이성적 버라이어티

수학에서 이성적 다양성은 주어진 필드 K에 대한 대수적 다양성으로, K에 대한 어떤 차원의 투영 공간과 합리적으로 동등하다. 이것은 그 기능장이 에 이형적이라는 것을 의미한다.

K(U_{1},\dots,U_{d}),

일부 $\{U_{1},\dots ,U_{d}\}$ 집합에 대한 모든 합리적인 기능의 필드 $\{U_{1},\dots ,U_{d}\}$ , $\{U_{1},\dots ,U_{d}\}$ $\{U_{1},\dots ,U_{d}\}$ ${\d}{{U_{1},\dots, U_{d}\}}},$ 여기서 d는 품종의 차원이다.

합리성과 매개변수화

치수 d의 V은 아핀 대수 다양한 나는 ⟨f1원 유력한 이상에 의해서 정의되는..., K에 fk⟩[X1,…, Xn]{K[X_{1},\dots ,X_{n}]\displaystyle}. 만약 V는 합리적이 있네요 n+1다항식 g0,..., gn에 K(U1,…, Ud){K(U_{1},\dots,U_{d})\displaystyle}가 fi(g1/. g $f_{i}(g_{1}/g_{0},\ldots ,g_{n}/g_{0})=0.$ In order words, we have a rational parameterization $x_{i}={\frac {g_{i}}{g_{0}}}(u_{1},\ldots ,u_{d})$ of the variety.

반대로, 그러한 합리적인 매개변수화는 V의 기능 분야의 필드 동형성을 $K(U_{1},\dots ,U_{d})$ ( $K(U_{1},\dots ,U_{d})$ 1, $K(U_{1},\dots ,U_{d})$ , $K(U_{1},\dots ,U_{d})$ $K(U_{1},\dots ,U_{d})$ ) $K(U_{1},\dots ,U_{d}}}$ 에 유도한다 $K(U_{1},\dots ,U_{d})$ 그러나 이 동형성이 반드시 위에 있는 것은 아니다. 그러한 매개변수화가 존재한다면, 그 다양성은 일률적이라고 한다. 뤼로스의 정리(아래 참조)는 일률적인 곡선이 이성적이라는 것을 암시한다. 카스텔누오보의 정리는 또한 특징 0에서 모든 통일적인 표면이 이성적이라는 것을 암시한다.

합리성 질문

합리성 질문은 (이형성에 이르는) 이성적 다양성의 기능적 영역이 존재한다는 의미에서 주어진 영역 확장이 이성적인지 질문한다. 그러한 영역 확장은 순전히 초월적인 것으로도 설명된다. 보다 정확히 말하면, 필드 $K\subset L$ K $K\subset L$ ⊂ L $K\subset L$ {\ $displaystyle$ K\ $subset$ $L$ $}$ 에 대한 합리성 질문은 다음과 $K\subset L$ 같다: 초월도에 의해 주어진 불변수 수에서 $K$ $L$ $K$ 보다 합리적인 함수 영역에 이형성이 $L$ 있는가?

$K$ $K$ 및 $L$ $L$ 필드가 구성되는 $L$ 방식에서 발생하는 이 질문에는 몇 가지 다른 변형이 있다.

예를 들어 $K$ $K$ 을(를) 필드로 하고 $K$

\{y_{1},\filename,y_{n}\}}

K에 대해 불분명한 후 L을 K에 대해 생성된 필드가 되게 한다. 유한 그룹 $G$ $G$ 을(를) 고려하여 이러한 불변성을 K보다 $G$ 허용하십시오. 표준 갈루아 이론에 따르면, 이 그룹 작용의 고정점 $L$ 은 L ${\displaystyle$ L}의 하위 영역이며 $L$ $L^{G}$ 으로 L $L^{G}$ {\ $displaystyle$ L $^{G}$ 로 표시된다 $L^{G}$ $K\subset L^{G}$ $K\subset L^{G}$ $K\subset L^{G}$ $K\subset L^{G}$ ${\$ L $^{G}}$ 에 대한 합리성 질문을 노에더의 문제라 부르며 $K\subset L^{G}$ 이 고정점 분야가 순수하게 K의 초월적 연장인지 아닌지를 묻는다. 갈루아 이론에 관한 논문(Noeter 1918)에서 그녀는 주어진 갈루아 그룹과의 방정식들을 매개변수화하는 문제를 연구했는데, 이 문제를 "노에더의 문제"로 줄였다.(그녀는 이 문제를 E에게 귀속시킨 (Noeter 1913)에서 처음 언급했다. 피셔.) 그녀는 이것이 n = 2, 3, 4에 대한 사실임을 보여주었다. R. G. 스완(1969)은 n = 47과 G는 순서 47의 순환 집단으로 노에더 문제에 대한 반대 예를 찾았다.

뤼로스의 정리

유명한 사례는 19세기에 제이콥 뤼로스가 해결한 뤼로스의 문제다. 뤼로스의 문제는 단일 불분명한 X의 합리적인 기능인 K(X)의 하위 확장 L에 관한 것이다. 그러한 모든 필드는 K와 동일하거나 또한 합리적이다. 즉, 일부 합리적인 함수 F의 경우 L = K(F)이다. 기하학적 용어로, 이것은 투영 선에서 곡선 C까지의 비정규적 합리적 지도가 C에도 속 0이 있을 때만 발생할 수 있다고 말한다. 그 사실은 리만-에서 기하학적으로 읽을 수 있다.허위츠 공식.

뤼로스의 정리는 흔히 비초상적인 결과로 생각되지만, 몇 가지 기초적인 짧은 증거가 오랫동안 발견되어 왔다. 이러한 간단한 증명들은 원시 다항식들에 대한 필드 이론의 기초와 가우스의 보조정리만을 사용한다(예: 참조).^[1]

통일성

필드 K 위에 있는 단일 다양성 V는 합리적인 다양성이 지배하는 것으로, 그 기능 영역 K(V)는 유한 유형의 순수 초월적 필드(K가 무한하다면 K(V)보다 유한한 정도를 선택할 수 있다)에 놓여 있다. 뤼로스의 문제의 해법은 대수곡선의 경우 이성적인 것과 단성적인 것이 동일하다는 것을 보여주고 있으며, 카스텔누오보의 정리는 복잡한 표면의 경우 단성적인 것은 이성적인 것을 함축하고 있는데, 이는 둘 다 산술속과 제2의 플뤼리게누스 둘 다 소멸하는 것이 특징이기 때문이다. 자리스키는 특징 p > 0에서 일률적이지만 합리적이지 않은 몇 가지 예(자리스키 표면)를 찾아냈다. 클레멘스 & 그리피스(1972)는 입방형 3배는 일반적으로 합리적 다양성이 아니라는 것을 보여주었고, 단합성이 합리성을 의미하지 않는다는 3차원의 예를 들어 주었다. 그들의 작품에는 중급 자코비안이 사용되었다. Iskovskih & Manin(1971)은 모든 비성적 사분위수 3배는 비합리적이지만 일부는 비합리적임을 보여주었다. Artin & Mumford(1972)는 세 번째 코호몰로지 그룹에서 비종교적 비틀림이 있는 일부 비종교적 3배지를 발견했는데, 이것은 그것들이 합리적이지 않다는 것을 암시한다.

어떤 분야든, Janos Kollahr는 2000년에 적어도 2차원 입방체의 매끄러운 초경면체가 K 위에 정의된 점을 가지고 있다면 불합리하다는 것을 증명했다. 이것은 입방 표면(대수학적 폐쇄에 대한 합리적인 품종)의 사례에서 시작하여 많은 고전적 결과의 개선이다. 단일성을 보이는 다른 품종의 예는 곡선의 모듈리 공간의 많은 경우들이다.^[2]

합리적으로 연결된 품종

합리적으로 연결된 품종(또는 변형되지 않은 품종) V는 대수적으로 닫힌 영역에 걸쳐서 두 지점마다 돌출된 선에서 V로 정규 지도 이미지를 전달하는 투영 대수적 품종이다. 동등하게, 두 점마다 품종에 포함된 합리적 곡선으로 연결되면 품종이 합리적으로 연결된다.^[3]

이 정의는 경로의 성격에 의해서만 경로 연결성의 형태를 달리하지만, 합리적으로 연결된 유일한 대수적 곡선이 이성적이기 때문에 매우 다르다.

투사적인 공간을 포함한 모든 이성적인 다양성은 이성적으로 연결되어 있지만, 그 반대는 거짓이다. 그러므로 합리적으로 연결된 품종의 등급은 이성적인 품종의 등급의 일반화다. 단일성 품종은 이성적으로 연결되어 있지만, 그 역이 그 상태를 유지하는지 여부는 알려져 있지 않다.

안정적 합리화 품종

$m\geq 0$ $V\times \mathbf {P} ^{m}$ $V\times \mathbf {P} ^{m}$ $V\times \mathbf {P} ^{m}$ ${\$ 가 $V\times \mathbf {P} ^{m}$ ) 일부 $m\geq 0$ $m\geq 0$ 0 ${\displaystyle m\geq$ 0}에 대해 합리적이라면 품종 V는 안정적 합리성이라 불린다 $m\geq 0$ 따라서 어떤 합리적 품종도 정의상으로는 안정성이 있다. 그러나 보빌 외 연구진(1985)이 작성한 예는 그 반대가 거짓이라는 것을 보여준다.

Schreieder (2018) showed that very general hypersurfaces $V\subset \mathbf {P} ^{N+1}$ are not stably rational, provided that the degree of V is at least $\log _{2}N+2$ .

참고 항목

메모들

^ Bensimhoun, Michael (May 2004). "Another elementary proof of Luroth's theorem" (PDF). Jerusalem. Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)
^ János Kollár (2002). "Unirationality of cubic hypersurfaces". Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu. 1 (3): 467–476. arXiv:math/0005146. doi:10.1017/S1474748002000117. MR 1956057.
^ Kollár, János (1996), Rational Curves on Algebraic Varieties, Berlin, New York: Springer-Verlag.

참조

Artin, Michael; Mumford, David (1972), "Some elementary examples of unirational varieties which are not rational", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 25: 75–95, CiteSeerX 10.1.1.121.2765, doi:10.1112/plms/s3-25.1.75, ISSN 0024-6115, MR 0321934
Beauville, Arnaud; Colliot-Thélène, Jean-Louis; Sansuc, Jean-Jacques; Swinnerton-Dyer, Peter (1985), "Variétés stablement rationnelles non rationnelles", Annals of Mathematics, Second Series, 121 (2): 283–318, doi:10.2307/1971174, JSTOR 1971174, MR 0786350
Clemens, C. Herbert; Griffiths, Phillip A. (1972), "The intermediate Jacobian of the cubic threefold", Annals of Mathematics, Second Series, 95 (2): 281–356, CiteSeerX 10.1.1.401.4550, doi:10.2307/1970801, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970801, MR 0302652
Iskovskih, V. A.; Manin, Ju. I. (1971), "Three-dimensional quartics and counterexamples to the Lüroth problem", Matematicheskii Sbornik, Novaya Seriya, 86 (1): 140–166, Bibcode:1971SbMat..15..141I, doi:10.1070/SM1971v015n01ABEH001536, MR 0291172
Kollár, János; Smith, Karen E.; Corti, Alessio (2004), Rational and nearly rational varieties, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 92, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511734991, ISBN 978-0-521-83207-6, MR 2062787
Noether, Emmy (1913), "Rationale Funkionenkorper", J. Ber. D. DMV, 22: 316–319.
Noether, Emmy (1918), "Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe", Mathematische Annalen, 78 (1–4): 221–229, doi:10.1007/BF01457099.
Swan, R. G. (1969), "Invariant rational functions and a problem of Steenrod", Inventiones Mathematicae, 7 (2): 148–158, Bibcode:1969InMat...7..148S, doi:10.1007/BF01389798
Martinet, J. (1971), "Exp. 372 Un contre-exemple à une conjecture d'E. Noether (d'après R. Swan);", Séminaire Bourbaki. Vol. 1969/70: Exposés 364–381, Lecture Notes in Mathematics, 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0272580
Schreieder, Stefan (2019), "Stably irrational hypersurfaces of small slopes", Journal of the American Mathematical Society, 32 (4): 1171–1199, arXiv:1801.05397, doi:10.1090/jams/928

[1] Bensimhoun, Michael (May 2004). "Another elementary proof of Luroth's theorem" (PDF). Jerusalem. Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)

[2] János Kollár (2002). "Unirationality of cubic hypersurfaces". Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu. 1 (3): 467–476. arXiv:math/0005146. doi:10.1017/S1474748002000117. MR 1956057.

[3] Kollár, János (1996), Rational Curves on Algebraic Varieties, Berlin, New York: Springer-Verlag.

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