{\cHB -\filency \;\\\nech \neck \\cHB{\text{\\p(\filency )=p(\filency )=0\}}}}}$

루트 분리는 다항식용 루트 찾기 알고리즘의 계산 복잡성의 기본 매개변수다.사실 뿌리분리는 다른 뿌리를 구별하는 데 필요한 숫자표현의 정밀도를 결정한다.또한, 리얼 루트 격리의 경우, 모든 루트를 격리하는 데 필요한 간격 구분의 수를 한정할 수 있도록 한다.

계수가 실제적이거나 복잡한 다항식의 경우, 단일 계수의 작은 변화가 제곱이 없는 다항식의 다중 루트를 가진 다항식을 작은 뿌리분리, 에센티올에 변환하기 때문에 계수의 절대값과 정도만으로 뿌리분리 하한을 표현할 수 없다.y 계수의 동일한 절대값.그러나 다항식의 판별을 포함하면 하한이 허용된다.

정수 계수가 있는 사각형 자유 다항식의 경우 판별은 정수여서 1보다 작지 않은 절대값을 갖는다.이것은 차별으로부터 독립적인 뿌리 분리에 대한 하한을 허용한다.

미그노테의 분리 구속은^[18][19][20]

${\displaystyle \operatorname {sep}(p){\frac {\sqrt {3 \Delta(p) }}{n^{n+1)/2}}(\p\ _{2}^{n-1}}}}}}}$

여기서 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle p}$) ${\displaystyle \Delta (p)}$이(가) 판별이며$$, $\Vert {\displaystyle }$ p ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \sqrt{{0\mathrm{}}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}_{}^{}}}$+ 1 ${\displaystyle \sqrt{{}_{}^{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{\cdots }}$+ ${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{}}_{}^{}}}$ .${\$$}^{2}+\ft +a_{n}^{2}}.$$}$

정수 계수가 있는 자유형 다항식의 경우, 이는 다음을 함축한다.

${\displaystyle \chostname {p){\frac {\sqrt{3}{n^{n/2+1}(\p\ _{2})^{n-1}}}{\frac {1}{2^{2s^{2}},},}$

여기서 s는 p의 비트 크기, 즉 계수의 비트 크기 합이다.

가우스-루카스 정리

가우스-루카스 정리에는 다항식 뿌리의 볼록한 선체에 다항식 파생형의 뿌리가 포함되어 있다고 명시되어 있다.

때때로 유용한 관점은, 만약 다항식의 모든 뿌리가 양의 실제 부분을 가지고 있다면, 다항식의 모든 파생상품의 뿌리도 그렇게 된다는 것이다.

관련 결과는 번스타인의 불평등이다.그것은 파생상품 P와 n의 다항식 P에 대해 우리는 다음과 같이 말하고 있다.

${\displaystyle \max _{z \leq 1}{\big }P'{\big }\big }\big }n\big \leq 1}{\big }}}}$

뿌리의 통계적 분포

임의 다항식의 계수 a가_i 독립적으로 0의 평균으로 동일하게 분포하는 경우, 대부분의 복잡한 뿌리는 단위 원 또는 그 근방에 있다.특히 실제 뿌리는 대부분 ±1에 가까운 곳에 위치하며, 더욱이 기대되는 숫자는 상당 부분 자연 로그보다 적다.

계수가 0의 평균과 sian의 분산을 가진 가우스 분포인 경우, 실제 뿌리의 평균 밀도는 Kac^[21][22] 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle m(x)={\frac {\sqrt {A(x)C(x)-B(x)^{2}}{\pi A(x)}}}$

어디에

${\displaystyle {\begin{aligned}A(x)&=\sigma \sum _{i=0}^{2n-1}x^{i}=\sigma {\frac {x^{2n}-1}{x-1}},\\B(x)&={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dx}}A(x),\\C(x)&={\frac {1}{4}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}A(x)+{\frac {1}{4x}}{\frac {d}{dx}}A(x).\end{정렬}}}$

계수가 0이 아닌 평균과 σ의 분산을 가진 가우스 분포일 때, 유사하지만 더 복잡한 공식을 알 수 있다.^{[citation needed]}

진짜뿌리

large n의 경우 x 근처에 있는 실제 뿌리의 평균 밀도는 점증적으로 나타난다.

${\displaystyle m(x)={\frac {1}{\pi 1-x^{2}}}}$

$x$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle x^{2}-1\neq$ 0$,}$ 및

${\displaystyle m(\pm 1)={\frac {1}{\pi }}{\\sqrt {\frac{n^}-1}{12}}}}}}}}}}$

따라서 실제 뿌리의 예상 수는 큰 O 표기법을 사용하는 것이다.

${\displaystyle N_{n}={\frac {2}{\pi }}\pi }\ln+C+{\frac {2}{\pi n}}+O(n^{-2})}$

여기서 C는 약 0.6257358072와 같은 상수다.^[23]

즉, 임의의 다항식의 기대되는 실제 뿌리 수는 해당도의 자연 로그보다 낮다.

Kac, Erdős 등은 이러한 결과가 독립적이고 평균 0으로 동일한 분포를 갖는 경우 계수의 분포에 무감각하다는 것을 보여주었다.그러나 ith 계수의 분산이 $({\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$ i${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\binom {n}{n}}}$과(와) 같으면 실제 루트의 $예상$ 수는 n${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}$이다.$}$^[23]

참고 항목

• 데카르트의 기호 규칙 – 다항식의 양의 뿌리 수와 그 계수의 기호 사이의 연결
• 마르덴의 정리 – 입방 다항식의 0과 파생물의 기하학적 관계
• 뉴턴의 정체성 – 전력 총량과 기본 대칭 함수 사이의 관계
• 2차 함수#뿌리의 크기에 대한 상부 바인딩
• 실제-루트 격리 – 다항식의 실제 루트를 찾는 방법
• 다항식 루트 찾기 - 다항식 0 찾기 알고리즘
• 제곱이 없는 다항식 – 반복된 루트가 없는 다항식
• 비에타의 공식 – 다항식의 계수와 뿌리 사이의 관계

메모들

참조

• Rahman, Q. I.; Schmeisser, G. (2002). Analytic theory of polynomials. London Mathematical Society Monographs. New Series. Vol. 26. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853493-0. Zbl 1072.30006.
• Yap, Chee-Keng (2000). Fundamental problems of algorithmic algebra (PDF). Oxford University Press. ISBN 978-0195125160..

외부 링크

• 뿌리의 아름다움, 모든 다항식의 모든 뿌리의 분포를 일정 범위의 정도와 정수 계수로 시각화한 것이다.